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Loi conditionnelle d'une loi exponentielle

LeViolonisteLeVioloniste
Modifié (December 2022) dans Probabilités, théorie de la mesure
Je considère une va $X$ suivant une loi $Exp(\theta)$.
On considère la va $X^*$ qui vaut $0$ si $X<a$ et $x$ (je corrige $X$) si $X>a$.
a) d'abord on demande $\mathbb{E}[X^*]$.
On a facilement $\mathbb{E}[X^*]=0 . \mathbb{P}(X<a)+ X. \mathbb{P}(X>a) = X . \mathbb{P}(X>a) =  X . e^{-\theta.a}$ .
b) Ensuite on demande la loi conditionnelle de $X$ sachant $X>a$.
S'agit-il de trouver $\mathbb{P}(X < x | X>a) $ ?
X < x | X>a)
Je pense à si $x<a$, $\mathbb{P}(X < x | X>a)=0$.
si $x>a$, $\mathbb{P}(X < x | X>a)=\frac{ \mathbb{P}(X < x et  X>a)} { \mathbb{P}(X>a)} = \frac{ \mathbb{P}(X \in [a,x] )}{\mathbb{P}(X>a)}=1- e^{\theta(a-x)}$.
Si simple ?
c) soit $m_n=min \{X_i, i \in [[1,n]], X_i > a\}$. Où les $X_i$ sont indépendantes et suivent la loi $Exp(\theta)$.
Loi de $m_n$ ?
L'idée est de calculer la proba de $\{m_n > t\}= \{X_1 > t\} \cap \{X_2 > t\}\cap  \{X_3 > t \}.... \cap \{X_n > t \}$.
puis $\mathbb{P}({m_n > t})=\mathbb{P}({X_1 > t})^n$. Puis on distingue si $t>a$ ou $t<a$.

Réponses

  • LucasLucas
    Modifié (December 2022)
    Bonjour
    J'imagine que dans l'énoncé c'est $X$ et pas $x$ ?
    Question a) Ta réponse est bizarre : qui est $X_i$ ? Si c'est $X$ ça ne va pas : tu cherches une espérance donc le résultat doit être un nombre, pas une variable aléatoire.
    Tu devrais partir de $X^* = X\mathbf{1}_{X>a}$ et calculer l'espérance de ce truc.
    Question b) ça m'a l'air correct.
    Question c) Tu t'es emmêlé dans les $n$, les $t$, les $a$. Réécris ton événement $\{m_n >t\}$, ou plutôt $\{m_n =t\}$ ça se sera plus intuitif ($t$ est une variable entière à valeurs dans $\{1,2,\dots, n\}$).
  • LeViolonisteLeVioloniste
    Modifié (December 2022)
    J'ai corrigé pour $X$ au lieu de $x$.
    Par contre : $\mathbb{E}[X^*]=\mathbb{E}[X.\mathbb{1}_{X>a}]=\mathbb{P}(X>a).\mathbb{E}[X]$, c'est bien ça ?
  • JLapinJLapin
    Non, l'espérance d'un produit de variables aléatoires n'est en général pas égal au produit des espérances.
  • LeViolonisteLeVioloniste
    Modifié (December 2022)
    $\mathbb{E}[X^*]=\mathbb{E}[X.\mathbb{1}_{X>a}]=\int_\mathbb{R} x.\mathbb{1}_{X>a} d\mathbb{P}_X(x)=?$
    $\mathbb{E}[X^*]=\int_a^{+\infty} x.\theta.e^{-\theta.x} dx$ avec une IPP,

    $\mathbb{E}[X^*]=a.e^{-\theta.a} + 1/a.e^{-\theta.a}$




  • BibixBibix
    Modifié (December 2022)
    Pour rappel : $\mathbb{E}[f(X)] = \int_{\mathbb{R}} f(x) d\mathbb{P}_X(x)$.
    Ici, $f(x) = x 1_{x > a}$ et $d \mathbb{P}_{X}(x) = \theta e^{- \theta x} 1_{x > 0} dx$.
  • LeViolonisteLeVioloniste
    Modifié (December 2022)
    @Bibix : C'est ce que j'ai fait Bibix
    @Lucas : les va $X_i$ suivent des exponentielles, donc $X_i=t$ n'a pas de sens ?
  • LeViolonisteLeVioloniste
    Modifié (December 2022)
    Pour la c) je trouve
    $\mathbb{P}(m_n > t)= e^{-\theta.a.n}$ si $t<a$ et
    $\mathbb{P}(m_n > t)= e^{-\theta.a.t}$ si $t>a$.
  • LucasLucas
    Modifié (December 2022)
    Ah zut pardon, j'avais lu trop vite pour la c) j'ai écrit une bêtise. Quand même c'est bizarre cet énoncé : je ne comprends pas comment est défini $m_n$ si tous les $X_i$ sont inférieurs à $a$.
    Tu es sûr de la définition de $m_n$ ?
  • LeViolonisteLeVioloniste
    Voici l'énoncé. C'est bien ce que j'ai écris.
    Je ne vois pas faire autrement pour la c) ?
  • gerard0gerard0
    Modifié (December 2022)
    Bonjour.
    Tu avais oublié une partie de la définition de $m_n$, celle  qui répond à la question de Lucas :  Comment est défini $m_n$ quand tous les $X_i$ sont inférieurs à $a$.
    Cordialement.
  • LeViolonisteLeVioloniste
    Et du coup vous trouvez pareil que moi ou pas ?
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