Processus de Poisson

Le processus de Poisson ne peut réaliser que des sauts de 1 en 1. On peut définir ses instants de saut par
$$ X_n = \inf\{t\ge 0 \mid N_t \ge n\} $$ Il s'agit du premier instant $t$ en lequel $N_t = n$ (par continuité à droite de $N$). Et comme les sauts sont presque sûrement de 1 en 1, on a $X_1 < X_2 < X_3 < \cdots$ (pour un processus de comptage quelconque on a juste de la monotonie au sens large, on pourrait avoir des sauts strictement plus grands que 1, voire pas de saut du tout). Le temps $X_n$ peut éventuellement être infini si $N$ n'atteint jamais la valeur $n$ (ce qui n'arrive presque jamais en réalité à cause des axiomes du processus de Poisson).

Par construction, le nombre $N]0,t]$ de sauts dans l'intervalle $]0,t]$ est égal à la somme $\sum_{n\ge 1} 1_{X_n \le t}$ (c'est presque une tautologie). Tu peux ensuite montrer que les temps entre les sauts $\Delta X_n = X_n - X_{n-1}$ sont des exponentielles indépendantes de paramètre $\lambda$. Tout ceci à condition, bien évidemment, que $N$ soit un processus de Poisson homogène d'intensité $\lambda>0$.