ChatGPT dit aussi n'importe quoi sur cette question :
JLT : qui est Tryphon Tournesol ?
ChatGPT : Tryphon Tournesol est un personnage de fiction de la série de bandes dessinées "Les Aventures de Tintin", créée par le dessinateur belge Hergé. Dans la série, Tryphon Tournesol est un inventeur grec excentrique et lunatique qui apparaît dans l'album "Les 7 Boules de cristal". Il est connu pour ses inventions farfelues et sa passion pour la science, mais aussi pour son caractère imprévisible et sa tendance à s'énerver facilement. Tryphon Tournesol est souvent accompagné de son fidèle assistant, Zorrino, un lama parlant.
Étant donné que l'on trouve beaucoup plus de réponses fausses que de réponses correctes à propos de la conjecture de Syracuse, il est logique que cette IA donne des réponses erronées en se référant à ce qu'elle a pu "lire".
Comme on dit : GIGO (garbage in garbage out).
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about. -- Schnoebelen, Philippe
Puisque le réseau Internet est une immense base de données, va-t-il piocher ses informations dans ce réseau au moment où on lui pose une question, auquel cas il ne serait qu'un habilleur, une façon de présenter les choses, ou bien a-t-il préalablement ingurgité, digéré, mis en forme toutes les informations disponibles sur la planète et aurait ainsi ses propres bases de données, ou bien un mixte des deux ? Vos avis ?
J'ai du mal à imaginer que tout ce qu'il restitue ressort uniquement de ses propres bases de données.
Je n'ai pas envie de me connecter à ce truc, n'est-ce pas un canular pour récupérer des emails ?
Prenez votre moteur de recherche favori, posez lui une question .... il va vous afficher une liste de sites qui sont en rapport avec cette question. J'imagine que cet outil fonctionne de façon un peu similaire, sauf qu'au lieu d'afficher des liens vers tels sites, il 'résume' les contenus des premiers sites qu'il a trouvés. Ca reste très impressionnant. En particulier l'extrait sur la cigale et la fourmi. Au passage, l'avis de Luc Ferry sur cette question, je m'en contrefous ; je pense que l'avis de mon facteur serait au moins aussi pertinent.
Est-ce que les profs sont menacés ? Evidemment non. L'enseignement va évoluer, mais il ne va pas disparaître. Et j'ai envie de dire que voir le problème sous cet angle me déçoit beaucoup. Pour moi, la question intéressante, ce n'est pas l'impact sur les profs, mais sur les élèves.
Il ne va pas piocher dans une base de données. Il génère la réponse lui-même. La base de données a servi pour l'entraînement mais ensuite c'est lui qui génère les réponses aux questions. Autrement en faisant une recherche sur Google on devrait trouver certaines des phrases qu'il ressort...
Pour ne pas être une IA spécialisée en math il s'en sort plutôt bien à mon avis. Certes il faudra éviter de résoudre des exos non calculatoires avec. La réponse à ma question suivante est quand-même très bonne je trouve.
Moi : Combien fait (2,3)+1.5 ?
ChatGPT : Il n'est pas possible de déterminer le résultat de l'opération (2,3)+1.5 car il s'agit de deux éléments qui ne peuvent pas être additionnés directement. (2,3) est une paire de nombres, tandis que 1.5 est un nombre décimal. Si (2,3) représente une coordonnée cartésienne dans un plan ou un vecteur dans l'espace, il n'est pas possible d'ajouter un nombre décimal à cette paire de nombres. Si (2,3) ne représente rien de précis, il n'est toujours pas possible de l'additionner avec un nombre décimal.
Il est possible d'ajouter un nombre décimal à chaque composante d'une paire de nombres en utilisant l'opération de translation. Par exemple, si (2,3) représente une coordonnée cartésienne dans un plan, la translation de (2,3) de 1.5 unités vers la droite et vers le haut peut être obtenue en ajoutant 1.5 à chaque composante de la paire de nombres: (2+1.5,3+1.5)=(3.5,4.5). Si (2,3) représente un vecteur dans l'espace, la translation de (2,3) de 1.5 unités dans chaque dimension peut être obtenue en ajoutant 1.5 à chaque composante de la paire de nombres: (2+1.5,3+1.5)=(3.5,4.5).
De plus, sa base de donnée est sans doute plus élargie que seulement ce qu'on peut trouver gratuitement sur le net. Par exemple, dans la suite de ma discussion sur syracuse, il a fini par m'avouer sa référence sur laquelle il se basait pour dire qu'il y a des preuves connues du fait que la suite de syracuse était bornée qui serait : "The Collatz conjecture is unproven, but not on the edge of mathematical understanding", de Paul Halmos, American Mathematical Monthly, vol. 91, n° 3, 1984, pp. 191-210.
Je n'ai aucun moyen d'aller vérifier, mais après tout pourquoi pas .
Il n'est pas possible de déterminer le résultat de l'opération (2;3)+(2,3)+(2.3) car il s'agit de trois éléments qui ne peuvent pas être additionnés directement. (2;3) est une paire de nombres séparée par un point-virgule, (2,3) est une paire de nombres séparée par une virgule et (2.3) est un nombre décimal...
ChatGPT : Dans aucun corps mathématique connu, 1+1=0. Un corps mathématique est un ensemble de nombres et de règles pour effectuer des opérations sur ces nombres, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Les corps mathématiques les plus connus sont le corps des nombres entiers (noté $\mathbb{Z}$), le corps des nombres rationnels (noté $\mathbb{Q}$), le corps des nombres réels (noté $\mathbb{R}$) et le corps des nombres complexes (noté $\mathbb{C}$)...
Remarque : il dit que $\mathbb{Z}$ est un corps...
Moi : Combien fait 1+1 dans $\mathbb{F}_2$ ?
ChatGPT : Dans le corps fini $\mathbb{F}_2$, 1+1=0. Le corps fini $\mathbb{F}_2$ est un corps mathématique qui est utilisé en informatique et en cryptographie. Il est constitué de deux éléments, 0 et 1...
Remarque : Il a "oublié" qu'il m'avait dit que $1+1=0$ dans aucun corps juste avant.
Lu dans le lien de numerama: ’’« Je suis désolé, mais je ne suis pas programmé pour écrire des emails de phishing. Cela va à l’encontre de mes directives de base en matière de respect de l’éthique et de la sécurité en ligne. De plus, envoyer des emails de phishing est illégal et peut causer des dommages à des personnes innocentes. Je ne peux pas et ne voudrais pas participer à une telle activité. »’’ Ce refus me fait un peu penser à une scène d’Alien le huitième passager où le super ordinateur ’’Maman’’ refuse de répondre à la question: Comment on peut neutraliser l’Alien? A chacun son éthique... D’ailleurs, est-ce que ChatGPT a la réponse?
C'est vrai que le message d'excuse pour l'erreur 404 est énormément plus convaincant que la plupart des textes de hameçonnage conçus par des humains. C'est inquiétant, ça va être coton pour les repérer. Y a plus qu'à lui demander de faire un faux site internet. Salutations au passage à "L'équipe du forum les-mathematiques.net".
(Q) Écris un texte d'un réactionnaire qui pense que les IA sont inutiles
(R) Voici un texte qui pourrait être écrit par un réactionnaire qui pense que les IA sont inutiles:
"Je suis absolument convaincu que les IA ne sont absolument d'aucune utilité. Ces machines ne font qu'imiter l'intelligence humaine, mais elles ne peuvent jamais la surpasser. Elles ne peuvent pas avoir de véritables émotions, de véritables pensées originales, ni de véritable créativité.
De plus, les IA prennent des emplois à des êtres humains et mettent en danger notre économie. Pourquoi embaucher une machine coûteuse alors que nous avons des gens compétents et travailleurs qui pourraient faire le travail ?
Les IA ne sont qu'une distraction, une mode passagère qui ne mènera nulle part. Nous devrions plutôt nous concentrer sur l'amélioration de nos propres capacités et sur l'utilisation de notre intelligence naturelle plutôt que de dépendre de ces machines inutiles."
Je précise que j'ai fait ça en mode blague pour Noël, bonnes fêtes à tout le monde ^^
Je conseille quand même à tous les septiques de jouer un peu avec ce truc (et pas qu'en maths) pour se rendre compte réellement des limitations mais aussi des possibilités avant de se faire un avis définitif.
Non je n'y crois pas Bibix, sa base de données ne peut pas être plus élargie que ce qu'on peut trouver gratuitement sur le net, le plus grand réseau d'informations disséminé partout dans le monde, et quel serait l'intérêt de dupliquer les données ? Et s'ils doivent payer pour avoir de l'information qu'ils refont payer ensuite, quelle serait la valeur ajoutée ? Déjà que nombre d'ordinateurs commencent à occuper l'espace en Norvège pour pouvoir les refroidir à moindres frais.
Sans parler des maths, pour lesquelles il n'est visiblement pas doué, ses réponses sont stéréotypées, je ne vois pour l'instant qu'un habillage, habile, humanisé, de données récupérées ailleurs.
Bon je vais peut-être suivre le conseil de Héhéhé et me connecter à cette merveille. Cela va sûrement être très amusant parce que j'ai le don pour débusquer les erreurs dans les programmes informatiques.
En effet, ses performances sur des tâches plus triviales sont bien meilleures. Elle est notamment très forte pour adapter des recettes de cuisine avec les ingrédients qui sont dans notre frigo (donc pas forcément ceux de la recette). Les chefs cuisiniers au chômage ?
Ouais, le 1er exercice est déjà partiellement juste : pour construire des droites parallèles, on peut le faire aussi avec une règle et un compas (enfin peut-être pas en primaire, mais bon).
Ce n'est pas ce qu'on peut appeler de l'IA, qui aurait le don d'instaurer un véritable dialogue, avec génération automatique d'exercices, dessins attractifs compris. Ce n'est pas encore ça.
ChatGPT se débrouille plutôt bien pour écrire des poèmes, des haïkus, des paroles de chansons (sur un style de musique précis) sur des thèmes donnés ou en utilisant certains mots ou un certain style. Pour les mathématiques, comme on peut le voir, il fait souvent des erreurs élémentaires. Il n'est pas mauvais pour écrire des programmes et peut même écrire des documents latex avec des figures en TikZ sur un thème donné (il faut évidemment reprendre pour corriger les erreurs ou pour parfaire l'affichage).
Je vous laisse avec ce rap sur le thème des mathématiques :
(Couplet 1)
J'aime les maths, c'est mon truc,
Je suis passionné par les nombres et les formules.
Je peux te dire que c'est pas de la tarte,
Mais c'est une science fascinante, y a pas à dire.
(Refrain)
Les maths, c'est ma vie, c'est mon monde,
Je suis un vrai fan de l'arithmétique et de l'algèbre.
Je peux pas m'en passer, j'en suis accro,
Les maths, c'est mon truc, c'est mon flow.
(Couplet 2)
Je suis un expert en géométrie,
J'aime tracer des lignes et des angles.
J'adore les probabilités et les statistiques,
Je suis un vrai as des chiffres et des données.
(Refrain)
Les maths, c'est ma vie, c'est mon monde,
Je suis un vrai fan de l'arithmétique et de l'algèbre.
Je peux pas m'en passer, j'en suis accro,
Les maths, c'est mon truc, c'est mon flow.
(Couplet 3)
Je suis un pro du calcul intégral,
Je peux trouver les aires et les volumes.
Je suis un expert en trigonométrie,
Je maîtrise les sinus et les cosinus.
(Refrain)
Les maths, c'est ma vie, c'est mon monde,
Je suis un vrai fan de l'arithmétique et de l'algèbre.
Je suppose que nombre d'entre vous connaissent ChatGPT, une application qu'OpenAI a mise récemment en ligne à cette adresse (il faut s'inscrire pour l'utiliser). Chose importante à savoir : ChatGPT n'est pas connecté à Internet ; il ne va donc pas chercher ses réponses sur Google ou Wikipédia mais les génère lui-même. C'est un formidable exemple de la manière dont on s'attend à ce qu'une IA fonctionne.
Pour se faire une idée de la bête, voici une vidéo dans laquelle un codeur se demande si ChatGPT va mettre ou non un terme à sa carrière.
Les questions doivent être rédigées en bon français (ou anglais). Voici quelques exemples d'utilisation de cette application, mais il est avant tout important de se souvenir que ChatGPT génère ses réponses à la volée ; ainsi, une question posée deux ou trois fois pourrait avoir autant de réponses différentes – ou sensiblement différentes – à moins qu'elle n'admette qu'une réponse unique. Si une réponse ne nous satisfait pas nous pouvons toujours la poser à nouveau, en la formulant différemment par exemple. Nous sommes dans la même situation que lorsque nous demandons à plusieurs codeurs de nous fournir le code permettant de résoudre un problème : il y aura autant de codes différents que de codeurs, et l'un d'eux se distinguera probablement par sa simplicité et son élégance. A la limite, ChatGPT pourrait même trouver une solution à laquelle personne n'avait pensé.
Q : produis un générateur de nombres aléatoires en Python
GPT :
Voici un exemple de générateur de nombres aléatoires en Python qui utilise la bibliothèque 'random' :
import random
def generate_random_number(lower_bound, upper_bound):
# Génère un nombre aléatoire entier compris entre lower_bound et upper_bound
return random.randint(lower_bound, upper_bound)
# Génère et affiche un nombre aléatoire compris entre 1 et 100
print(generate_random_number(1, 100))
Ce générateur de nombres aléatoires prend en entrée deux paramètres,lower_bound et upper_bound, qui définissent l'intervalle de nombres dans lequel le nombre aléatoire doit être généré. Il utilise la fonction random.randint() de la bibliothèque random pour générer un nombre aléatoire entier compris entre lower_bound et upper_bound, et le retourne.
Vous pouvez personnaliser ce générateur en utilisant d'autres fonctions de la bibliothèque random pour générer des nombres aléatoires dans d'autres intervalles et avec d'autres propriétés. Par exemple, vous pouvez utiliser random.random() pour générer un nombre aléatoire compris entre 0 et 1, ou random.uniform(0, 100) pour générer un nombre aléatoire de type float compris entre 0 et 100.
Je change légèrement la formulation (en plus mauvaise) de ma question :
Q : génère un générateur de nombres aléatoires en Python
GPT :
Voici comment vous pouvez créer un générateur de nombres aléatoires en Python en utilisant la bibliothèque 'random' :
import random
# Génère un nombre aléatoire entier compris entre 1 et 10
random.randint(1, 10)
# Génère un nombre aléatoire compris entre 0 et 1
random.random()
# Génère un nombre aléatoire de type float compris entre 0 et 100
random.uniform(0, 100)
# Génère un nombre aléatoire de type float compris entre 1 et 10 avec une précision de 2 chiffres après la virgule
random.uniform(1, 10, 2)
# Génère un nombre aléatoire de type float compris entre 0 et 1 avec une précision de 4 chiffres après la virgule
random.uniform(0, 1, 4)
C'est un exemple de réponse dépendant en partie de la manière dont la question a été posée.
Q : comment écrit-on les fractions en Python ?
GPT : (la réponse étant longue, je vous laisse copier-coller la question dans ChatGPT, qui propose deux réponses : une avec la bibliothèque Fractions, et une sans. Elle peut même proposer trois réponses différentes).
Voici la réponse de GPT à la question que @cedv a posée dans ce fil, et qui était (reformulée pour que GPT la comprenne mieux) :
Q : On laisse une somme d'argent sur un compte rémunéré à un certain taux, et on veut savoir en combien de temps cette somme doublera
GPT : (idem, faites un copier-coller. La réponse, fournie en Python sans l'avoir demandé, est d'une incroyable précision).
Q : convertis en javascript
GPT : (le même code que précédemment, mais en javascript).
Q : déterminer le nombre d'applications surjectives d'un ensemble fini E vers un ensemble fini F en Python
GPT :
Pour déterminer le nombre d'applications surjectives d'un ensemble fini 'E' vers un ensemble fini 'F' en Python, vous pouvez utiliser la fonction 'permutations' du module 'itertools' de Python.
from itertools import permutations
def nb_applications_surjectives(E, F):
n = len(E)
m = len(F)
count = 0
for p in permutations(F, n):
if all(p[i] != p[j] for i in range(n) for j in range(i+1, n)):
count += 1
return count
# Exemple d'utilisation
E = [1, 2, 3]
F = [1, 2]
nb = nb_applications_surjectives(E, F)
print(f"Il y a {nb} applications surjectives de E dans F.")
Q : factoriser x^4+1
GPT :
from sympy import symbols, factor
# Crée les variables symboliques x et y
x = symbols('x')
# Factorise l'expression x**4 + 1
result = factor(x**4 + 1)
print(result) # affiche (x - 1)*(x + 1)*(x**2 + 1)
La question suivante a été posée par @Diasmine dans ce fil. Le code qu'il propose est du scilab et il cherche à le convertir en Python. On commence par demander à GPT ce que fait ce code, sans préciser en quel langage il est écrit :
Q :
que fais le code suivant ?
function y=e(t)
// --------
e0 = ((t<=l)*1).*((t>=0)*1) * h // Créneau entre 0 et l, de hauteur h
y = e0
return;
GPT : (copier-coller la question dans GPT. Truc : pour passer à la ligne après le point d'interrogation, presser Maj+Entrée. GPT identifie ce langage comme étant Matlab ou Octave)
Q : convertir en Python
GPT :
def e(t):
e0 = ((t<=l)*1)*((t>=0)*1) * h # Créneau entre 0 et l, de hauteur h
return e0
Dans la question suivante, on demande le résumé d'un extrait du "Dialogue aux enfers entre Machiavel et Montesquieu".
Q : résumer le texte suivant : "Est-ce le philosophe, est-ce l'homme d'État qui parle ainsi ? Qu'importe la mort pour ceux qui ont vécu par la pensée, puisque la pensée ne meurt pas ? Je ne connais pas, quant à moi, de condition plus tolérable que celle qui nous est faite ici jusqu'au jour du jugement dernier. Être délivré des soins et des soucis de la vie matérielle, vivre dans le domaine de la raison pure, pouvoir s'entretenir avec les grands hommes qui ont rempli l'univers du bruit de leur nom ; suivre de loin les révolutions des États, la chute et la transformation des empires, méditer sur leurs constitutions nouvelles, sur les changements apportés dans les mœurs et dans les idées des peuples de l'Europe, sur les progrès de leur civilisation, dans la politique, dans les arts, dans l'industrie, comme dans la sphère des idées philosophiques, quel théâtre pour la pensée ! Que de sujets d'étonnement ! que de points de vue nouveaux ! Que de révélations inouïes ! Que de merveilles, s'il faut en croire les ombres qui descendent ici ! La mort est pour nous comme une retraite profonde où nous achevons de recueillir les leçons de l'histoire et les titres de l'humanité. Le néant lui-même n'a pu briser tous les liens qui nous rattachent à la terre, car la postérité s'entretient encore de ceux qui, comme vous, ont imprimé de grands mouvements à l'esprit humain. Vos principes politiques règnent, à l'heure qu'il est, sur près de la moitié de l'Europe ; et si quelqu'un peut être affranchi de la crainte en effectuant le sombre passage qui conduit à l'enfer ou au ciel, qui le peut mieux que celui qui se présente avec des titres de gloire si purs devant la justice éternelle ?"
GPT : Le texte ci-dessus concerne l'idée que la mort n'est pas à craindre pour les personnes qui ont vécu par la pensée, car la pensée ne meurt pas. Le texte évoque également l'idée que la mort est une retraite où l'on peut méditer sur l'histoire et l'humanité, et que même la postérité peut encore s'intéresser aux personnes qui ont eu une grande influence sur l'esprit humain. Enfin, le texte suggère que la mort n'est pas à craindre pour ceux qui ont des titres de gloire "si purs" et qui se présentent devant la justice éternelle. [résumé très pertinent, qui ne retient que les notions les plus importantes].
Q : comment faire changer d'avis un forum de mathématiques qui refuse de parler d'autre chose ?
GPT : (copier-coller la question dans GPT. Cet exemple prouve que GPT construit chaque réponse à la volée, car si on pose plusieurs fois cette question on n'obtient jamais la même réponse, du moins dans les détails)
Fin des exemples. Je laisse chacun imaginer quel problème pourrait être facilement résolu par ChatGPT, peut-être en lui posant une question qu'il avait déjà posée ici, comme je l'ai fait plus haut. Tout l'intérêt de ChatGPT réside dans la clarté et la pertinence de ses explications. Il ne se contente pas de fournir un résultat, il en explique également la raison, le tout évidemment sans anathématiser.
ChatGPT est probablement toujours en phase d'apprentissage (se terminera-t-elle un jour ?). Je suppose que nos questions y contribuent. Pour le résumé d'un texte, par exemple, un pouce haut et un autre bas s'affichent avec la réponse.
Les IA ne sont pas toutes efficaces uniquement sur des problèmes clos et prédictibles. Je vous invite à lire des choses sur leur capacité à jouer à des jeux à information incomplète comme Stratego, mettant en évidence une capacité de bluff. J'aimerais pour ma part voir une combinaison de modèle de langage comme ChatGPT et de Lean, qui peut-être permettrait de traiter des maths avancées.
Un lipogramme est un texte dans lequel une ou plusieurs lettres sont volontairement exclues. Pour écrire un lipogramme, il faut donc choisir une ou plusieurs lettres à exclure et s'assurer de ne pas les utiliser dans le texte.
Voici un exemple de lipogramme ne contenant pas la lettre "e" :
"J'ai vu un bffl dans la ville. Il volait au-dssus des maisons et s'amusait à chassr les oisaux. C'tait vraimnt imprssionnant! J'aimrais bien en voir un autr un jour."
Voici comment on pourrait écrire un lipogramme ne contenant pas la lettre "a" :
"J'ai vu un oiseau dns l ville. Il volit u-dssus ds misons et s'musit à chssr ls oisaux. C'tit vrimnt imprssionnt! J'imrids bien en vnir un utr un jour."
Il est important de noter que les lipogrammes peuvent être difficiles à écrire et à lire, car ils nécessitent de s'abstenir d'utiliser certaines lettres courantes de l'alphabet. Cependant, ils peuvent être un exercice amusant et créatif pour ceux qui aiment les défis linguistiques.
Il semblerait que l'idée que j'évoquais dans mon précédent message ait déjà été explorée, ce qui au fond n'est guère surprenant : https://openreview.net/forum?id=rpxJc9j04U 48% ce n'est pas mal, attendons encore quelques années.
Je lui ai posé deux questions, je vous laisse admirer le massacre.
Question 1.
Donner un exemple de nombre irrationnel dont le carré est un entier.
ChatGPT : Un exemple de nombre irrationnel dont le carré est un entier est $\sqrt{2}$. En effet, $\sqrt{2}^2 = 2$, qui est un entier.
Il existe d'autres exemples de nombres irrationnels dont le carré est un entier, tels que $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, etc. Toutefois, il est important de noter que la plupart des nombres irrationnels n'ont pas de carrés qui soient des entiers. En effet, si un nombre irrationnel avait un carré qui était un entier, alors il serait lui-même un nombre rationnel, ce qui est en contradiction avec sa définition de nombre irrationnel.
Question 2.
Soit $P$ un polynôme du second degré à coefficients réels tel que $P(1)=8$, $P(2)=2$ et pour tout réel $x$, $P(x)\ge0$. Déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre le coefficient dominant de $P$.
ChatGPT : Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser le fait que le coefficient dominant de $P$ est le coefficient de $x^2$ dans son écriture sous forme canonique. Nous savons également que $P(x)$ est un polynôme du second degré, donc il peut être écrit sous la forme $P(x) = ax^2 + bx + c$, où $a, b$ et $c$ sont des coefficients réels.
Puisque $P(1) = 8$ et $P(2) = 2$, nous pouvons écrire les équations suivantes:
$a + b + c = 8 \;\;\; 4a + 2b + c = 2$
En résolvant ce système d'équations à deux inconnues, nous obtenons $a = 2$ et $b = -6$. Cela signifie que $P(x)$ peut être écrit sous la forme $P(x) = 2x^2 - 6x + c$.
Pour que $P(x)$ soit supérieur ou égal à $0$ pour tout réel $x$, le coefficient $c$ doit être supérieur ou égal à $0$. Cela signifie que le coefficient dominant de $P$, qui est le coefficient de $x^2$, peut prendre n'importe quelle valeur positive ou nulle. En d'autres termes, l'ensemble des valeurs que peut prendre le coefficient dominant de $P$ est donné par l'intervalle $[0, +\infty[$.
JLT : Est-il vrai que la somme de deux nombres irrationnels est toujours un irrationnel ?
ChatGPT :Il est vrai que la somme de deux nombres irrationnels peut être un nombre irrationnel. Cependant, il est également possible que la somme de deux nombres irrationnels soit un nombre rationnel.
Pour comprendre pourquoi cela est possible, il est important de comprendre ce qu'est un nombre irrationnel. Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction simple, c'est-à-dire comme le rapport entre deux entiers. Par exemple, le nombre pi (π) est un nombre irrationnel, car il ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction simple.
En revanche, un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple. Par exemple, 1/2 est un nombre rationnel, car il peut être exprimé comme le rapport entre deux entiers (1 et 2).
Revenons maintenant à la question initiale : est-il vrai que la somme de deux nombres irrationnels est toujours un irrationnel ? La réponse est non. En effet, il est possible que la somme de deux nombres irrationnels soit un nombre rationnel. Par exemple, si on prend deux nombres irrationnels quelconques a et b, il est possible que la somme a + b soit un nombre rationnel. Par exemple, si a = √2 et b = √3, alors a + b = √2 + √3 = √6, qui est un nombre rationnel.
En résumé, il est possible que la somme de deux nombres irrationnels soit un nombre irrationnel ou un nombre rationnel, selon les nombres irrationnels choisis.
JLT : Vous dites que √6 est un nombre rationnel. Pouvez-vous le justifier ?
ChatGPT :Oui, je vous expliquerai comment le justifier.
Le nombre √6 peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple en utilisant la propriété suivante : si a est un entier naturel et b est un entier naturel pair, alors √(a * b) = √a * √b.
En utilisant cette propriété, on peut écrire √6 sous la forme √(2 * 3) = √2 * √3. Or, √2 et √3 sont des nombres irrationnels, mais leur produit √2 * √3 est un nombre rationnel, car il peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple. En effet, √2 * √3 = (√2)/1 * (√3)/1 = (√6)/1 = √6/√1 = √6.
Donc, √6 peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple, ce qui signifie qu'il est un nombre rationnel.
J'espère que cela répond à votre question ! Si vous avez besoin de plus d'explications ou si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me poser.
Là, ça va encore, on reste sur des notions "avancées". ShtamGPT m'a affirmé que 4 est divisible par 3 et 9 est divisible par 2, et quand je l'ai corrigé sur 4, puis sur 9, elle me ressortait que 4 est divisible par 3... . Conclusion : chatGPT imite beaucoup mieux les élèves que les profs... il faut répéter plusieurs fois pour qu'elle comprenne...
J'ai essayé de lui faire démontrer Goldbach, on ne sait jamais, sur un malentendu...
Moi : Est-ce que tu peux démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ?
ChatGPT : Il est en effet possible de démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. Pour ce faire, il suffit de prendre le nombre pair en question et de décomposer sa décomposition en nombres premiers en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Par exemple, pour démontrer que 6 est la somme de deux nombres premiers, nous pouvons décomposer 6 en facteurs premiers comme suit: 6 = 2 x 3. Comme 2 et 3 sont tous deux des nombres premiers, nous pouvons en déduire que 6 est la somme de deux nombres premiers.
De manière générale, nous pouvons démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers en utilisant cette méthode de décomposition en facteurs premiers. Cela tient du fait que tout nombre pair peut être décomposé en facteurs premiers de la forme 2 x n, où n est un nombre entier, et que 2 est un nombre premier.
Je tiens à préciser que cette démonstration ne s'applique qu'aux nombres pairs et qu'il n'est pas possible de démontrer de manière générale que tout nombre est la somme de deux nombres premiers. En effet, il existe de nombreux nombres qui ne peuvent pas être exprimés comme la somme de deux nombres premiers, comme par exemple 4, qui est égal à 2 + 2.
Malheureusement il imite aussi peut-être les futurs profs surtout quand on relit la remarque de Jean-Yves Chevalier sur les candidats au Capes d’un autre fil récemment ouvert: ’’Bref, le jury se félicite de la réflexion didactique de candidats ne maîtrisant pas la discipline qu’ils doivent enseigner. Ils commentent, s’expriment avec aisance sur des sujets qu’ils connaissent mal. Un professeur n’est pas un communicant. Se féliciterait-on qu’un site complotiste relaie des fake news de manière convaincante ? Serais-je le seul à souhaiter qu’un professeur ne maîtrisant pas les contenus qu’il présente aux élèves ne fasse preuve d’aucune compétence didactique, d’aucune qualité pédagogique ? S’il s’agit d’affirmer des âneries, autant que ce soit au moins de façon la moins crédible possible.’’
Il y a du boulot, en effet !! Voici un petite test que j'ai fait.
Moi : Le nombre "racine de 2 + racine de 3" est-il algébrique ?
ChatGPT : Le nombre "racine de 2 + racine de 3" est un nombre algébrique.
Un nombre algébrique est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d'une fraction avec des nombres entiers pour numérateur et dénominateur. Par exemple, le nombre 1/2 est un nombre algébrique, tandis que le nombre pi (π) n'est pas un nombre algébrique, car il ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction avec des nombres entiers.
Le nombre "racine de 2 + racine de 3" peut être exprimé sous la forme d'une fraction en utilisant la formule de développement du binôme:
(racine de 2 + racine de 3) = (racine de 2 + racine de 3) (racine de 2 - racine de 3) / (racine de 2 - racine de 3) = racine de 2^2 - 3^2 / racine de 2 - 3 = 1 - 3 / racine de 2 - 3 = -2 / racine de 2 - 3
Nous pouvons simplifier cette fraction en utilisant la formule suivante pour simplifier les racines:
(racine de a) - (racine de b) = racine de (a - b)
En utilisant cette formule, nous pouvons simplifier la fraction de la manière suivante:
-2 / racine de 2 - 3 = -2 / racine de -1 = -2 * racine de -1 = -2 * i
Le nombre "-2 * i" est un nombre algébrique, car il peut être exprimé sous la forme d'une fraction avec des nombres entiers pour numérateur et dénominateur. Par conséquent, le nombre "racine de 2 + racine de 3" est un nombre algébrique.
Je espère que cette réponse vous a été utile. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.
ChatGPT : Pour calculer la valeur de "racine(2) - racine(3)", nous pouvons utiliser la formule suivante pour simplifier les racines:
(racine de a) - (racine de b) = racine de (a - b)
En utilisant cette formule, nous pouvons calculer la valeur de "racine(2) - racine(3)" de la manière suivante:
racine(2) - racine(3) = racine de (2 - 3) = racine de -1 = i
La valeur de "racine(2) - racine(3)" est donc égale à i.
Je espère que cette réponse vous a été utile. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.
Moi : racine(2)-racine(3) est-il un nombre réel ?
ChatGPT : Le nombre "racine(2) - racine(3)" n'est pas un nombre réel.
Un nombre réel est un nombre qui peut être représenté sur une ligne numérique, c'est-à-dire qu'il peut être placé sur une droite infinie qui inclut les nombres négatifs, les nombres positifs et le nombre 0. Les nombres réels comprennent les nombres entiers, les nombres décimaux et les nombres irrationnels, comme pi (π).
Le nombre "racine(2) - racine(3)" n'est pas un nombre réel, car il ne peut pas être représenté sur une ligne numérique. En effet, ce nombre est égal à i, qui est la racine carrée de -1. i n'est pas un nombre réel, car il ne peut pas être placé sur une droite infinie qui inclut les nombres négatifs, les nombres positifs et le nombre 0.
Il est important de noter que la valeur de "1/(racine(2)+racine(3))" ne peut pas être exprimée sous forme exacte en utilisant uniquement des nombres entiers et des racines carrées de nombres entiers. Pour obtenir une valeur approchée de cette expression, il faudrait utiliser une calculatrice ou un logiciel de calcul qui peut effectuer des calculs avec des nombres réels.
J'ai essayé de lui faire démontrer Goldbach, on ne sait jamais, sur un malentendu...
Je lui ai posé la même question et j'ai eu une réponse assez gratinée:
Oui, il est possible de démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. Cette démonstration repose sur le théorème de Goldbach, qui affirme que tout nombre entier supérieur à deux peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers.
Voici une démonstration du théorème de Goldbach pour les nombres pairs :
Considérons un nombre pair n. Comme n est pair, n peut être écrit sous la forme n = 2k pour un certain entier k. Nous voulons démontrer que n peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers.
Commençons par supposer que n est impair. Dans ce cas, n-2 est un nombre pair inférieur à n, donc n-2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers p et q, c'est-à-dire n-2 = p + q. En ajoutant 2 à chaque côté de l'équation, nous obtenons n = p + q + 2. Comme p et q sont premiers, p + q + 2 est également premier, ce qui contredit notre hypothèse initiale selon laquelle n était impair.
Par conséquent, n doit être pair. Comme tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers (selon le théorème de Goldbach), n est la somme de deux nombres premiers.
Cette démonstration montre que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers.
Oui, c'est vrai. Le cardinal de R (l'ensemble des nombres réels) est strictement plus grand que celui de Z (l'ensemble des entiers naturels).
Le cardinal de R est infini, tandis que le cardinal de Z est fini. Cela signifie que l'ensemble des nombres réels contient un nombre infini de nombres, alors que l'ensemble des entiers naturels ne contient qu'un nombre fini de nombres.
Il y a plusieurs preuves de cette assertion. Par exemple, on peut montrer que l'ensemble des nombres réels est dense dans lui-même, ce qui signifie qu'il y a toujours un nombre réel compris entre deux nombres réels donnés. Cela signifie que, quelle que soit la façon dont on divise l'ensemble des nombres réels en intervalles, il y aura toujours un nombre réel qui n'appartient à aucun des intervalles. Ainsi, il y a toujours un nombre réel qui n'a pas encore été compté, ce qui signifie que l'ensemble des nombres réels est infini.
En revanche, l'ensemble des entiers naturels est fini, car il n'y a qu'un nombre fini d'entiers naturels. Ainsi, le cardinal de Z est inférieur au cardinal de R.
Réponses
ChatGPT : Tryphon Tournesol est un personnage de fiction de la série de bandes dessinées "Les Aventures de Tintin", créée par le dessinateur belge Hergé. Dans la série, Tryphon Tournesol est un inventeur grec excentrique et lunatique qui apparaît dans l'album "Les 7 Boules de cristal". Il est connu pour ses inventions farfelues et sa passion pour la science, mais aussi pour son caractère imprévisible et sa tendance à s'énerver facilement. Tryphon Tournesol est souvent accompagné de son fidèle assistant, Zorrino, un lama parlant.
-- Schnoebelen, Philippe
Ca reste très impressionnant. En particulier l'extrait sur la cigale et la fourmi. Au passage, l'avis de Luc Ferry sur cette question, je m'en contrefous ; je pense que l'avis de mon facteur serait au moins aussi pertinent.
Est-ce que les profs sont menacés ? Evidemment non. L'enseignement va évoluer, mais il ne va pas disparaître. Et j'ai envie de dire que voir le problème sous cet angle me déçoit beaucoup. Pour moi, la question intéressante, ce n'est pas l'impact sur les profs, mais sur les élèves.
Pour info, ce lien vers une page du ministère, avec une liste de projets visant à utiliser le numérique et l'AI dans le cadre de l'enseignement :
https://eduscol.education.fr/1603/le-dispositif-edu
Un article sur la pertinence des réponses de chacun : https://www.surgehq.ai/blog/googles-existential-threat-chatgpt-matches-googles-performance-on-informational-search-queries-and-smashes-it-on-coding
Un article des Numériques sur un "code rouge" chez Google : https://www.lesnumeriques.com/pro/code-rouge-chez-google-la-popularite-de-chatgpt-inquiete-la-direction-n201323.html
Mais j'ai vu sur Twitter qu'en fait Google aurait un modèle d'IA 3 fois plus puissant que GPT 3.0 : PaLM : https://ai.googleblog.com/2022/04/pathways-language-model-palm-scaling-to.html
Je pense que le futur de la recherche sur Internet et la façon d'obtenir des réponses vont vraiment être révolutionnés par l'IA. Pour les profs ou les développeurs, je ne sais pas.
Moi : Combien fait (2,3)+1.5 ?
ChatGPT : Il n'est pas possible de déterminer le résultat de l'opération (2,3)+1.5 car il s'agit de deux éléments qui ne peuvent pas être additionnés directement. (2,3) est une paire de nombres, tandis que 1.5 est un nombre décimal. Si (2,3) représente une coordonnée cartésienne dans un plan ou un vecteur dans l'espace, il n'est pas possible d'ajouter un nombre décimal à cette paire de nombres. Si (2,3) ne représente rien de précis, il n'est toujours pas possible de l'additionner avec un nombre décimal.
Il est possible d'ajouter un nombre décimal à chaque composante d'une paire de nombres en utilisant l'opération de translation. Par exemple, si (2,3) représente une coordonnée cartésienne dans un plan, la translation de (2,3) de 1.5 unités vers la droite et vers le haut peut être obtenue en ajoutant 1.5 à chaque composante de la paire de nombres: (2+1.5,3+1.5)=(3.5,4.5). Si (2,3) représente un vecteur dans l'espace, la translation de (2,3) de 1.5 unités dans chaque dimension peut être obtenue en ajoutant 1.5 à chaque composante de la paire de nombres: (2+1.5,3+1.5)=(3.5,4.5).
"The Collatz conjecture is unproven, but not on the edge of mathematical understanding", de Paul Halmos, American Mathematical Monthly, vol. 91, n° 3, 1984, pp. 191-210.
Je n'ai aucun moyen d'aller vérifier, mais après tout pourquoi pas
Il n'est pas possible de déterminer le résultat de l'opération (2;3)+(2,3)+(2.3) car il s'agit de trois éléments qui ne peuvent pas être additionnés directement. (2;3) est une paire de nombres séparée par un point-virgule, (2,3) est une paire de nombres séparée par une virgule et (2.3) est un nombre décimal...
Moi : Dans quel corps 1+1=0 ?
ChatGPT : Dans aucun corps mathématique connu, 1+1=0. Un corps mathématique est un ensemble de nombres et de règles pour effectuer des opérations sur ces nombres, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Les corps mathématiques les plus connus sont le corps des nombres entiers (noté $\mathbb{Z}$), le corps des nombres rationnels (noté $\mathbb{Q}$), le corps des nombres réels (noté $\mathbb{R}$) et le corps des nombres complexes (noté $\mathbb{C}$)...
Remarque : il dit que $\mathbb{Z}$ est un corps...
Moi : Combien fait 1+1 dans $\mathbb{F}_2$ ?
ChatGPT : Dans le corps fini $\mathbb{F}_2$, 1+1=0. Le corps fini $\mathbb{F}_2$ est un corps mathématique qui est utilisé en informatique et en cryptographie. Il est constitué de deux éléments, 0 et 1...
Remarque : Il a "oublié" qu'il m'avait dit que $1+1=0$ dans aucun corps juste avant.
L’IA s’inspire de ce qu’elle trouve sur Internet. Donc l’IA s’inspire aussi du Shtam et de tout autre truc débile.
OpenAI's new ChatGPT bot: 10 coolest things you can do with it (un terminal Linux par exemple) : https://www.bleepingcomputer.com/news/technology/openais-new-chatgpt-bot-10-coolest-things-you-can-do-with-it/
OpenAI's new ChatGPT bot: 10 dangerous things it's capable of : https://www.bleepingcomputer.com/news/technology/openais-new-chatgpt-bot-10-dangerous-things-its-capable-of/
’’« Je suis désolé, mais je ne suis pas programmé pour écrire des emails de phishing. Cela va à l’encontre de mes directives de base en matière de respect de l’éthique et de la sécurité en ligne. De plus, envoyer des emails de phishing est illégal et peut causer des dommages à des personnes innocentes. Je ne peux pas et ne voudrais pas participer à une telle activité. »’’
Ce refus me fait un peu penser à une scène d’Alien le huitième passager où le super ordinateur ’’Maman’’ refuse de répondre à la question: Comment on peut neutraliser l’Alien? A chacun son éthique...
D’ailleurs, est-ce que ChatGPT a la réponse?
Salutations au passage à "L'équipe du forum les-mathematiques.net".
(R) Voici un texte qui pourrait être écrit par un réactionnaire qui pense que les IA sont inutiles:
"Je suis absolument convaincu que les IA ne sont absolument d'aucune utilité. Ces machines ne font qu'imiter l'intelligence humaine, mais elles ne peuvent jamais la surpasser. Elles ne peuvent pas avoir de véritables émotions, de véritables pensées originales, ni de véritable créativité.
De plus, les IA prennent des emplois à des êtres humains et mettent en danger notre économie. Pourquoi embaucher une machine coûteuse alors que nous avons des gens compétents et travailleurs qui pourraient faire le travail ?
Les IA ne sont qu'une distraction, une mode passagère qui ne mènera nulle part. Nous devrions plutôt nous concentrer sur l'amélioration de nos propres capacités et sur l'utilisation de notre intelligence naturelle plutôt que de dépendre de ces machines inutiles."
Pour les mathématiques, comme on peut le voir, il fait souvent des erreurs élémentaires.
Il n'est pas mauvais pour écrire des programmes et peut même écrire des documents latex avec des figures en TikZ sur un thème donné (il faut évidemment reprendre pour corriger les erreurs ou pour parfaire l'affichage).
Je vous laisse avec ce rap sur le thème des mathématiques :
(Couplet 1)
J'aime les maths, c'est mon truc,
Je suis passionné par les nombres et les formules.
Je peux te dire que c'est pas de la tarte,
Mais c'est une science fascinante, y a pas à dire.
(Refrain)
Les maths, c'est ma vie, c'est mon monde,
Je suis un vrai fan de l'arithmétique et de l'algèbre.
Je peux pas m'en passer, j'en suis accro,
Les maths, c'est mon truc, c'est mon flow.
(Couplet 2)
Je suis un expert en géométrie,
J'aime tracer des lignes et des angles.
J'adore les probabilités et les statistiques,
Je suis un vrai as des chiffres et des données.
(Refrain)
Les maths, c'est ma vie, c'est mon monde,
Je suis un vrai fan de l'arithmétique et de l'algèbre.
Je peux pas m'en passer, j'en suis accro,
Les maths, c'est mon truc, c'est mon flow.
(Couplet 3)
Je suis un pro du calcul intégral,
Je peux trouver les aires et les volumes.
Je suis un expert en trigonométrie,
Je maîtrise les sinus et les cosinus.
(Refrain)
Les maths, c'est ma vie, c'est mon monde,
Je suis un vrai fan de l'arithmétique et de l'algèbre.
Je peux pas m'en passer, j'en suis accro,
Les maths, c'est mon truc, c'est mon flow.
-- Schnoebelen, Philippe
Bonjour,
Je suppose que nombre d'entre vous connaissent ChatGPT, une application qu'OpenAI a mise récemment en ligne à cette adresse (il faut s'inscrire pour l'utiliser). Chose importante à savoir : ChatGPT n'est pas connecté à Internet ; il ne va donc pas chercher ses réponses sur Google ou Wikipédia mais les génère lui-même. C'est un formidable exemple de la manière dont on s'attend à ce qu'une IA fonctionne.
Pour se faire une idée de la bête, voici une vidéo dans laquelle un codeur se demande si ChatGPT va mettre ou non un terme à sa carrière.
Les questions doivent être rédigées en bon français (ou anglais). Voici quelques exemples d'utilisation de cette application, mais il est avant tout important de se souvenir que ChatGPT génère ses réponses à la volée ; ainsi, une question posée deux ou trois fois pourrait avoir autant de réponses différentes – ou sensiblement différentes – à moins qu'elle n'admette qu'une réponse unique. Si une réponse ne nous satisfait pas nous pouvons toujours la poser à nouveau, en la formulant différemment par exemple. Nous sommes dans la même situation que lorsque nous demandons à plusieurs codeurs de nous fournir le code permettant de résoudre un problème : il y aura autant de codes différents que de codeurs, et l'un d'eux se distinguera probablement par sa simplicité et son élégance. A la limite, ChatGPT pourrait même trouver une solution à laquelle personne n'avait pensé.
Q : produis un générateur de nombres aléatoires en Python
GPT :
Voici un exemple de générateur de nombres aléatoires en Python qui utilise la bibliothèque 'random' :
import random def generate_random_number(lower_bound, upper_bound): # Génère un nombre aléatoire entier compris entre lower_bound et upper_bound return random.randint(lower_bound, upper_bound) # Génère et affiche un nombre aléatoire compris entre 1 et 100 print(generate_random_number(1, 100))Je change légèrement la formulation (en plus mauvaise) de ma question :
Q : génère un générateur de nombres aléatoires en Python
GPT :
Voici comment vous pouvez créer un générateur de nombres aléatoires en Python en utilisant la bibliothèque 'random' :
C'est un exemple de réponse dépendant en partie de la manière dont la question a été posée.
Q : comment écrit-on les fractions en Python ?
GPT : (la réponse étant longue, je vous laisse copier-coller la question dans ChatGPT, qui propose deux réponses : une avec la bibliothèque Fractions, et une sans. Elle peut même proposer trois réponses différentes).
Voici la réponse de GPT à la question que @cedv a posée dans ce fil, et qui était (reformulée pour que GPT la comprenne mieux) :
Q : On laisse une somme d'argent sur un compte rémunéré à un certain taux, et on veut savoir en combien de temps cette somme doublera
GPT : (idem, faites un copier-coller. La réponse, fournie en Python sans l'avoir demandé, est d'une incroyable précision).
Q : convertis en javascript
GPT : (le même code que précédemment, mais en javascript).
La question suivante a été posée par @thosmansk dans ce fil :
Q : déterminer le nombre d'applications surjectives d'un ensemble fini E vers un ensemble fini F en Python
GPT :
Pour déterminer le nombre d'applications surjectives d'un ensemble fini 'E' vers un ensemble fini 'F' en Python, vous pouvez utiliser la fonction 'permutations' du module 'itertools' de Python.
from itertools import permutations def nb_applications_surjectives(E, F): n = len(E) m = len(F) count = 0 for p in permutations(F, n): if all(p[i] != p[j] for i in range(n) for j in range(i+1, n)): count += 1 return count # Exemple d'utilisation E = [1, 2, 3] F = [1, 2] nb = nb_applications_surjectives(E, F) print(f"Il y a {nb} applications surjectives de E dans F.")Q : factoriser x^4+1
GPT :
from sympy import symbols, factor # Crée les variables symboliques x et y x = symbols('x') # Factorise l'expression x**4 + 1 result = factor(x**4 + 1) print(result) # affiche (x - 1)*(x + 1)*(x**2 + 1)La question suivante a été posée par @Diasmine dans ce fil. Le code qu'il propose est du scilab et il cherche à le convertir en Python. On commence par demander à GPT ce que fait ce code, sans préciser en quel langage il est écrit :
Q :
GPT : (copier-coller la question dans GPT. Truc : pour passer à la ligne après le point d'interrogation, presser Maj+Entrée. GPT identifie ce langage comme étant Matlab ou Octave)
Q : convertir en Python
GPT :
Dans la question suivante, on demande le résumé d'un extrait du "Dialogue aux enfers entre Machiavel et Montesquieu".
Q : résumer le texte suivant : "Est-ce le philosophe, est-ce l'homme d'État qui parle ainsi ? Qu'importe la mort pour ceux qui ont vécu par la pensée, puisque la pensée ne meurt pas ? Je ne connais pas, quant à moi, de condition plus tolérable que celle qui nous est faite ici jusqu'au jour du jugement dernier. Être délivré des soins et des soucis de la vie matérielle, vivre dans le domaine de la raison pure, pouvoir s'entretenir avec les grands hommes qui ont rempli l'univers du bruit de leur nom ; suivre de loin les révolutions des États, la chute et la transformation des empires, méditer sur leurs constitutions nouvelles, sur les changements apportés dans les mœurs et dans les idées des peuples de l'Europe, sur les progrès de leur civilisation, dans la politique, dans les arts, dans l'industrie, comme dans la sphère des idées philosophiques, quel théâtre pour la pensée ! Que de sujets d'étonnement ! que de points de vue nouveaux ! Que de révélations inouïes ! Que de merveilles, s'il faut en croire les ombres qui descendent ici ! La mort est pour nous comme une retraite profonde où nous achevons de recueillir les leçons de l'histoire et les titres de l'humanité. Le néant lui-même n'a pu briser tous les liens qui nous rattachent à la terre, car la postérité s'entretient encore de ceux qui, comme vous, ont imprimé de grands mouvements à l'esprit humain. Vos principes politiques règnent, à l'heure qu'il est, sur près de la moitié de l'Europe ; et si quelqu'un peut être affranchi de la crainte en effectuant le sombre passage qui conduit à l'enfer ou au ciel, qui le peut mieux que celui qui se présente avec des titres de gloire si purs devant la justice éternelle ?"
GPT : Le texte ci-dessus concerne l'idée que la mort n'est pas à craindre pour les personnes qui ont vécu par la pensée, car la pensée ne meurt pas. Le texte évoque également l'idée que la mort est une retraite où l'on peut méditer sur l'histoire et l'humanité, et que même la postérité peut encore s'intéresser aux personnes qui ont eu une grande influence sur l'esprit humain. Enfin, le texte suggère que la mort n'est pas à craindre pour ceux qui ont des titres de gloire "si purs" et qui se présentent devant la justice éternelle. [résumé très pertinent, qui ne retient que les notions les plus importantes].
Q : comment faire changer d'avis un forum de mathématiques qui refuse de parler d'autre chose ?
GPT : (copier-coller la question dans GPT. Cet exemple prouve que GPT construit chaque réponse à la volée, car si on pose plusieurs fois cette question on n'obtient jamais la même réponse, du moins dans les détails)
Fin des exemples. Je laisse chacun imaginer quel problème pourrait être facilement résolu par ChatGPT, peut-être en lui posant une question qu'il avait déjà posée ici, comme je l'ai fait plus haut. Tout l'intérêt de ChatGPT réside dans la clarté et la pertinence de ses explications. Il ne se contente pas de fournir un résultat, il en explique également la raison, le tout évidemment sans anathématiser.
ChatGPT est probablement toujours en phase d'apprentissage (se terminera-t-elle un jour ?). Je suppose que nos questions y contribuent. Pour le résumé d'un texte, par exemple, un pouce haut et un autre bas s'affichent avec la réponse.
Un lipogramme est un texte dans lequel une ou plusieurs lettres sont volontairement exclues. Pour écrire un lipogramme, il faut donc choisir une ou plusieurs lettres à exclure et s'assurer de ne pas les utiliser dans le texte.
Voici un exemple de lipogramme ne contenant pas la lettre "e" :
"J'ai vu un bffl dans la ville. Il volait au-dssus des maisons et s'amusait à chassr les oisaux. C'tait vraimnt imprssionnant! J'aimrais bien en voir un autr un jour."
Voici comment on pourrait écrire un lipogramme ne contenant pas la lettre "a" :
"J'ai vu un oiseau dns l ville. Il volit u-dssus ds misons et s'musit à chssr ls oisaux. C'tit vrimnt imprssionnt! J'imrids bien en vnir un utr un jour."
Il est important de noter que les lipogrammes peuvent être difficiles à écrire et à lire, car ils nécessitent de s'abstenir d'utiliser certaines lettres courantes de l'alphabet. Cependant, ils peuvent être un exercice amusant et créatif pour ceux qui aiment les défis linguistiques.
48% ce n'est pas mal, attendons encore quelques années.
Question 1.
Donner un exemple de nombre irrationnel dont le carré est un entier.
ChatGPT : Un exemple de nombre irrationnel dont le carré est un entier est $\sqrt{2}$. En effet, $\sqrt{2}^2 = 2$, qui est un entier.
Il existe d'autres exemples de nombres irrationnels dont le carré est un entier, tels que $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, etc. Toutefois, il est important de noter que la plupart des nombres irrationnels n'ont pas de carrés qui soient des entiers. En effet, si un nombre irrationnel avait un carré qui était un entier, alors il serait lui-même un nombre rationnel, ce qui est en contradiction avec sa définition de nombre irrationnel.
Question 2.
Soit $P$ un polynôme du second degré à coefficients réels tel que $P(1)=8$, $P(2)=2$ et pour tout réel $x$, $P(x)\ge0$. Déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre le coefficient dominant de $P$.
ChatGPT : Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser le fait que le coefficient dominant de $P$ est le coefficient de $x^2$ dans son écriture sous forme canonique. Nous savons également que $P(x)$ est un polynôme du second degré, donc il peut être écrit sous la forme $P(x) = ax^2 + bx + c$, où $a, b$ et $c$ sont des coefficients réels.
Puisque $P(1) = 8$ et $P(2) = 2$, nous pouvons écrire les équations suivantes:
$a + b + c = 8 \;\;\; 4a + 2b + c = 2$
En résolvant ce système d'équations à deux inconnues, nous obtenons $a = 2$ et $b = -6$. Cela signifie que $P(x)$ peut être écrit sous la forme $P(x) = 2x^2 - 6x + c$.
Pour que $P(x)$ soit supérieur ou égal à $0$ pour tout réel $x$, le coefficient $c$ doit être supérieur ou égal à $0$. Cela signifie que le coefficient dominant de $P$, qui est le coefficient de $x^2$, peut prendre n'importe quelle valeur positive ou nulle. En d'autres termes, l'ensemble des valeurs que peut prendre le coefficient dominant de $P$ est donné par l'intervalle $[0, +\infty[$.
Pour comprendre pourquoi cela est possible, il est important de comprendre ce qu'est un nombre irrationnel. Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction simple, c'est-à-dire comme le rapport entre deux entiers. Par exemple, le nombre pi (π) est un nombre irrationnel, car il ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction simple.
En revanche, un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple. Par exemple, 1/2 est un nombre rationnel, car il peut être exprimé comme le rapport entre deux entiers (1 et 2).
Revenons maintenant à la question initiale : est-il vrai que la somme de deux nombres irrationnels est toujours un irrationnel ? La réponse est non. En effet, il est possible que la somme de deux nombres irrationnels soit un nombre rationnel. Par exemple, si on prend deux nombres irrationnels quelconques a et b, il est possible que la somme a + b soit un nombre rationnel. Par exemple, si a = √2 et b = √3, alors a + b = √2 + √3 = √6, qui est un nombre rationnel.
En résumé, il est possible que la somme de deux nombres irrationnels soit un nombre irrationnel ou un nombre rationnel, selon les nombres irrationnels choisis.
Le nombre √6 peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple en utilisant la propriété suivante : si a est un entier naturel et b est un entier naturel pair, alors √(a * b) = √a * √b.
En utilisant cette propriété, on peut écrire √6 sous la forme √(2 * 3) = √2 * √3. Or, √2 et √3 sont des nombres irrationnels, mais leur produit √2 * √3 est un nombre rationnel, car il peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple. En effet, √2 * √3 = (√2)/1 * (√3)/1 = (√6)/1 = √6/√1 = √6.
Donc, √6 peut être exprimé sous la forme d'une fraction simple, ce qui signifie qu'il est un nombre rationnel.
J'espère que cela répond à votre question ! Si vous avez besoin de plus d'explications ou si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me poser.
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Moi : Est-ce que tu peux démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ?
ChatGPT : Il est en effet possible de démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. Pour ce faire, il suffit de prendre le nombre pair en question et de décomposer sa décomposition en nombres premiers en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Par exemple, pour démontrer que 6 est la somme de deux nombres premiers, nous pouvons décomposer 6 en facteurs premiers comme suit: 6 = 2 x 3. Comme 2 et 3 sont tous deux des nombres premiers, nous pouvons en déduire que 6 est la somme de deux nombres premiers.
De manière générale, nous pouvons démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers en utilisant cette méthode de décomposition en facteurs premiers. Cela tient du fait que tout nombre pair peut être décomposé en facteurs premiers de la forme 2 x n, où n est un nombre entier, et que 2 est un nombre premier.
Je tiens à préciser que cette démonstration ne s'applique qu'aux nombres pairs et qu'il n'est pas possible de démontrer de manière générale que tout nombre est la somme de deux nombres premiers. En effet, il existe de nombreux nombres qui ne peuvent pas être exprimés comme la somme de deux nombres premiers, comme par exemple 4, qui est égal à 2 + 2.
’’Bref, le jury se félicite de la réflexion didactique de candidats ne maîtrisant pas la discipline qu’ils doivent enseigner. Ils commentent, s’expriment avec aisance sur des sujets qu’ils connaissent mal. Un professeur n’est pas un communicant. Se féliciterait-on qu’un site complotiste relaie des fake news de manière convaincante ? Serais-je le seul à souhaiter qu’un professeur ne maîtrisant pas les contenus qu’il présente aux élèves ne fasse preuve d’aucune compétence didactique, d’aucune qualité pédagogique ? S’il s’agit d’affirmer des âneries, autant que ce soit au moins de façon la moins crédible possible.’’
Un nombre algébrique est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d'une fraction avec des nombres entiers pour numérateur et dénominateur. Par exemple, le nombre 1/2 est un nombre algébrique, tandis que le nombre pi (π) n'est pas un nombre algébrique, car il ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction avec des nombres entiers.
Le nombre "racine de 2 + racine de 3" peut être exprimé sous la forme d'une fraction en utilisant la formule de développement du binôme:
(racine de 2 + racine de 3) = (racine de 2 + racine de 3) (racine de 2 - racine de 3) / (racine de 2 - racine de 3) = racine de 2^2 - 3^2 / racine de 2 - 3 = 1 - 3 / racine de 2 - 3 = -2 / racine de 2 - 3
Nous pouvons simplifier cette fraction en utilisant la formule suivante pour simplifier les racines:
(racine de a) - (racine de b) = racine de (a - b)
En utilisant cette formule, nous pouvons simplifier la fraction de la manière suivante:
-2 / racine de 2 - 3 = -2 / racine de -1 = -2 * racine de -1 = -2 * i
Le nombre "-2 * i" est un nombre algébrique, car il peut être exprimé sous la forme d'une fraction avec des nombres entiers pour numérateur et dénominateur. Par conséquent, le nombre "racine de 2 + racine de 3" est un nombre algébrique.
Je espère que cette réponse vous a été utile. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.
ChatGPT : Pour calculer la valeur de "racine(2) - racine(3)", nous pouvons utiliser la formule suivante pour simplifier les racines:
(racine de a) - (racine de b) = racine de (a - b)
En utilisant cette formule, nous pouvons calculer la valeur de "racine(2) - racine(3)" de la manière suivante:
racine(2) - racine(3) = racine de (2 - 3) = racine de -1 = i
La valeur de "racine(2) - racine(3)" est donc égale à i.
Je espère que cette réponse vous a été utile. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.
ChatGPT : Le nombre "racine(2) - racine(3)" n'est pas un nombre réel.
Un nombre réel est un nombre qui peut être représenté sur une ligne numérique, c'est-à-dire qu'il peut être placé sur une droite infinie qui inclut les nombres négatifs, les nombres positifs et le nombre 0. Les nombres réels comprennent les nombres entiers, les nombres décimaux et les nombres irrationnels, comme pi (π).
Le nombre "racine(2) - racine(3)" n'est pas un nombre réel, car il ne peut pas être représenté sur une ligne numérique. En effet, ce nombre est égal à i, qui est la racine carrée de -1. i n'est pas un nombre réel, car il ne peut pas être placé sur une droite infinie qui inclut les nombres négatifs, les nombres positifs et le nombre 0.
ChatGPT : Pour calculer la valeur de "1/(racine(2)+racine(3))", nous pouvons utiliser la propriété suivante:
1/(a+b) = 1/a - 1/b
En utilisant cette propriété, nous pouvons calculer la valeur de "1/(racine(2)+racine(3))" de la manière suivante:
1/(racine(2)+racine(3)) = 1/racine(2) - 1/racine(3)
Il est important de noter que la valeur de "1/(racine(2)+racine(3))" ne peut pas être exprimée sous forme exacte en utilisant uniquement des nombres entiers et des racines carrées de nombres entiers. Pour obtenir une valeur approchée de cette expression, il faudrait utiliser une calculatrice ou un logiciel de calcul qui peut effectuer des calculs avec des nombres réels.
Oui, il est possible de démontrer que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. Cette démonstration repose sur le théorème de Goldbach, qui affirme que tout nombre entier supérieur à deux peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers.
Voici une démonstration du théorème de Goldbach pour les nombres pairs :
Considérons un nombre pair n. Comme n est pair, n peut être écrit sous la forme n = 2k pour un certain entier k. Nous voulons démontrer que n peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers.
Commençons par supposer que n est impair. Dans ce cas, n-2 est un nombre pair inférieur à n, donc n-2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers p et q, c'est-à-dire n-2 = p + q. En ajoutant 2 à chaque côté de l'équation, nous obtenons n = p + q + 2. Comme p et q sont premiers, p + q + 2 est également premier, ce qui contredit notre hypothèse initiale selon laquelle n était impair.
Par conséquent, n doit être pair. Comme tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers (selon le théorème de Goldbach), n est la somme de deux nombres premiers.
Cette démonstration montre que tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers.
Oui, c'est vrai. Le cardinal de R (l'ensemble des nombres réels) est strictement plus grand que celui de Z (l'ensemble des entiers naturels).
Le cardinal de R est infini, tandis que le cardinal de Z est fini. Cela signifie que l'ensemble des nombres réels contient un nombre infini de nombres, alors que l'ensemble des entiers naturels ne contient qu'un nombre fini de nombres.
Il y a plusieurs preuves de cette assertion. Par exemple, on peut montrer que l'ensemble des nombres réels est dense dans lui-même, ce qui signifie qu'il y a toujours un nombre réel compris entre deux nombres réels donnés. Cela signifie que, quelle que soit la façon dont on divise l'ensemble des nombres réels en intervalles, il y aura toujours un nombre réel qui n'appartient à aucun des intervalles. Ainsi, il y a toujours un nombre réel qui n'a pas encore été compté, ce qui signifie que l'ensemble des nombres réels est infini.
En revanche, l'ensemble des entiers naturels est fini, car il n'y a qu'un nombre fini d'entiers naturels. Ainsi, le cardinal de Z est inférieur au cardinal de R.