Sur les applications linéaires continues sur un espace vectoriel normé

Rajinus · November 2022

Soit E et F deux espaces vectoriels normés. On sait que si le corps de référence est R ou C, on a l'équivalence suivante: f, application linéaire de E vers F est continue sur E si et seulement si: il existe M > 0, tel que norme(f(x)) < M.norme(x) (inférieur ou égal évidemment).
Dans cette démonstration, on utilise fondamentalement la propriété : c dans R et c > 0 implique valeurabsolue(c) = c.
Question. Peut-on démontrer cette équivalence sans cette propriété (en d'autres termes, si le corps K de référence n'est ni R ni C et la valeur absolues sur K est quelconque).

Georges Abitbol · November 2022

Je ne trouve pas ta question très claire et je gage que tu avancerais déjà beaucoup si tu précisais ta question.

Rescassol · November 2022

Bonsoir,

Par définition, une norme sur un $K$-espace vectoriel $E$ est une application de $E$ vers $\mathbb{R}$.

Cordialement,
Rescassol

Calli · November 2022

Bonjour,
Si tu t'autorises n'importe quelle valeur absolue sur $K$, la réponse est non. Par exemple, prenons $K$ n'importe quel corps muni de la valeur absolue discrète $|x|_K = 1_{x\neq 0}$. Puis posons les $K$-evn $E=F=K[X]$ munis des normes $$\left\|\sum_{k=0}^n a_k X^k \right\|_E = \sum_{k=0}^n |a_k|_K \quad \text{ et }\quad \left\|\sum_{k=0}^n a_k X^k \right\|_F = \sum_{k=0}^n (k+1)|a_k|_K.$$ Alors les topologies d'evn de $E$ et $F$ sont discrètes, donc l'identité de $E$ dans $F$ est continue. Mais il n'existe pas de constance $C\in\Bbb R$ telle que : $\forall x\in E, \; \|x\|_F\leqslant C\|x\|_E$.

Cependant, Bourbaki suppose dans sa définition d'evn que la valeur absolue de $K$ n'est pas la discrète. Et avec cette définition, l'équivalence que tu demandes reste vraie. Pour le montrer, on utilise qu'il existe $\lambda\in K$ tel que $|\lambda|_K\not\in\{0,1\}$, et donc qu'il existe des $\mu\in K$ de valeur absolue arbitrairement grande (il suffit de prendre les puissances de $\lambda$ ou de $\frac1\lambda$). Je te laisse essayer de faire la preuve toi-même avec ces ingrédients.

Rajinus · November 2022

Pour Calli. OUF... vous m'abandonnez en rase campagne !! Je plaisante. Même si je vois bien le contre-exemple, en revanche : soit V une valeur absolue définie sur K, corps quelconque (je note V la valeur absolue, c'est plus facile pour écrire). Si V n'est pas discrète, il existe a dans K tel que V(a) > 1. Donc: quel que soit A dans R et A > 0, il existe b dans K tel que : V(b) > A > 0... pas de soucis (je vois pourquoi). Mais à partir de là, si j'ai bien compris, si f est continue sur E, il faut trouver M dans R, M > 0, tel que : pour tout x non nul, norme(f(x)) < M. norme(x) (les normes étant dans les espaces E et F respectifs, les deux espaces vectoriels normés étant définis sur CE même corps quelconque), sachant que la valeur absolue V est dans K qui n'est pas forcément R (ou C, donc que V(c) = c si c > 0 n'y a pas de légitimité !). Là pardonnez-moi, mais je bloque ! (or, par rapport à la réponse d'Abitbol, je veux dire que si K = R (ou C), la valeur absolue naturelle définie habituellement sur ce corps a cette propriété et elle est essentielle, voire incontournable, dans la démonstration de cette inégalité, définie sur des espaces vectoriels sur R (ou C)). Merci par avance !

Rescassol · November 2022

Bonjour,

Collector: @Rajinus : en raz campagne.

Cordialement,
Rescassol

Georges Abitbol · November 2022

@Calli : Peut-être $k+1$ pour ta deuxième norme, sinon les polynômes constants sont de norme $0$ ?

AD · November 2022

Rajinus : "sachant que la valeur absolue V est dans K qui n'est pas forcément R (ou C, ...)"

À ma connaissance, une valeur absolue est toujours à valeurs dans $\mathbb R$ (et même $\mathbb R_+$) quelque soit le corps sur la quelle elle est définie.
Sinon quel sens donner à l'inégalité triangulaire ?

Calli · November 2022

@Georges Abitbol : Tu as raison. Merci.

@AD : On parle de valeurs absolues définies d'un corps $K$ vers $\Bbb R_+$. Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absolue#Valeur_absolue_sur_un_corps.

@Rajinus : Fais par contraposé. Soit $f:E\to F$. On suppose que : $\forall C>0, \exists x\in E,\; \|f(x)\|>C\|x\|$. Et montre que $f$ n'est pas continue : $\exists \varepsilon>0, \forall \eta>0, \exists x\in E, \; \|x\|<\eta \text{ et } \|f(x)\|>\varepsilon$.

Rajinus · November 2022

@Calli ou @Rescassol: merci pour les deux fautes d'orthographe (rase et là)...
@AD: la valeur absolue (que j'ai désignée par V) est définie sur un corps K, elle est à valeur dans R+ (je suis d'accord, comme toutes les valeurs absolues). Mais, si K n'est pas R (ou C), l'implication: c>0 implique V(c)=c n'a pas de sens, elle est vérifiée que sur R (ou C), or c'est cette implication qui est utilisée fondamentalement dans la démonstration: E et F sont deux espaces vectoriels sur R, normés, alors: f de E vers F est continue si et seulement si: il existe M>0 tel que pour tout x dans E norme(f(x)) < M.norme(x).
Or, je me place dans un corps quelconque, sur lequel j'ai défini une valeur absolue, c'est-à-dire une application de K vers R+ qui vérifie JUSTE les 3 propriétés adéquates.
@Calli: j'avais pensé à la propriété contraposée... donc:
1) Pour tout A>0 il existe c dans K tel que V(c) >A
2) On pose comme hypothèse: pour tout C >0, il existe x dans E, tel que norme(f(x)) > C.norme(x).

Il faut démontrer: ∃𝜀>0,∀𝜂>0,∃𝑥∈𝐸,‖𝑥‖<𝜂 et ‖𝑓(𝑥)‖>𝜀

Je vais essayer!!...

AD · November 2022

Rajinus : "Mais, si K n'est pas R (ou C), l'implication: c>0 implique V(c)=c n'a pas de sens,"

Tu ne dis pas où est $c$ !

Tu écris $V(c)$ qui semblerait dire que $c$ est dans $K$ et si $K=\mathbb C$, c'est la prémisse de ton implication $c>0$ qui n'a pas de sens.

Ton implication n'a de sens que si $K=\mathbb R$ et pas si $K=\mathbb C$, contrairement à ce que tu laisses supposer.

Alain

Calli · November 2022

@AD, "$c>0$" sous-entend "$c\in\Bbb R _+^*$" le plus souvent en analyse (comme dans mon message précédent par exemple).

Rajinus · December 2022

Poirot · December 2022

Non, il suffit de prendre la valeur absolue $p$-adique, où $p$ est un nombre premier, définie sur $\mathbb Q$ par $|x|_p = p^{-v_p(x)}$, où $v_p(x) = v_p(a) - v_p(b)$ quand $x = \frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb Z, b \in \mathbb Z \setminus \{0\}$, et pour un entier $n$, $v_p(n)$ est la plus grande puissance de $p$ divisant $n$.

Cette valeur absolue prend ses valeurs dans $\{p^k \mid k \in \mathbb Z\}$ et en particulier ne prend aucun valeur entre $p+\varepsilon$ et $p^2 - \varepsilon$ pour des $\varepsilon > 0$ suffisamment petits.

Rajinus · December 2022

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Rajinus · December 2022

OK... Merci! j'y avais pensé, mais je n'avais pas creusé!...
Mais: cette valeur absolue est ultra-métrique. Et si on dit: soit V une valeur absolue non discrète et non ultra-métrique, alors...
Est-ce maintenant exact (en n'oubliant pas que dans R et C c'est exact pour les valeurs absolues naturelles définies sur ces corps).

gerard0 · December 2022

Bonjour.
Que veut dire "valeur absolue non discrète" ? Ici, l'ensemble des valeurs prises par V est un ensemble discret.
Cordialement.

Rajinus · December 2022

Cela veut dire qu'il existe une valeur du corps dont la valeur absolue n'est ni 0 ni 1.
Ceci dit je rectifie ci-dessous, car si la valeur absolue est ultra-métrique l'hypothèse (H) est vérifiée.