Des nombres premiers pour les additions ?

Vrfss · December 2022

Bonjour ou bonsoir
Je me suis posé une question, existe-t-il un ensemble de nombres avec lequel on puisse écrire tous les nombres en sommant 3 d'entre eux ?
Les nombres de cet ensemble sont donc sans doute impairs et donc ça reviendrait finalement à chercher un ensemble de nombres impairs avec lesquels on puisse écrire tous les nombres pairs avec 2 d'entre eux.
Ce que je qualifierai de nombres premiers pour les additions ce serait les nombres dont on ne peux pas se passer.
Par exemple 1, il n'existe qu'une seule et unique façon de décomposer 2 en somme de 2 nombres et ce nombre c'est un, or lorsque l'on cherche les décompositions des nombres très grands il y en a de plus en plus ce qui fait qu'on pourrait enlever certains nombres de la liste et pouvoir continuer à décomposer les nombres pairs en somme de 2 nombres de cette ensemble.
J'aimerais avoir votre avis sur justement, si c'est utile voir intéressant.
Pour ceux que ça intéresse j'ai d'autres choses à dire à ce sujet mais si vous jugez cela inutile alors autant ne pas vous faire perdre votre temps.
Cordialement.

Bibix · December 2022

Existe-t-il des nombres premiers pour l'addition ? Oui, mais tout nombre $n$ se décompose en $n - 1 + 1$ et ni $1$ ni $n-1$ est l'élément neutre de l'addition, sauf pour $n = 1$. Donc $1$ serait le seul nombre premier pour l'addition ou alors les propriétés algébriques des nombres premiers vont être difficiles à retrouver.

gerard0 · December 2022

Bonjour Vrfss.
Ta demande est un peu floue. Veux-tu qu'il y ait toujours 3 nombres ? Et quels sont les nombres que tu veux engendrer ? Les entiers naturels ? Les entiers relatifs ? Acceptes-tu les soustractions ?
Et finalement, tout cela a-t-il une utilité ?
II serait bien que tu réfléchisses un peu plus longtemps à tes idées, que tu les creuses toi même, avant de venir en parler ici. Tu serais plus pris au sérieux.
Cordialement.

Vrfss · December 2022

Bonjour
J'y ai réfléchi mais je ne trouve pas vraiment d'utilité quoique peut-être mais j'ai besoin de vérifier a des nombres assez grands. Les nombres que je veux générer sont des entiers naturels et non il n'y a pas de soustraction. Je vais donner quelques exemples peut-être ce sera plus clair.
On va appeler une fonction zd(n) où n est un entier pair.
Cette fonction associe à n tout les nombres qu'il faut afin de décomposer ce nombre en somme de 2 nombres impairs ainsi que tout les nombres pairs inférieurs à n.
Le but de la fonction est d'avoir le moins de nombres et les plus petits possible, la quantité prime sur la valeur.
Par exemple zd(20)=1;3;5;7;9;11
zd(22)=1;3;5;7;9;11
zd(24)=1;3;5;7;11;13
La première"anomalie" se trouve à 24 où 9 n'est plus "premier", avec un n très grand j'ai conjecturé que la liste de nombres serait incluse dans les nombres premiers (excepté 1) ou bien si il apparaît des nombres non premiers ce serait juste une liste de nombres sans grande utilité. Après je dirais que c'est par pur curiosité...

Bibix · December 2022

Ok donc ça n'a a priori rien à voir avec les nombres premiers. Tu peux expliquer pourquoi on n'a pas zd(28)=1;3;5;9;13;15 ?

gerard0 · December 2022

Dans les entiers naturels, il y a (classiquement) 0. Donc il faut ajouter 0 à cette liste. Ce qui permet d'évier la question "exactement 3 nombres", car si 2 suffisaient on peut toujours ajouter 0.

0 = 0+0+0
1 =1+0+0
2 = 1+1+0
3 =1+1+1
4= 2+2+0 = 3+1+0 (choix à faire je choisis 2, contrairement à toi)
5 = 2 + 2 +1
6 = 2 + 2 + 2
7 = 7+0+0
8 = 7 +1+0
9 = 7 + 1+1 = 7 + 2 + 0
10 = 7 +2 + 1
11 = 7 + 2 + 2
12 = ? il faut rajouter un nombre. Un premier (3 ou 5) ou pas ?

Tu vois, ton problème n'est même pas clairement défini : le nombre minimum dépend de la façon de choisir, et le cas de ton 9 montre que la notion n'est même pas stable !!

Vrfss · December 2022

Le but c'est de trouver une classe de nombres plus "importante" selon moi, on aura beau Sommer des nombres paire entre eux on n'obtiendra jamais un nombres impaires donc selon moi les nombres impaires sont déjà plus "important". Ensuite la conjecture de Goldbach, si elle est vrai cela voudrait dire que les nombres premiers serait encore plus "important puisqu'on peux toujours avoir tout les nombres paire ≥4. Mais une question que je me pose c'est est-ce que on peut encore raccourcir cette liste de nombres et avec la liste obtenue decompose tout les nombres paire ≥2 d'au moins une manière en somme de 2 nombres. Goldbach n'étant qu'une conjecture je propose d'établir la liste a partir de celle des nombres impaires et donc les problèmes se pose ainsi : quels sont les nombres dont on a "besoin" afin de décomposer tout les nombres paire ≥2 en somme de 2 nombres. Je disais 3 parce si on trouve cette liste il suffit de rajouter 1 pour trouver tout les nombres mais l'idée par du fait de trouver une liste de nombres impaires qui peuvent decomposer tout les nombres paire 0 exclu. Je ne vois pas comment on pourrait établir une tel liste c'est pourquoi j'ai proposé cela sous la forme d'une fonction, lorsqu'on obtiendra une liste de nombres avec un n très grand on pourrait éventuellement étudier cette listes pour voir si c'est intéressant.
Et pour répondre à @Bibix oui zd(28) donnerais effectivement ces nombres mais après je me dis que si on ajoutait et enlevait des nombres autant essayer avec un n très grand pour pas perdre de temps l'idée serait que les nombres qu'on enlève en l'occurrence 9 pour l'exemple ne puisse pas réapparaître par la suite après c'est qu'une fonction imaginaire donc libres a vous de modifier et ajuster les règles pour la rendre intéressante

Bibix · December 2022

Mais on peut toujours faire apparaitre des nombres impairs de plus en plus grands. En fait, je ne vois juste pas pourquoi on n'aurait que des nombres premiers à partir d'un certain n.

Voici ce que je pense qu'on peut dire à partir d'un certain rang n:
$$zd(2n) = 1;3;5;11;13;15;... = u_0; u_1, ... .$$
avec $u_{3 n} = 2 u_{3 n - 1} + 1$, $u_{3 n+1} = u_{3 n} + 2$, $u_{3 n + 2} = u_{3 n + 1} + 2$ pour tout $n \geqslant 0$.

Vrfss · December 2022

Le but n'est pas du tout de faire apparaitre des nombres premiers comme on les connait mais plutôt des nombres qui à mon sens seraient essentiels pour l'addition c'est-à-dire que juste avec ces nombres on peux former tout les nombres pairs.Les 2 premiers nombres de la liste dont 1 et 3 puisqu'il n'existe qu'une unique décomposition de 2 et 4.

[Un nombre étant un nom masculin, il est soit pair soit impair, jamais paire ni impaire ! AD]

lourrran · December 2022

Tu surfes autour de la conjecture forte de Goldbach, la conjecture faible de Goldbach, et tu brodes autour.
Et tu ajoutes 1 aux nombres premiers, pour ensuite en retirer certains ...
Un peu d'ordre, que diable.
Restons sur une seule idée. Par exemple la conjecture forte : Tout entier pair (autre que 2 peut s'écrire comme somme d'exactement 2 nombres premiers. Et regardons si en supprimant tels ou tels nombres premiers de la liste, la conjecture tient toujours.
Sans ajouter 1 à la liste des premiers.
2 3 5 7 11 17 23 29 31 37 43 53 67 83 89 par exemple suffisent pour tous les nombres pairs de 4 à 100. Mais tu pourrais faire d'autres choix.

Vrfss · December 2022

Elle aurait un lien avec Goldbach si l'ensemble que je présuppose est composé de nombres premiers mais on ne peux pas bâtir un ensemble sur une conjecture non ?
Après avec un n assez grand on peux décomposer tout les nombres pair avec l'ensemble de tout les nombres qui finissent par 1 ; 3 et 5.

Vrfss · December 2022

Dans l'ensemble des entiers naturels (0 exclu) on y trouve l'ensemble des nombres pair et l'ensemble des nombres impair qui représente chaqu'un 50% de l'ensemble des entiers naturels. Avec l'ensemble des nombres impair on arrive à retrouver l'ensemble des nombres pair par somme de 2 nombres,le contraire n'est pas faisable. C'est a dire qu'avec la moitié des entiers naturels on peut "retrouver" l'autre moitié. L'ensemble des nombres impair est composé de 5 sous ensemble : l'ensemble des nombres qui on pour chiffre des unité 1;3;5;7 ou 9. Chaque ensemble représente 10% des entiers naturels. Or il suffit seulement de 3 de ces ensemble pour retrouver l'ensemble des entiers naturels ( en fonctions des ensemble choisi, ça ne commence pas par 2).
Donc avec 30% des entiers naturels on arriverait a "retrouver" l'ensemble des entiers naturels. Sauf que la conjecture de Goldbach nous dis qu'avec seulement les nombres premiers (si on devrait donner un pourcentage on serai bien en dessous de 20%) on peut "retrouver" l'ensemble des entiers naturels en faisant des sommes. Comme la montré @lourrran ce pourcentage peux encore être réduit. L'idée n'est pas de travailler uniquement avec des nombres premiers mais réussir à trouver cette ensemble le plus petit possible et a l'expliquer pourquoi ça marche et c'est cet ensemble de nombres que je pense qualifié de nombres premiers des addition ou nombre essentiel pour bien faire la différence.

Bibix · December 2022

Pourquoi tu ne considèrerais pas l'ensemble que j'ai donné qui est "plus petit" (la densité tend vers $0$ plus rapidement) que celui des nombres premiers ?

Au passage, on a effectivement $0 \% < 20 \%$.

Vrfss · December 2022

À moins que j'ai mal compris celui que tu as proposé est l'ensemble des nombres de terminant par 1; 3 et 5 non ? Si c'est bien ça alors la densité est plus importante que pour les nombres premiers. Pour 100 il faut 15 nombres, avec l'ensemble que tu proposes il en faudrait combien ?

Bibix · December 2022

Non, c'est un peu plus compliqué, relis ce que j'ai mis. Pour $100$, il faut $12$ au maximum (car la liste $1;3;5;11;13;15;31;33;35;71;73;75$ suffit pour décomposer les entiers pairs $< 150$).

Edit : Pour ceux qui passeraient par là, j'ai revérifié à l'ordinateur et en fait, mon intuition était fausse et mes calculs aussi. Mais je suis quand même tombé par chance sur le bon nombre d'éléments ! En effet, les listes de $12$ éléments qui décomposent les entiers inférieurs à $100$ sont : $$1, 3, 7, 11, 13, 27, 29, 43, 45, 49, 53, 55$$ $$1, 3, 7, 9, 19, 23, 33, 37, 47, 49, 53, 55$$ $$1, 3, 5, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 51, 53, 57$$ $$1, 3, 5, 9, 13, 17, 21, 27, 33, 41, 47, 55$$

Vrfss · December 2022

D'accord alors, dans ce cas l'ensemble est effectivement plus petit et ne peut être plus petit. Avec ton ensemble, il suffit de 12 nombres pour en "retrouver" 150 ce qui représente déjà moins de 10%! De plus comme je m'y attendais le dernier nombres de l'ensemble est soit la moitié de n soit la moitié+1 de n. Mais a cela manque une conclusion. Pouvons nous les appeler les nombres essentiel de l'addition ?

Des nombres premiers pour les additions ?

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