Question d'apparence banale
Bonjour
Quelqu'un aurait-il une réponse ou une piste pour cette petite question sur laquelle je me casse la tête depuis plusieurs heures svp ?
Montrer que pour tout entier $n>0$, on a $$n+[n^{1/2}]+[n^{1/3}]+\cdots+[n^{1/n}]=n+[\log_{2}(n)]+[\log_{3}(n)]+\cdots+[\log_{n}(n)],$$ où $[\cdot]$ représente la partie entière.
Merci d'avance !
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Réponses
J'ai essayé pour n=9,10 et 11 et je remarque effectivement qu'ils ont tout les trois une somme de 1 (resp. 6, 7, et 8 fois). Comment concrétiser ça ? Tu peux m'en dire un peu plus stp ?
Etape 2 : si tu fais l'étape 1, tu vas deviner toi même l'étape 2.
J'en suis arrivé à montrer que $$[\log_{i}(n)]=j,\ \text{si}\ i^j\leq n<i^{j+1}$$ et $$[n^{1/i}]=j,\ \text{si}\ j^i\leq n<(j+1)^i.$$ Il me reste alors à compter ?