Référence sur une formule / Syracuse

LyetKynes · December 2022

Bonjour
Je cherche des infos en rapport avec la conjecture de Syracuse, j'ai "trouvé" une formule pour laquelle je ne trouve pas de "littérature" à propos de la conjecture de Syracuse.
On part des impairs
La formule en question est (((3^a*x)+(3^a-2^a))/2^a)/2^b $$\Big(\dfrac{(3^a*x)+(3^a-2^a)}{2^a}\Big)/2^b.$$x est impair,
a est la valuation 2-adique de x +1
b est la valuation 2-adique de (((3^a*x)+(3^a-2^a))/2^a)

Les nombres obtenus sont les nombres congruents à1 ou 5 mod 6.

Je ne suis pas mathématicien (niveau collège), je ne cherche pas à prouver un truc, je m'intéresse à un truc c'est tout (rien à voir avec les maths).
Je sévis par ailleurs sur le forum Futura.

Bref dans la littérature sur cette conjecture je ne trouve pas "ma" formule et je cherche des trucs qu'elle implique, en particulier sur les ensembles infinis, je suis par ailleurs nullissime avec cette théorie mais j'ai besoin de comprendre une idée.
Avec cette formule on peux raisonner "à l'envers" et chercher les prédécesseurs, on en trouve une infinité unique liée au nombre considéré. Il n'y a pas de prédécesseur multiple de 3 mais chaque nombre possède un plus petit multiple de 3 comme prédécesseur unique permettant de créer des séquences autrement que par les approches classiques.

Bref je n'ai pas de compétences avancées et je m'interroge sur cette formulation sans trouver rien dessus : je pense ne pas être le premier à y penser mais [je] me dit que c'est possible vu la subtilité vis à vis du 1 dans la formulation classique. D'où ma question déjà étudié ou non ?

gebrane · December 2022

Bonjour,
Peux-tu expliquer d'avantage le sens de ta phrase: j'ai trouvé une formule

[Utilisateur supprimé] · December 2022

Ce qui est difficile, c'est de prouver l'intérêt d'une formule, et non d'en établir une. Les mathématiques sont belles mais parfois aussi un peu allumeuses.

LyetKynes · December 2022

Je n'ai pas un raisonnement formalisé (problème de mémoire à court terme à priori) et je progresse avec la mémoire numérique par petits pas.

Les choses se révèlent pour moi me sont vérifiables. Cette formule fonctionne et est logique c'est tout ce que je peux te dire.

La base de travail était dans les écarts avec la formule (3x+1)/2 ou se révèle le triangle de Pascal: voir un post ici: voir en message #5 , la pj était celle là :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/et/uw0rqjq4q49p.jpg

Je ne sais plus comment j'ai cheminé pour en arriver à la formule citée en post 1.

LyetKynes · December 2022

Bon j'ai du mal avec ce forum, les fonctionnalités pour poster ou modifier les messages ne me sont pas familière.. la référence pour le post précédent est https://forums.futura-sciences.com/science-ludique-science-samusant/918472-pascal-collatz.html

"Les choses se révèlent pour moi me sont vérifiables" = je trouve des trucs mais je n'ai pas la compétence pour énoncer la véracité.

Dom · December 2022

Pas de souci : on est tous dans ce cas là concernant ces sujets. « on trouve des trucs mais on n’a pas la compétence pour énoncer la véracité ».

Bon, c’est maladroitement dit.

1) on trouve des choses
2) on sait énoncer ces choses en langage mathématique
3) on sait (ou pas !) démontrer ces choses en utilisant les règles mathématiques

LyetKynes · December 2022

Bonjour
Pour ce qui est de mes capacités le point 2 fait gravement défaut et le 3 est donc quasi inopérant

Je remet la formule car elle apparait différemment dans mon premier message de ce que j'avais posté.

(((3^a*x)+(3^a-2^a))/2^a)/2^b=y

L'idée est bien de pouvoir avoir quelques références sur cette approche pour tenter de comprendre les notions sous-jacentes (ou tout au moins d'en avoir un aperçu)
Avec la formulation pour chercher les prédécesseurs (((y*2^b)*2^a)-(3^a-2^a))/3^a=x, j'ai travaillé l'idée autour de la relation entre a et b et j'ai trouvé quelques autres formules pour la décrire mais je suis curieux de savoir comment cette formule a été travaillée par les pros pour mieux comprendre ce que j'ai comme résultats.

LyetKynes · December 2022

Bon c'est un peu ce que je craignais, c'est du chinois mes histoires

L'idée pour la conjecture est sur la base de cette formulation de savoir si un élément de l'ensemble des éléments des suites formant un nombre de la forme (6*n+(-1)^n-3)/2 peuvent se répéter dans une séquence sachant que pour chaque nombre de la forme (6*n+(-1)^n-3)/2 il existe un successeur unique et un ensemble de prédécesseur unique.

lourrran · December 2022

Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement ... Quand tu balances une formule avec 4 variables a,b,x,y et que tu ne présentes pas ces 4 inconnues, ça fait un bide. Comme quand 4 inconnus qui n'ont pas été présentés se retrouvent dans le métro ensemble. La mayonnaise ne prend pas.

LyetKynes · December 2022

Bonjour, je vais tenter de mieux m’exprimer, merci de votre patience.
Le document sérieux de référence sur cette conjecture est celui écrit par Luc-Olivier Pochon et Alain Favre
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01593181/document

En pages 1 et 2 sont décrites 3 écritures classiques de la conjecture.
On considère la suite de nombres construite à partir d’une origine m ∈ N par application répétée de la fonction :
C(m) ={ m/2 si m est pair
3m + 1 sinon
Cette fonction C(m) équivaut aux fonctions T et N sont aussi souvent utilisées pour construire des sous-suites de la suite originale.
T est donnée par :
T (m) ={ m/2 si m est pair
(3m + 1)/2 sinon
et N, n’est définie que pour les nombres impairs. Elle est donnée par la formule :
N(m) = (3m + 1)/2^p
où p est tel que N(m) soit impair. Avec ν(n) valant la puissance de 2 dans la décomposition de n en facteur premier, on a ν(3m + 1) = p. On note [n] le nombre impair déduit à partir de n par division par une puissance de 2 judicieuse.

À partir de la fonction N(m) j’ai pensé qu’il était possible d’aller un peu plus loin et j’ai construit une fonction S définie pour les nombres impairs par
S(m)= (((3^a*m)+(3^a-2^a))/2^a)/ 2^b
a à pour valeur la valuation 2-adique de m+1 ,
b à pour valeur la valuation 2-adique de (((3^a*m)+(3^a-2^a))/2^a)

Ainsi par exemple :
Suite N d’origine 7 : (7, 11, 17, 13, 5, 1)
Suite S d’origine 7 : (7,13,5,1)
Avec m=7 la valuation 2-adique de m+1 est 3 (8=2³) , on obtiens pour (((3^a*m)+(3^a-2^a))/2^a) :
(((3^3*7)+(3^3-2^3))/2^3)=26 la valuation 2-adique de 26 est 1 donc b=1
Ce qui donne
S(7)=(((3^3*7)+(3^3-2^3))/2^3)/ 2^1=13
S(13)= (((3^1*13)+(3^1-2^1))/2^1)/ 2^2=5
S(5)=(((3^1*5)+(3^1-2^1))/2^1)/ 2^3=1.

lourrran · December 2022

Ok.
En fait, ta formule 'brule les étapes'.

Partant d'un nombre $m$, tu fais en une seule fois toutes les montées, puis tu fais la série de divisions par 2 qui suit. C'est correct. Pour quelqu'un qui se dit niveau collège, c'est bien. La formulation telle quelle risque de peu apparaître, peut-être parce que l'opération 'valuation 2adique' n'est pas une formule grand-public. C'est juste une écriture différente de la formule de base. Tu as un peu compliqué les choses ,

$3^a \times m + 3^a - 2^a$ .... c'est plus lisible de l'écrire : $3^a \times (m+1) - 2^a$

Puis $\dfrac{3^a (m+1) - 2^a ) }{ 2^a}$ , tu peux l'écrire $\dfrac{3^a \times (m+1)}{ 2^a} - 1$

Et j'arrêterais la formule ici.

LyetKynes · December 2022

Le truc c'est que $\dfrac{3^a \times (m+1)}{ 2^a} - 1$ donne le nombre pair et ne fais pas la descente jusqu'au nombre impair et n'est donc pas égal à $$\Big(\dfrac{(3^a*x)+(3^a-2^a)}{2^a}\Big)/2^b.$$Je trouve exact :

(((3/2)^a)*(1 + m)-1)/2^b=(((3^a*m)+(3^a-2^a))/2^a)/2^b

Une grosse différence avec la fonction N(m) = (3m + 1)/2^p donnée dans l'étude issue de hal.archives est dans le fait qu'après une itération sur m on ne travail que sur des nombres impairs non multiples de 3.

Il n'y a pas de solution pour m ///0 modulo 3 avec la fonction inverse :

Si je définis r tel que (((3^a*m)+(3^a-2^a))/2^a)/2^b=r (ou bien (((3/2)^a)*(1 + m)-1)/2^b=r)

alors r est de la forme ((6*n)+(-1)^n-3)/2 qui s'explique facilement du fait de (3^a*m)+(3^a-2^a) qui est un nombre pair non multiple de 3 puisque 3^a-2^a est déjà non multiple de 3, (et un nombre pair non multiple de trois divisé par 2^n reste non congru à 0 modulo 3).

on a cependant des prédécesseurs pour tout r tel que (((m*2^b)*2^a)-(3^a-2^a))/3^a est congru à 0 modulo 3

rmq: Cela permet de définir des séquences commençant par un multiple de 3 en choisissant par exemple le plus petit prédécesseur de chaque nombre de forme ((6*n)+(-1)^n-3)/2.

Pour m=7 le plus petit prédécesseur congru à 0 modulo 3 est 9 est (((m*2^b)*2^a)-(3^a-2^a))/3^a -> (((7*2^1)*2^1)-(3^1-2^1))/3^1=9

Pour m=11 le plus petit prédécesseur congru à 0 modulo 3 est 9 est (((m*2^b)*2^a)-(3^a-2^a))/3^a -> (((11*2^4)*2^1)-(3^1-2^1))/3^1=117

Les séquences obtenues ont un nombre d'itérations fini jusque 1 et commencent toutes par un multiple de 3 différent.

et trivialement pour tout m de forme ((6*n)+(-1)^n-3)/2 il existe une suite infinie unique de prédécesseurs et un unique successeur.

Kot_Baïoun · December 2022

LyetKynes, tu dis que grâce a ta formule tu peux calculer la suite 7 13 5 1.
L’ennui c’est que tu dis toi-même «je ne sais plus comment j’ai cheminé pour en arriver à la formule citée en post 1»
La suite 7 13 5 1,. on la retrouve p21 dans «Conjecture de Syracuse-Sneg». Mais là c'est expliqué pourquoi.