Comprendre le dx

La différentielle de l'identité, c'est $1$. Donc $dx=1$ et il va pleuvoir demain.

elodouwen a dit :

$df$ est l'application linéaire, si elle existe, telle que $f(a+u)-f(a)-df(a)(u)$ est un $o(u)$. Ok

Ramon Mercader  J'ai dit une ânerie à ton avis  ?

gebrane a dit :

Ramon Mercader  J'ai dit une ânerie à ton avis  ?

    Pas le moins du monde au contraire...mais cela peut-être intéressant de faire le lien avec la dualité.
    Les étudiants de @elodouwen connaissent-ils cette notion ?

Il y a un certain temps je me suis séparé de presque toute ma bibliothèque de maths mais j'avais l' "analyse III" (ou IV ?) de Roger Godement et à un moment dans le livre il explique qu'il n'existe pas de notations mathématiques intelligentes à ce jour pour le calcul différentiel (de une ou plusieurs variables) et que celui qui les a inventées n'est pas encore né. Il faudrait retrouver la citation exacte. Des fois on lit des choses comme $\left ( \frac {\partial }{\partial x_1}, ..., \frac {\partial }{\partial x_n }\right )$ pour le champ de vecteur associé à une carte dans une variété de dimension $n\in \N$ (si $X$ est un champ de vecteur sur un domaine de carte et si étant donné une fonction différentiable sur ce domaine on note $X.f$ la fonction $a \mapsto d_a f (X_a)$ , qui est $\frac {\partial  }{\partial x_i} f$ où $i\in \{1,...,n\}$ ?)

@elodouwen
Voici un bricolage racontable à tes étudiants (mais connaissent-ils la notion de dual d'un espace vectoriel ?):

Dans $\mathbf{R}^2$, si $u=(u_1, u_2)$, alors $dx(u)=u_1$ et $dy(u)=u_2$. Si le vecteur $u$ est "infiniment petit", alors $dx(u)$ ainsi que $dy(u)$ le seront aussi. Autrement dit les images par $dx$ et $dy$ d'un "infiniment petit" seront "infiniment petites", ce qui permet d'expliquer pourquoi les 
physiciens ont pour habitude de qualifier $dx$ et $dy$ "d'infiniment petits".

Salutation à tous
et tu utilises la linéarité de $\rm{d}f_a$
et tu remets l'expression obtenue sous la forme $𝑋=$
mais cette fois-ci tes champs de vecteurs sont de la forme 𝑋=d rond sur dxi
 ça fait apparaitre les d rond sur dxi f
et ça donne l'expression qu'on connait bien de la différentielle en fonction des dérivées partielles.

Bonjour @el_douwen, je répondais à Foys pour faire le lien  entre sa notation $X.f$ et les dérivées partielles mais c'était dans le cadre plus général où on remplace $\mathbb{R}^n$ par une variété différentielle et je ne voulais pas rentrer dans les détails parce que pour tout définir proprement, il faudrait faire un pdf d'un nombre conséquent de pages. Je vais essayer de donner une vague explication sans dire trop de bêtises, mais si tu veux vraiment les détails sur la notion de différentielle plus général comme à dit Magnéthorax il faut prendre un cours/livre de géométrie différentielle. (c'est un travail chronophage mais pas inutile, si tu arrives à maitriser les notions tu gagneras beaucoup de recul et un  point de vue plus général sur les objets en question).

Il faut faire attention à ce que tu nommes $E$, à priori vu comment tu en parles c'est un espace vectoriel. Or dans certains cas (comme dans mon message et dans la géométrie différentielle en général) l'espace de départ global des fonctions n'est pas un espace vectoriel, donc si $E$ désigne l'espace de départ des fonctions si tu n'es pas dans un espace vectoriel (ou au moins dans un module), parler du dual de $E$ n'a pas de sens. Maintenant disons qu'on se place dans un cas assez général ou tu es susceptible de rencontrer ces notations, on va dire $E$ est une variété différentiable de dimension finie (donc pas forcément un espace vectoriel et le mot dimension ici n'a pas le même sens que pour un espace vectoriel). Il est possible de définir des dérivations et une différentielle sur ce type d'espace, en faisant appel aux champs de vecteurs et aux 1-forme. (Par exemple dans mon message $\frac{\partial}{\partial x_i}$ est un champ de vecteurs et puis $dx_i$ est une  1-forme (ou champ de covecteur)). Je te dis les mots clés qui permettrons de te documenter si ça t'intéresse. Voici comment on peut  faire apparaître les notions d'espaces vectoriels et de dual quand on a à faire aux variétés différentielles. Les champs de vecteurs sont des sections du fibré tangent, et les 1-forme sont des sections du fibré cotangent.

C'est à dire que pour tout point $p$ de $E$, $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ est un élément de $T_pE$ où $T_pE$ est l'espace tangent au point $p$ de $E$ c'est un espace vectoriel de dimension finie, et $dx_i|_p$ est un élément du dual de $T_pE$. Les famille $(\frac{\partial}{\partial x_i}|_p)_i$ et $(dx_i|_p)_i$, sont des bases respectivement de $T_pE$ et de son dual. ( Donc en particulier $dx_i|_p(\frac{\partial}{\partial x_i}|_p)=1)$. Je ne t'ai pas précisé c'est quoi les $x_i$ dans ces notations, pour ça il faut aller voir la notion de cartes locales dans une variété (ça ressemble aux applications projections d'où la notation).

Donc les $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ sont des vecteurs (car élément d'un espace vectoriel) mais pas n'importe lesquels, ce sont des vecteurs qui agissent sur l'ensemble des fonctions dérivables comme tu dis.

Je pense que tu peux compléter les lignes qui te posais problème avec ce que j'ai dit, évalue tout en un certain point pour profiter de la structure d'espace vectoriel et utilise les bases que j'ai introduite et la définition de foys qui relie $X.f$ et la différentielle de $f$.

Avec ces définitions on peut exprimer ton $\wedge$. Formellement une 1-forme c'est une fonction qui prend un champ de vecteur en argument, une $n-$ forme c'est une fonction qui prend $n$ champs de vecteusr en argument et $dx_1 \wedge ... \wedge dx_n$ c'est l'unique $n-$ forme tel que 
$dx_1 \wedge ... \wedge dx_n(\frac{\partial}{\partial x_1},...,\frac{\partial}{\partial x_n})=1$.

Et à l'aide de ces $n-$ forme tu peux aussi définir une notion d'intégration qui peut répondre à tes questions.

Tout ceci est très très résumé, si tu veux vraiment avoir des explications satisfaisantes comme je l'ai dit il faut un cours de géométrie différentielle, ma réponse c'est vraiment juste pour indiquer quelques mots clés j'espère que je ne t'ai pas trop embrouillé.