Méthode d'estimation optimale

Voilà,
je vous mets l'exo en PJ.
Si vous avez des références de bouquins traitant ce genre d'exos, j'achète ...

1) Déjà je suis embêté, le choix de $\widehat{\theta}_n$ provient du calcul de $S_n'(\theta)$.
Or, ici on ne dit pas que $g$ est dérivable mais continue bijective.
Du coup quelles hypothèses pour passer de la continuité à la dérivabilité ?

En tout cas on est souvent tenté par la dérivation logarithmique mais ici sans intérêt.
$S_n'(\theta)=-2g'(\theta). \sum_i^n f(Y_i)+2n.g'(\theta).g(\theta)=0$.
Donc $g(\widehat{\theta}_n)=\frac{1}{n}.\sum_i^n f(Y_i)$.
Puis $\widehat{\theta}_n=g^{-1}(\frac{1}{n}.\sum_i^n f(Y_i))$.

2a. On veut la cvg en proba de $\widehat{\theta}_n$.
Ici on ne dit pas que c'est $\theta$.

On veut montrer $\forall \epsilon > 0$, $\mathbb{P}(|\widehat{\theta}_n-\theta| > \epsilon)$ tend vers 0 qd $n \mapsto +\infty$.
Je voudrais utiliser l'inégalité de Markov, $\forall \epsilon > 0$, $\mathbb{P}(|\widehat{\theta}_n-\theta| > \epsilon) \leq \frac{\mathbb{E}[|\widehat{\theta}_n-\theta|] }{\epsilon}$.
Surtout que dans la question on dit que $\mathbb{E}_{\theta} f(Y_i)$ existe, j'ai envie de passer à la fonction g mais je ne sais pas si
$\forall \epsilon > 0,\ \mathbb{P}(|g(\widehat{\theta}_n)-g(\theta)| > \epsilon) \leq \frac{\mathbb{E}[|g(\widehat{\theta}_n)-g(\theta)|] }{\epsilon}$ est correct.