Une inégalité

adrien2019 · December 2022

Bonjour
Je cherche actuellement un exercice issu d'un TD sur l'orthogonalité. Voici l'énoncé :

soient $n \geqslant 2$ un entier, $(a_1 , \ldots , a_n)$ des réels strictement positifs et $(b_1 , \ldots , b_n)$ des réels. On suppose que $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1 \atop j \neq i}^n a_i b_j = 0$. Montrer que $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1 \atop j \neq i}^n b_i b_j \leqslant 0$.

Je me doute bien qu'il doit y avoir du Cauchy-Schwarz quelque part, mais pour le moment mes tentatives sont infructueuses (alors que c'est sans doute tout bête...). Quelqu'un voit-il comment faire ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide !

Bibix · December 2022

Bonjour,
La forme bilinéaire correspondante est :
$$\sum_{i, j} a_i b_j - \sum_{i = 1}^n a_i b_i$$
Une fois mis sous cette forme, c'est facile de voir le résultat.

adrien2019 · December 2022

@Bibix merci pour votre réponse !

Le TD dont c'est issu ne suppose néanmoins pas connues les formes bilinéaires de façon générale (c'est un TD de sup) ; y a-t-il un moyen de le faire sans utiliser explicitement de "théorèmes généraux" sur les formes bilinéaires (càd autres que ceux du programme de sup/spé sur le produit scalaire) ?

bd2017 · December 2022

Bonjour

Sans restreindre la généralité on peut supposer que $\sum_{i=1} ^n a_i=1.$

La première condition signifie $(\sum_{i=1} ^n a_i) (\sum_{i=1} ^n b_i)= (\sum_{i=1} ^n b_i)= a.b$

De façon analogue, la condition à démontrer est : $(\sum_{i=1} ^n b_i)\leq b.b$

Par C.S on a $(\sum_{i=1} ^n b_i)^2=(a.b)^2 \leq (\sum_{i=1} ^n a_i^2) \times b.b \leq b.b$

Bibix · December 2022

Bien sûr, il suffit d'en déduire que $$\sum_j b_j = \frac{\sum_i a_i b_i}{\sum_i a_i}.$$
Ce qui donne $$\sum_{i, j} b_i b_j = \left(\frac{\sum_i a_i b_i}{\sum_i a_i}\right)^2 \leqslant \sum_i b_i^2,$$ avec Cauchy-Schwarz.

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