Intégrales curvilignes, je recommence

Homo Topi · December 2022

J'avais déjà fait un fil sur ça il y a un moment. Je préfère recommencer du début parce que le dernier fil m'avait embrouillé au point où j'avais l'impression de régresser.

Soit donc $\gamma : [a,b] \longrightarrow \R^n$ un paramétrage d'un arc $\Gamma$.

Soit $f : \R^n \longrightarrow \R$ une fonction (continue, disons), on cherche à définir "l'intégrale de $f$ au-dessus de $\Gamma$".

Ici, je trouve deux choses : une définition que je comprends, et une notation que je ne comprends pas. L'intégrale de Stieltjes, ça va : ils notent $\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma)\text{d}s_{\gamma}$, je préfère noter ça $\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma)(t)\text{d}s_{\gamma}(t)$ avec une variable, puisque la seule notation d'intégrale que je sais utiliser est $\displaystyle \int_X f(x) \text{d}\mu(x)$, avec une variable muette précisée dans la fonction et la mesure pour savoir de quel calcul exactement il est question.

Puisque par définition, $s_{\gamma}(t)$ est l'abscisse curviligne $\displaystyle\int_a^t \|\gamma'(x)\|\text{d}x$, on a $\dfrac{\text{d}s_{\gamma}}{\text{d}t}(t)= \|\gamma'(t)\|$, à la physicienne $\text{d}s_{\gamma}(t)= \|\gamma'(t)\|\text{d}t$.

Ceci justifie bien que $\boxed{\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma)(t)\text{d}s_{\gamma}(t) = \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\|\text{d}t}$, ça c'est une gentille intégrale de la forme $\displaystyle \int_a^b g(t)\text{d}t$.

Jusque-là, très bien.

Maintenant, il y a cette fameuse notation $\displaystyle \int_{\Gamma} f~\text{d}s$. Déjà, je ne sais pas si je dois comprendre ça comme $\displaystyle \int_{\Gamma} f(s)\text{d}s$ ou $\displaystyle \int_{\Gamma} f(\textbf{x})\text{d}s(\textbf{x})$, ou à tout hasard quelque chose d'encore différent, donc je n'aime pas cette notation. Ici, avec une variable complexe, on est plus proche de la première, et là, on a carrément une notation hybride "$f(\textbf{x})\text{d}s$".

Evidemment, on ne serait pas dans le domaine calcul diff/géo diff si ce n'était pas un bordel de notations qui pose problème. Slogan : je peux tout comprendre si je comprends les notations.

J'ai trouvé ceci : on trouve donc, selon le système de coordonnées choisi, plusieurs définitions de "$\text{d}s$". Pourtant, dans ma définition d'intégrale curviligne, nulle part on précise un système de coordonnées. Pour la formule que j'ai encadrée, on n'en a pas besoin.

Voilà mes questions :

1) Comment comprendre "$\displaystyle \int_{\Gamma} f~\text{d}s$" ? Est-ce que c'est $\displaystyle \int_{\Gamma} f(s)\text{d}s$, est-ce que c'est $\displaystyle \int_{\Gamma} f(\textbf{x})\text{d}s(\textbf{x})$, aucun des deux (et dans ce cas, c'est quoi ?) ?

2) Comment savoir comment comprendre $\text{d}s$ ? Dans le sens, est-ce que c'est $\text{d}s^2 = \displaystyle \sum_{k=1}^n \text{d}x_k$, la version polaire, sphérique... dans la notation "$\displaystyle \int_{\Gamma} f~\text{d}s$" ?

3) Quelle est la définition précise de $s$ ? Pas celle de $\text{d}s$ ni celle de $\text{d}s^2$, celle de $s$. Le truc le plus prometteur que j'ai trouvé est cette phrase qui mentionne les tenseurs métriques, mais visiblement ça dépend encore d'un choix de système de coordonnées.

J'espère que mes questions sont un peu "mieux posées" que la dernière fois.

Post-scriptum : dans l'absolu, je pourrais sans doute considérer, et certains ici essaieront sûrement de me dire, que "$\displaystyle \int_{\Gamma} f~\text{d}s$" n'est que une notation, l'objet précis étant $\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma)(t)\text{d}s_{\gamma}(t)$. Maiiiiiiis non, je n'aime pas cette idée. $\Gamma$ est une partie d'un espace euclidien sur laquelle on peut définir des intégrales par rapport à des mesures, mon seul souci étant que je bute sur ce qu'est la définition de $s$. D'ailleurs, même (je me mets en dimension $2$ pour simplifier) avec $\text{d}s^2 = \text{d}x^2 + \text{d}y^2$, je ne suis pas trop sûr comment comprendre la chose. $\displaystyle \int_{\Gamma} f(x,y) \text{d}s$ ça donnerait "$\displaystyle \int_{\Gamma} f(x,y) \sqrt{\text{d}x^2 + \text{d}y^2}$" ? Qu'est-ce que c'est que cette horreur ?

Enfin bref. J'ai exposé tous mes problèmes, j'attends de voir ce qu'on va me dire.

Homo Topi · December 2022

Remarque à moi-même : il y a probablement un rapport entre la formule pour $\text{d}s$ et celle de la norme $\|\cdot\|$...

Homo Topi · December 2022

J'essaie de comprendre les choses par changement de variable, mais je ne dispose d'aucun théorème qui marche. Si je pose $x:=\gamma(t)$ dans $\displaystyle \int_a^b f(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\text{d}t$, je ne sais pas trop quoi faire avec le $\|\gamma'(t)\|$...

Foys · December 2022

-Les notations employées en calcul différentiel sont objectivement stupides voire illogiques (massacre systématique de la distinction variable libre/variable liée) mais se sont imposées par l'usage historique. Faut juste admettre cet état de fait politique et se dire de ne pas perdre une minute de sommeil là-dessus (l'important étant de toujours pouvoir reconstituer par soi-même le véritable objet formel désigné par ces écritures).

-Soit $E$ un espace de Banach. Soient $a,b\in \R$ avec $a<b$. Soit $\gamma: [a,b]\to E$ une fonction $\mathcal C^1$. Alors $\int_a^b \|\gamma'(t)\| dt$ est égal à la borne supérieure $\ell$ de l'ensemble des nombres de la forme(*) $\sum_{i=1}^n \|\gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1})\|$ où $n\in \N$ et $(x_i)_{i=0,...,n}\in [a,b]^{n+1}$ sont tels que $x_0=a,x_n=b$ et $x_{i-1}<x_i$ pour tout $i\in \{1,...,n\}$.

(en utilisant l'inégalité triangulaire, commencer par établir que pour tout $\varepsilon>0$, $\ell$ est la borne supérieure des quantités (*) satisfaisant la contrainte supplémentaire :$\forall i <n, |x_{i+1} - x_i| \leq \varepsilon$ puis utiliser l'inégalité des accroissements finis).

$\ell$ s'appelle la "longueur" de la courbe $\gamma$.

Foys · December 2022

On garde les notations du post ci-dessus. On suppose que $\gamma'$ ne s'annule jamais. Soit $s=:t\in [a,b] \mapsto \int_a^b \|\gamma' (u)\|du$. Alors $s$ est $C^1$ de dérivée $s'(t) = \|\gamma'(t)\|$ pour tout $t\in [a,b]$ et donc $\gamma $est ($\gamma'$ ne s'annulant pas) un difféomorphisme croissant sur son image. On a $s(a)=0$ et $s(b) = \ell$. Soit $\beta:=x\in [0,\ell] \mapsto \gamma \circ s^{-1}(x)$. Alors $\beta \circ s = \gamma$ et donc pour tout $t\in [a,b]$, $(\beta \circ s)'(t) = \beta' (s(t)) s'(t) = \beta (s(t)) \|\gamma'(t)\| = \gamma'(t)$ et donc $\beta (s(t)) = \frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t) \|}$. Par suite $\|\beta'(x)\|$ est de norme $1$ pour tout $x\in [0,\ell] = s([a,b])$ et son image est celle de $\gamma$. $\beta$ est le "paramétrage par longueur d'arc" de $\gamma$.

Homo Topi · December 2022

Ton $s$ est ce qui est noté $s_{\gamma}$ sur Wikipédia/chez moi. Ça ne peut pas être le même objet que ce qu'ils notent $s$.

EDIT : quoique, pas sûr. Je réfléchis. Je suis assez convaincu que j'ai raison.

EDIT2 : je conserve mes notations et j'utilise les idées de @Foys.

$s_{\gamma}(t):=\displaystyle \int_a^t \|\gamma'(x)\|\text{d}x$, donc $s_{\gamma}'(t) = \|\gamma'(t)\|$, de sorte que $\displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\|\text{d}t = \int_a^b f(\gamma(t)) s_{\gamma}'(t)\text{d}t$.

$\gamma = \beta \circ s_{\gamma}$ donc $\displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) s_{\gamma}'(t)\text{d}t = \int_a^b (f\circ \beta)(s_{\gamma}(t)) s_{\gamma}'(t)\text{d}t =\int_{s_{\gamma}(a)}^{s_{\gamma}(b)} (f\circ \beta)(x) \text{d}x$ en posant $x=s_{\gamma}(t)$.

Comme $s_{\gamma}(a)=0$ et $s_{\gamma}(b)=L$, la longueur de l'arc $\gamma([a,b])$, on a donc : $\boxed{\displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\|\text{d}t = \int_0^L f(\beta(x)) \text{d}x}$.

Je me rapproche un peu plus d'un truc que je saurais "légitimement" noter $\displaystyle \int_{\Gamma} f~\text{d}s$ mais je ne sais pas s'y suis tout à fait.

Alain24 · December 2022

L'exemple donné par Homo Topi illustre bien la difficulté et le temps que doit passer le rédacteur d'un problème de mathématiques. Rédiger un problème d'examen ou de concours n'est pas neutre et s'il n'y prend pas garde le rédacteur introduit des non-sens ou des ambigüités. Cet exemple justifie a posteriori l'usage qu'un professeur d'université soit présent à l'examen lorsqu'il l'a rédigé, étant retraité j'ignore si cet usage salutaire est toujours en cours lors de partiels ou d'examen de fin d'année à l'université. Au cours de ma vie d'étudiant j'ai vu pire que l'exemple d'Homo Topi : un professeur de physique s'essayant à une démonstration qu'il ne maîtrisait pas et introduisait $\int\frac{f(x)}{dx}$ et finissait par "retomber sur ses pattes" pour arriver au résultat qu'il recherchait, autant vous dire que ses étudiants se posaient beaucoup de question sur cette approche magique de la physique et en étaient dégoûtés pour longtemps....

Homo Topi · December 2022

@Alain24 quand j'ai fait mes études pendant la décennie 2010, le prof était dans la salle pour les examens. Et aux concours de prépa/CAPES/agreg il y en a plusieurs dans chaque salle aussi. S'il y a un problème dans le sujet, la salle entière en est informée, mais dans des concours à l'échelle nationale, évidemment chaque centre d'examen va faire les choses différemment, donc on conseille aux candidats d'écrire "tout ce qui dévie du sujet" (l'erreur d'énoncé + la solution adoptée par le candidat) sur leur copie.

Je peux comprendre beaucoup de choses dès lors que je comprends au moins les notations, et ça m'étonnerait que je sois le seul qui fonctionne comme ça. Je me souviens avoir longuement bugué par exemple sur les anneaux quotients avec les classes notées "$x+I$". J'y voyais autre chose que les classes dans un groupe qui sont en général notées "$gH$" sans opérateur, et qui étaient notées comme ça dans mes cours. A l'époque, j'avais repris mes notes sur les groupes et remplacé CHAQUE occurrence de "$gH$" par "$g \star H$", ce qui rendait bien clair que le $x+I$ est un exemple de ça, la loi de groupe d'un anneau étant notée $+$.

Pour le calcul différentiel, pendant ma première L3 c'était Michèle Audin qui nous faisait le cours (l'auteure du livre "Géométrie L3M1", entre autres). Si à l'époque, je râlais parce que son cours était "difficile à lire" parce que ses notations étaient très lourdes, j'ai fini par prendre un sacré recul sur ça. Son cours, si on prenait le temps de le lire, était impossible à ne pas comprendre. Tout est précis, sans ambigüités. J'ai vraiment besoin de ce genre de choses, surtout quand je découvre. Typiquement, dans le monde des tenseurs, je déteste la convention de sommation d'Einstein, si c'est censé aider en allégeant les notations pour moi ça m'empêche juste de comprendre en lisant.

Dans un sens, ça prouve qu'il y a un gros avantage à ce que "toute la communauté" utilise les mêmes notations/conventions pour les mêmes objets. Il reste alors à se poser la question de ce qu'il existe comme notations qui facilitent la compréhension des choses, ou du moins qui n'y nuisent pas. Je pense d'ailleurs que c'est une bonne chose d'avoir travaillé un jour avec MAPLE ou un autre logiciel de calcul formel similaire : ces bestiaux-là, si la notation est ambigüe, ils bloquent, ce qui oblige l'utilisateur à être vigilant.

Foys · December 2022

Il n'y a qu'une seule vraie règle à vrai dire: déclarer toutes les lettres libres d'un texte et traiter toutes les autres (dites "liées" ou "muettes") comme des versions embellies de pointeurs, en faisant vraiment figurer la liaison.

raoul.S · December 2022

@Homo Topi je reviens sur ça :

Homo Topi a dit :
Post-scriptum : dans l'absolu, je pourrais sans doute considérer, et certains ici essaieront sûrement de me dire, que "$\displaystyle \int_{\Gamma} f~\text{d}s$" n'est que une notation, l'objet précis étant $\displaystyle \int_a^b (f \circ \gamma)(t)\text{d}s_{\gamma}(t)$. Maiiiiiiis non, je n'aime pas cette idée. $\Gamma$ est une partie d'un espace euclidien sur laquelle on peut définir des intégrales par rapport à des mesures...

Tu peux définir une mesure sur $\Gamma$ notée $ds$ qui rend plus rigoureuse la notation que tu évoques, mais je crois que ce n'est pas très mentionné car pas très utile, ça oblige à utiliser la théorie de la mesure un peu trop pour un cours de géo-diff peut-être...

On peut procéder ainsi : on reprend les notations de Foys, $s=:t\in [a,b] \mapsto \int_a^t \|\gamma' (u)\|du$.
$\Gamma$ est égal à $\gamma([a,b])\subset \R^n$ et on peut donc considérer la tribu induite par $\R^n$ sur $\Gamma$. On considère alors la mesure image de $\gamma\circ s^{-1}:[0,\ell]\to \Gamma$. C'est une mesure sur $\Gamma$ que l'on peut noter $ds$.

La notation $\displaystyle \int_{\Gamma} f~\text{d}s$ prend donc maintenant tout son sens. C'est l'intégrale d'une fonction $f$ (supposée intégrable, c'est ok si elle est continue) définie sur l'espace mesuré $\Gamma$.

Pour montrer que cette expression est bien égale à $\int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\|\text{d}t$ il suffit d'utiliser le théorème de changement de variables en théorie de la mesure (voir théorème ICI ) : $\displaystyle \int_0^{\ell} f(\gamma\circ s^{-1}(x))\text{d}x=\int_{\Gamma} f~\text{d}s$. De plus $\displaystyle \int_0^{\ell} f(\gamma\circ s^{-1}(x))\text{d}x=\int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\|\text{d}t$ en posant $x=s(t)$. Pour finir $\int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\|\text{d}t=\int_{\Gamma} f~\text{d}s$.

PS. d'ailleurs la mesure définie sur $\Gamma$ est indépendante du représentant choisi pour $\gamma$. Plus précisément si $\alpha[c,d]\to [a,b]$ est $C^1$ bijective et strictement monotone alors $\gamma\circ \alpha$ induit la même mesure image sur $\Gamma$.

Homo Topi · December 2022

Je préfère changer un peu de notations. Je note toujours $s_{\gamma}$ ce que l'article Wikipédia notait $s_{\gamma}$. Et du coup $s$ ça serait la mesure image de la mesure de Lebesgue sur $[0,L]$ par $\gamma \circ s_{\gamma}^{-1}$. Dans ce cas, $\displaystyle \int_{\Gamma}f~\text{d}s := \int_{\Gamma}f(u)~\text{d}s(u) = \int_{[0,L]} f \circ (\gamma \circ s_{\gamma}^{-1})(x)\text{d}x$.

Le $\gamma \circ s_{\gamma}^{-1}$ est ce que Foys notait $\beta$, donc je retombe bien sur l'intégrale $\displaystyle \int_0^L f(\beta(x))\text{d}x$.

C'est exactement ce que je cherchais ! Un grand merci à vous deux.

Homo Topi · December 2022

Résumé.
$\gamma : [a,b] \longrightarrow \Gamma \subseteq \R^n$ une fonction continue dérivable de classe $\mathcal{C}^1$.

$s_{\gamma} : [a,b] \longrightarrow \R$, $t \longmapsto \displaystyle \int_a^t \|\gamma'(u)\|\text{d}u$ : abscisse curviligne associée à $\gamma$, existe en tant que primitive d'une fonction continue.

$L=s_{\gamma}(b)$ est la longueur de $\Gamma :=\gamma([a,b])$, qui est finie car $\gamma$ est continue.

D'après le théorème de la bijection, $s_{\gamma}$ est une bijection entre $[a,b]$ et $[0,L]$ : elle est continue car dérivable (primitive d'une fonction), et monotone car croissante (intégrale d'une fonction positive).

Donc $\beta := \gamma \circ s_{\gamma}^{-1} : [0,L] \longrightarrow \Gamma$ existe, et elle est Lebesgue-mesurable car elle est continue.

Donc la mesure image $s:=\beta_{\ast}\lambda$ de la mesure de Lebesgue $\lambda$ par $\beta$ existe.

Par définition, on a donc $\displaystyle \int_{\Gamma}f~\text{d}s := \int_{\Gamma}f(u)~\text{d}s(u) = \int_{[0,L]} f(\beta(x))\text{d}\lambda(x) := \int_0^L f(\beta(x))\text{d}x$.

Les changements de paramétrage, c'est la suite.

SkyMtn · December 2022

Raisonnons comme un physicien. On dispose de $\Gamma$ un fil d'épaisseur constante infiniment petite. On souhaite déterminer sa masse. Supposons que ce fil soit composé d'un matériau homogène (la masse est donc équitablement répartie le long du fil), alors
$$ m = \rho\, \ell $$ avec $m$ la masse du fil en $\text{kg}$, $\rho$ la densité du matériau en $\text{kg/m}$ et $\ell$ la longueur du fil en $\text{m}$.

Maintenant, supposons que la masse ne soit pas équitablement répartie le long du fil (par exemple car le fil est composé de plusieurs matériaux). On a cependant accès à la distribution de masse $\rho(s)$ en fonction de la position $s$ sur le fil. On peut raisonnablement penser que cette distribution $\rho(s)$ est continue, donc localement le fil est (quasiment) homogène, et sur une petite portion de courbe de longueur $\mathrm ds$ la masse accumulée est $\rho(s)\,\mathrm ds$. La masse totale est la somme de toutes ces petites contributions
$$ m = \int_\Gamma \rho(s)\,\mathrm ds $$ Dans cette notation, $s$ est la position sur la courbe $\Gamma$ et $\mathrm ds$ est l'accroissement de longueur. Mathématiquement, on peut définir cette quantité comme une intégrale de Stieltjes, ou encore comme une intégrale de Lebesgue. Dans les deux cas $s : [a,b] \longrightarrow \mathbb R^d$ doit être un paramétrage rectifiable de la courbe $\Gamma$ (la courbe doit avoir une longueur finie).

Quant au formalisme Lebesgue, si $s : [a,b] \longrightarrow \mathbb R^d$ est une fonction continue rectifiable, alors $t\longmapsto \ell(]a,t])$ la fonction qui donne la longueur de la courbe (paramétrée) sur l'intervalle $]a,t]$ est croissante continue, elle se prolonge donc (de façon unique) en une mesure $\ell$ sur la tribu borélienne de $[a,b]$ et alors, on a $\int_\Gamma \rho(s)\,\mathrm ds = \int_a^b \rho(s(t)) \,\ell(\mathrm dt)$.

Édit : tu dois garder à l'esprit que ce ne sont que des notations, l'important c'est de comprendre la signification des objets que tu manipules. D'ailleurs un physicien noterait plutôt $\int_\Gamma \rho(x)\,\mathrm ds$ en introduisant deux variables muettes $x$ et $s$ ($x$ pour la variable d'espace et $s$ la variable de longueur).

Homo Topi · December 2022

Donc chez toi le $s$ est bien une variable. Hmmm.

SkyMtn · December 2022

Autrement, on peut noter cette intégrale $\int_\Gamma \rho(x)\,\|\mathrm dx\|$ et ça devient plus explicite... Notamment en analyse complexe (chez les anglophones en tout cas) c'est fréquent d'écrire un truc comme $\int_\gamma f(z) \,|\mathrm dz|$ pour le distinguer de la notation $\int_\gamma f(z) \,\mathrm dz$ qui a un autre sens (dans la première on intègre un champ scalaire alors dans la seconde on intègre un champ vectoriel).

Homo Topi · December 2022

Je vais relire les choses plus en détail. J'aperçois des gros changements de notation, entre autres.

Homo Topi · December 2022

@SkyMtn ton $s$ est mon $\gamma$ en fait, la position sur la courbe. Donc ton $\text{d}s$ est équivalent à $\|\gamma'(t)\|\text{d}t$, un déplacement infinitésimal le long de la courbe. On retombe sur les formules d'avant.

Homo Topi · December 2022

@SkyMtn j'ai vu ton édit, mon problème c'est que l'ambigüité des notations m'empêche d'être sûr que je comprends bien ce que je manipule.

Choses que je comprends :
1) intégrale de Lebesgue $\displaystyle \int_X f \text{d}\mu$ alternativement notée $\displaystyle \int_X f(x) \text{d}\mu(x)$
2) intégrale de Riemann $\displaystyle \int_a^b f(t) \text{d}t$

Si on peut ramener les autres objets à ça, ça me va. Sinon, ça ne me va pas.

EDIT (ajout) : je me cantonne aux notations Wikipédia puisque c'est une référence à laquelle nous avons tous accès. Quand toi, tu écris $\displaystyle \int_{\Gamma}\rho(s)\text{d}s$, "ce $s$" est une variable muette, ce n'est pas "le même $s$". Et quand tu dis que $s$ est la position sur la courbe et que $\text{d}s$ est une longueur infinitésimale de courbe*, ton $s$ est ce qu'ils notent $\gamma(t)$. Question : comment fait-on proprement le changement de variable pour trouver $\text{d}s = \|\gamma'(t)\|\text{d}t$ ? Je ne vois pas d'où sort mathématiquement la norme...

*on ferait peut-être mieux de noter ça $\text{d}\Gamma$, pour que ce soit un minimum cohérent avec les notations d'intégrales de surface où l'on voit des $\displaystyle \int_S f~\text{d}S$... comme dit, le problème c'est les notations et leur interprétation.

raoul.S · December 2022

Homo Topi a dit :

Question : comment fait-on proprement le changement de variable pour trouver $\text{d}s = \|\gamma'(t)\|\text{d}t$ ? Je ne vois pas d'où sort mathématiquement la norme...

À partir de $\displaystyle \int_0^{\ell} f(\gamma\circ s^{-1}(x))\text{d}x$ tu fais un changement de variable classique en posant $x=s(t)$.

Homo Topi · December 2022

J'ai encore et toujours l'impression que tu ne parles pas du même $s$ que lui, donc je ne suis pas tout à fait d'accord.

Foys · December 2022

SkyMtn a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/profile/SkyMtn

Édit : tu dois garder à l'esprit que ce ne sont que des notations, l'important c'est de comprendre la signification des objets que tu manipules. D'ailleurs un physicien noterait plutôt $\int_\Gamma \rho(x)\,\mathrm ds$ en introduisant deux variables muettes $x$ et $s$ ($x$ pour la variable d'espace et $s$ la variable de longueur).

Le massacre (traditionnel) des variables libres/muettes par les physiciens n'aide pas en général.

Georges Abitbol · December 2022

@SkyMtn : C'est typiquement en lisant le genre de prose que tu écris que je ne comprends rien. Je suis d'ailleurs partagé entre l'admiration (de la virtuosité avec laquelle les personnes qui font de la physique manipulent ces phrases dont la grammaire m'est inconnue) et la consternation (comment peuvent-elles être sûres qu'elles parlent de la même chose en commettant autant d'erreurs syntaxiques ?) !

Positif · December 2022

Yep j’en suis arrivé à la même conclusion . Quand un auteur note $f(s)$ il parle de la paramétrisation normale et $\frac{ds}{dt} = ||\gamma’(t)||$

Homo Topi · December 2022

Je crois que le point clé des problèmes de notation est vraiment ici : quand on note $\displaystyle \int_{\Gamma}f~\text{d}s$, certains (dont moi) lisent ça $\displaystyle \int_{\Gamma}f(u)~\text{d}s(u)$, où $s$ doit être une mesure, et d'autres lisent ça $\displaystyle \int_{\Gamma}f(s)~\text{d}s$, où $s$ est une variable "qui parcourt la courbe" et où donc $\text{d}s$ est un élément de courbe infinitésimal (qui, encore une fois, à mon sens serait mieux noté $\text{d}\Gamma$, ce qui, comme je l'avais dit, serait plus cohérent avec les notations des intégrales de surface). Le problème de la deuxième méthode de lecture, c'est qu'on ne peut pas comprendre l'intégrale $\displaystyle \int_{\Gamma}f(s)~\text{d}s$ autrement qu'en faisant un changement de variable : celui qui consiste à appeler $s=\gamma(t)$ en choisissant une paramétrisation $\gamma : [a,b] \longrightarrow \R^n$ de la courbe, donc dans cette lecture-là, $\displaystyle \int_{\Gamma}f~\text{d}s$ où $\displaystyle \int_{\Gamma}f(s)~\text{d}s$ ne sont vraiment que des notations raccourcies pour $\displaystyle \int_a^b f(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\text{d}t$, qui elle est alors LA définition (celle avec laquelle on sait calculer et qu'on sait "interpréter graphiquement à la physicienne") pour ces gens-là. Mais à partir d'ici, même s'il existe un paramétrage normal (celui que Foys avait nommé $\beta$), on peut seulement écrire l'intégrale $\displaystyle \int_0^L f(\beta(x))\text{d}x$, et le fait de poser par exemple $\beta(x):=x$ ne se traduit pas en $\text{d}s=\text{d}x$ et donc l'écriture $\displaystyle \int_{\Gamma}f(s)\text{d}s$ n'est pas si légitime que ça pour moi.

Personnellement, je préfère la définition "Lebegue-Stieltjes" parce que c'est celle qui apaise le plus mon cerveau de par sa cohérence. Et donc le "bon" $s$ est une mesure, "le $s$ du physicien" étant d'avantage le truc noté $s_{\gamma}$ sur Wikipédia.

Positif · December 2022

Le $s$ et $ds$ se référent 99% du temps à la parametrisation normale . La fonction $s_{\gamma}$ . La fonction Longueur $L$ va de $[0, T]$ dans $[0, M]$ et son inverse est la fonction $s : [0, M] \rightarrow [0, T]$ et on la prend parce que ça permet d’avoir une norme unité pour le vecteur vitesse donc une expression “simple” pour les courbures et les torsions .

Homo Topi · December 2022

Oui mais ça reste un raccourci foireux de notation ! On l'a écrit en détail, que tu notes le paramétrage normal $\beta$ comme Foys l'a fait (et je l'ai adopté dans la suite du fil pour qu'on ne s'embrouille pas sur une deuxième notation) ou $s$, l'écriture correcte serait $\displaystyle \int (f \circ s)~ \text{d}s$ ou $\displaystyle \int f(s(x)) \text{d}s(x)$ mais il FAUT faire ressortir le fait que $s$ est une fonction et pas une variable muette (donc, que c'est une intégrale de Stieltjes et pas une intégrale de Riemann), chose que ne fait justement pas l'écriture $\displaystyle \int f(s) \text{d}s$.

Je me demande si ce n'est pas exactement de ça que parlait @Foys dans son dernier message.

Homo Topi · December 2022

D'ailleurs, la fonction $s_{\gamma}$ n'est pas du tout le paramétrage normal.

JLapin · December 2022

Heureusement, pas grand monde, voire personne, n'utilise la notation $\int_{\Gamma} f(s) ds$.

En tout cas, dans la page wikipedia, elle n'est jamais utilisée.

Homo Topi · December 2022

Sur Wikipédia, en effet, mais je SAIS que je l'ai déjà vue, et pas qu'une fois. Je posais la question de s'il faut lire $\displaystyle \int_{\Gamma}f\text{d}s$ comme $\displaystyle \int_{\Gamma}f(s)\text{d}s$ ou non parce que pour moi, la nature de l'objet $s$ était ambigüe : pour certains, c'est un paramétrage (une position), pour d'autres, un élément de longueur, pour d'autres, une mesure image... comme je disais déjà, je peux comprendre vraiment beaucoup de choses dès que je comprends les notations. Si je ne comprends pas les notations, je suis perdu et c'est assez normal.

C'est surtout parce que $\displaystyle \int_{\Gamma}f(s)\text{d}s$ est une notation "de physicien" où il faut comprendre tout un tas d'implicites à partir d'une heuristique du style "regarde, sur un dessin on comprend bien", on arrive à donner avec les mains un sens à un objet qui n'a en principe aucune raison d'exister (puisqu'il est dans l'absolu "mal écrit").

Homo Topi · December 2022

Résumé pour moi : la bonne définition de l'intégrale curviligne de $f$ le long de $\Gamma$, c'est l'intégrale de Stieltjes $\displaystyle \int_{\Gamma}f~\text{d}s_{\gamma}:=\int_a^bf(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\text{d}t$. Il se trouve que cette quantité ne dépend pas du choix du paramétrage, donc on peut choisir un paramétrage normal associé à une autre abscisse curviligne que $s_{\gamma}$, cette autre abscisse curviligne "normale" est notée $s$ et donc $\displaystyle \int_{\Gamma}f~\text{d}s := \int_0^L f(\beta(x))\text{d}x$ où $\beta$ est donc le paramétrage normal "associé" à $s$.

Positif · December 2022

Pour moi il faut distinguer deux choses.

$f’(s)$ qui se comprend comme $\frac{d}{dt} ( f \circ \beta ) (t) $ ou $ \frac{df}{dt} \times \frac{dt}{ds} $ (car $s$ inversible ) et $\int f(s) ds$ qui se comprend avec $ds = \beta’(t) dt$ et $s=\beta(t)$.

SkyMtn · December 2022

Ok, je pense avoir saisi ton problème

Dans l'absolu tu as raison, on devrait préférer la notation de Stieltjes $\int_a^b f(\gamma(t)) \,\mathrm d s_\gamma(t)$.

On peut aussi noter $\int_\gamma f(x)\,\|\mathrm dx\|$ où formellement $x=\gamma(t)$. C'est une notation qui rappelle l'idée derrière l'intégrale de Stieltjes
$$ \int_\gamma f(x)\,\|\mathrm dx\| \approx \sum_{\text{« } x\in \gamma \text{ »}} f(x)\, \|\Delta x\| \approx \sum f(\gamma(\xi_i)) \, \|\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\| ~~,~~ t_{i-1} \le \xi_i \le t_i $$ Mais si on supprime les occurrences de $\gamma$ dans la notation de Stieltjes, on obtient la notation $\int_\gamma f\,\mathrm ds$ où $s$ rappelle qu'il y a une abscisse curviligne (et donc $\mathrm ds$ représente un accroissement de longueur).

Dans l'article anglophone de Wikipédia on rencontre la notation $\int_{\mathcal C} f(\boldsymbol r) \,\mathrm ds$ avec $\boldsymbol r$ le paramétrage de la courbe $\mathcal C$. Ça se rapproche de la « surcharge » des symboles en informatique (overloading) où on confond $\boldsymbol r$ qui est une fonction à valeurs dans $\mathbb R^d$, avec un élément de $\mathbb R^d$ qui représente la position sur la courbe. Il s'agit du même type d'abus de notation qu'on fait en probabilités quand on définit des variables aléatoires de la forme $f(X)$ au lieu de $f\circ X$, on encore quand on écrit $\{X\in B\}$ au lieu de $\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in B\}$.

Sinon je reconnais que $\int_\gamma f(s)\,\mathrm ds$ est la notation la plus pourrie de toutes. Elle provient d'un paramétrage de la courbe par une abscisse curviligne (on identifie une position sur la courbe avec la longueur parcourue).

Les notations sont essentiellement là pour... alléger les notations, sans perdre le sens attaché aux objets qu'on manipule. Le mieux à faire c'est de rappeler à son lecteur ce qu'on entend par telle notation (surtout quand ce ne sont pas des notations communément admises).

Après tout, pourquoi a-t-on gardé le $\mathrm dx$ dans les intégrales ? C'est un vestige du calcul infinitésimal de Leibniz, mais on pourrait très bien s'en passer en adoptant un style fonctionnel. Pourtant, ce $\mathrm dx$ est très pratique pour écrire des expressions complexes avec une variable muette, puis il nous rappelle aussi l'idée derrière le calcul intégral (les sommes de Riemann disons).

Homo Topi · December 2022

Tout à fait, d'ailleurs à une époque quand j'essayais de me dépatouiller tout seul avec ces histoires d'intégrales j'avais fait un truc pour m'affranchir de toutes les variables muettes (donc aussi du $\text{d}x$ à la fin de l'intégrale) et carrément de tout le symbole $\displaystyle \int$ : Je notais $\mathcal{R}(f,a,b)$ l'intégrale de Riemann de $f$ entre $a$ et $b$, $\mathcal{L}(f,X,\mu)$ l'intégrale de Lebesgue de $f$ sur $X$ par rapport à la mesure $\mu$ et j'essayais de bidouiller quelque chose avec ça. Finalement, j'ai tellement plus l'habitude des formules avec le symbole $\displaystyle \int$ que ça ne m'avançait pas énormément de me forcer à travailler sans.

D'ailleurs le $\text{d}x$ "forme différentielle" m'a beaucoup retourné le cerveau lui aussi. Les notations c'est une chose, des siècles d'usage "pas toujours précis" qui s'est normalisé, c'en est une autre.

Georges Abitbol · December 2022

SkyMtn : Je croyais que la surcharge, c’était noter pareil deux fonctions différentes qui coïncident sur l’intersection de leurs domaines, ce qui n’a rien à voir avec le fait de rendre invisible la liaison d’une variable. Et pourquoi trouves-tu cette notation pourrie (celle habituelle) ? Le $\gamma$ en dessous, c’est bien un paramétrage ?

Georges Abitbol · December 2022

@Homo Topi : Je n'arrive pas à suivre... Tu dis que l'unique notation intégrale que tu connais est $\int f(x) d\mu(x)$, mais ton cours ne note pas ça $\int f d \mu$, dans laquelle il n'y a pas de variables muettes ? Je suis tout à fait d'accord avec toi que c'est aussi joli de noter ça $R(f,a,b)$ dans le cas de l'intégrale de Riemann ou $L(f,\mu)$ dans le cas de l'intégrale de Lebesgue (notations non standard).

Moi, le seul intérêt que je vois à $\int f(x) d\mu(x)$, c'est quand c'est pour quelque chose du style $\int f(x,y) d\mu(x)$, mais ce truc, je le noterais $\int g d\mu$ où, pour tout $x$, $g(x) = f(x,y)$, et hop, plus de variables muettes.

Dans le cas que tu soulèves au tout début, comme les intégrales de Stieltjes sont des intégrales de Lebesgue particulières, on peut très bien décider de noter $s_\gamma$ la mesure de Lebesgue-Stieltjes et la notation de l'intégrale curviligne est, à un peu de maquillage près, une intégrale de Lebesgue normale.

Ensuite, je me demande bien pourquoi l'article définit autant de choses différentes. Il va de soi que si $\gamma$ est un chemin $C^1$ dans $\mathbb{C}$, $\int^b_a f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt$ et $\int^b_a f(\gamma(t)) \vert \gamma'(t)\vert dt$ sont des choses différentes (c'est la première qu'on appelle "intégrale curviligne" en analyse complexe, qui est un cas particulier d'intégrale des formes différentielles sur une chaîne).

Enfin, cette $\int_\Gamma f ds$, ben, tu peux revenir au monde de Lebesgue en disant (par le théorème de représentation de Riesz, celui des mesures) que l'application $f \mapsto \int^b_a f(\gamma(t)) \vert \gamma'(t)\vert dt$ est une forme linéaire patati patata, et donc que c'est l'intégrale par rapport à une unique mesure sur $\Gamma$, que l'on pourrait noter comme on veut, et tant qu'à faire, notons que ça dépend de $\gamma$, alors, $\mu_\gamma$. Bon, ben, par le théorème de changement de variable, on démontre que ça ne dépend pas de $\gamma$, et ben voilà.

Bref, abandonne cette page wiki-là

@SkyMtn :

tu dois garder à l'esprit que ce ne sont que des notations, l'important c'est de comprendre la signification des objets que tu manipules

Je ne saurais être plus en désaccord. En caricaturant, c'est comme si tu disais "oublie les règles des échecs, l'important c'est d'avoir une stratégie".

Homo Topi · December 2022

@Georges Abitbol tu as dû te noyer un peu dans les 150 pavés que j'ai écrits

je n'ai pas de problème avec $\displaystyle \int f~\text{d}\mu$ sans variable muette, je l'ai même mentionné ici. Le passage de noter ça $R(...)$ et $L(...)$ c'était un moment de désespoir en gros, j'ai fini par abandonner de faire ça. J'allais t'écrire encore un gros pavé, mais pour faire court, je suis d'accord avec ce que tu dis, et ce fil m'a vraiment permis de démêler tout ce qui n'allait pas. J'avais vraiment un problème avec les notations plus qu'avec les concepts associés.

Pour être sûr que j'ai bien tout compris, je vais faire comme je fais toujours : m'écrire mon propre cours sur le sujet. Peut-être que je le partagerai ici pour relecture, mais pour l'instant, Noël et déménagement, donc ça va attendre un peu.