Une bissectrice

% Jean-Louis Ayme - 5 Décembre 2022 - Une bissectrice

%-----------------------------------------------------------------------

clear all, clc

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms e real

E=[1; e; 0]; % Un point quelconque E de (AB)
M=[0; 1; 1]; % Le milieu M de [BC]
EZ=Wedge(E,Vecteur(B,C)); % Parallèle à (BC) passant par E
Z=Wedge(EZ,CA); % Point d'intersection Z de (EZ) et (CA)
P=Wedge(Wedge(B,Z),Wedge(M,E)); % Point d'intersection P de (BZ) et (ME)
N=ProjectionOrthogonaleBary(P,CA,a,b,c); % Projeté orthogonal de P sur (CA)

% On trouve EZ=[e, -1, -1]  Z=[1; 0; e]  P=[1; 2*e; e]  
% N=[c^2*e - b^2*e - a^2*e - b^2; 0; -e*(- a^2 + 2*b^2 + c^2)]

X=Factor(Distance2(N,E,a,b,c)/Distance2(N,M,a,b,c)) % NE^2/NM^2
Y=Factor(Distance2(P,E,a,b,c)/Distance2(P,M,a,b,c)) % PE^2/PM^2

% On trouve X=Y=4*e^2/(e+1)^2 c'est à dire NE/NM=PE/PM=2*e/(e+1)
% Donc (NP) est la N-bissectrice intérieure du triangle NEM.