Domaine de définition

C'est sûr qu'avec des parenthèses c'est moins ambigu. Je les avais rajoutées d'office (priorité de la multiplication ??)

Sinon, j'ai appris à l'école qu'une fonction était définie par une source, un but et un graphe fonctionnel. S'il manque l'un des trois, eh bé, c'est pas une fonction.

Ergo, si on te donne une fonction sans son ensemble de définition - que j'appelais la source en sixième - ce n'est pas une fonction.

Je rappelle que la question : " À quoi je pense ? " n'est pas une question mathématique.

e.v.

Ev,
la question est en fait : "Quel est le plus grand sous-ensemble de $\mathbb R^2$ sur lequel l'expression peut se calculer ?"

Le domaine de définition d'une fonction est donné avec la fonction, le domaine de signification (dit domaine de définition) d'une expression est à trouver.

D'ailleurs, tu le sais, tu as su répondre !

Et ce n'est pas en parlant de "connerie" que tu changeras les habitudes lycéennes.

Cordialement.

Héhéhé, avec de la mauvaise foi ... on ne comprend pas les phrases claires.
Je n'ai pas fait une définition mathématique, tu le sais bien, mais il faut être raisonnable.
Cordialement.

Ev,
toi aussi pourrais avoir un peu de bonne foi. Tu sais parfaitement de quoi il s'agissait dans la question initiale. Quant à $\mathbb R^2$, là tu pousses vraiment ... tu savais qu'il s'agissait de couples de réels.

Enfin, la "connerie", ce n'est que l'utilisation de dénominations classiques autrefois. Tu es en train de traiter de "cons" un certain nombre de mathématiciens éminents du début du vingtième siècle. Au nom de la pureté des mathématiques actuelles ? Ce n'est pas raisonnable.

Tu te comportes (malheureusement, tu n'es pas le seul ici) comme un disciple d'une religion, "la Mathématique".

Désolé d'avoir à dire ça, mais j'ai remarqué la quasi absence dans ce forum de lycéens et même étudiants, Time a bien du mérite de revenir.
Cordialement.

[désolé pour l'erreur de pseudo, merci Dom]

Soit $E$ un ensemble. Soit $(D_e)_{e\in E}$ une famille de parties de $E$.

2°) Quid si $E$ est l'ensemble des fichiers binaires (suites finies de $0$ et de $1$) et $D_e$ est "l'ensemble des binaires sur lequel le programme $e$ s'arrête et renvoie $1$"?

3°) Quid si $E$ est l'ensemble des suites finies de caractères (contenant les chiffres et donc une partie $N$ appelée "entiers écrits en chiffres") et pour tout $y\in E$, $D_y$ est "l'ensemble des éléments de $N$ définis par $y$" ?

PS. la logique formelle et la calculabilité ne sont pas les inventions des inspecteurs bourbakistes acariâtres des années 70 (elles précèdent chronologiquement l'oeuvre de ces derniers de plusieurs dizaines d'années) mais des réponses à des problèmes très concrets. La pédagogie ne gagne rien et ne simplifie rien à vouloir faire disparaître à tout prix leur héritage du paysage intellectuel accessible aux élèves. 

La recherche "d'ensemble de définition d'une fonction" est un problème mal défini. Il y a plusieurs remarques:

1°) D'abord et suivant les spécialités il n'est pas toujours possible ni même souhaitable de faire figurer dans la définition d'une fonction son domaine de définition et un ensemble dans lequel elle prend ses valeurs. Les théoriciens des ensembles ne le font pas par exemple. Une fonction est juste un graphe pour eux.

Comme rappelé par @ev si on adopte cette convention, les exos de domaine de définition sont vidés de leur substance.

2°) Beaucoup de gens s'accordent à dire que la théorie des ensembles fournit les fondements des mathématiques. Quand on regarde les définitions formelles on découvre qu'il n'y a a priori rien pour définir et manipuler le véritable vocabulaire mathématique fait de symboles de fonctions et d'opérations:$\cos(x)$, $x^2+y^2+xy$ etc (la théorie des ensembles dit "tous les énoncés seront construits à partir de connecteurs logiques, de quantifications et d'écritures comme $a=b$ et $x\in y$, et rien d'autre"). Comment passer de la deuxième situation à la première?

Voici une possibilité: quand vous ouvrez votre théorie des ensembles de Patrick Dehornoy (NB: le livre de @Martial le fait aussi sauf erreur) vous découvrez quelque part un résultat qui s'énonce comme suit: on prend une signature de logique du premier ordre (liste de symboles de fonctions, de constantes et de prédicats autorisés). Soient $H$ un ensemble d'énoncés, $x_1,...,x_n,y$ des lettres et $P$ un énoncé dont toutes les variables libres sont dans $\{x_1,...,x_n,y\}$ et tel que l'énoncé $\forall x_1 \forall x_2...\forall x_n \exists ! y P$ soit démontrable à partir de $H$. Alors on peut ajouter à la signature ambiante un nouveau symbole de fonction $\varphi$ à $n$ arguments ainsi que l'axiome suivant à $H$: $\forall x_1\forall x_2...\forall x_n Q$ où $Q$ est l'énoncé obtenu en remplaçant $y$ par $\varphi(x_1,...,x_n)$ de sorte que (on note $H':= H \cup\{\forall x_1\forall x_2...\forall x_n Q\}$) pour tout énoncé $F$ dans lequel $\varphi$ ne figure pas, si $F$ est prouvable à partir de $H'$ alors $F$ est prouvable à partir de $H$ seul (et avec une preuve dans laquelle $\varphi$ n'apparaît jamais), et d'autre part pour tout énoncé $G$ écrit avec éventuellement $\varphi$ (en plus des symboles autorisés dans la signature), il existe un énoncé $G'$ ("traduction") écrit sans $\varphi$, tel que $G\leftrightarrow G'$ est prouvable en supposant $H'$ (l'idée pour cette deuxième affirmation est de l'établir dans un premier temps pour des formules atomiques. Soit $A$ une telle formule et $\varphi(t_1,t_2,...,t_n)$ une occurrence dans $A$ d'un terme avec $\varphi$, tel que $\varphi$ n'apparaît pas dans $t_1,...t_n$. On considère une lettre $u$ n'apparaissant pas dans $A$ et on note $B$ la formule atomique obtenue en remplaçant l'occurrence $\varphi(t_1,...,t_n)$ par $u$. Alors $\forall u \left (P(t_1,...,t_n,u) \Rightarrow B \right)$ est équivalente à $A$. $B$ contient un symbole $\varphi$ de moins que $A$ et on recommence avec $B$).

Ce résultat dit qu'on peut faire des maths en introduisant des symboles de fonction à la volée (comme les matheux de 7 à 77 ans le font déjà) après avoir montré que les propriétés qui définissent les concepts le font correctement (pour chaque jeu d'arguments il y a un et un seul objet tel que blabla).

Voici comment on peut exploiter le résultat précédent. On fixe un ensemble, typiquement $\emptyset$ (il n'appartient pas aux ensembles de nombres courants comme $\Q,\R,\C$, seulement $\N$ et encore on pourrait remplacer $\N$ par la partie de $\C$ correspondante).

Pour chaque propriété $Q(x_1,...,x_n,y)$ on définit $\tilde Q(x_1,...,x_n,y):=\left [ \forall z Q(x_1,\ldots,x_n,z) \leftrightarrow z = y\right ] \vee \left [\left (\neg \exists ! t Q(x_1,\ldots,x_n,t)\right) \wedge y = \emptyset\right ]$. Intuitivement: ou bien $y$ est l'unique objet satisfaisant $Q(x_1,...,x_n,\_)$, ou bien il n'existe pas de tel unique objet et alors $y=\emptyset$. On vérifie que pour tous $x_1,\ldots,x_n$, il existe un unique objet satisfaisant $\tilde Q(x_1,\ldots,x_n,\_)$ (même si ce n'est pas le cas pour $Q$, mais si ça l'est alors $Q$ et $\tilde Q$ sont équivalentes).

Soit $\varphi_Q$ le symbole de fonction à $n$ arguments associé à $\tilde Q$. Soit $Dom_Q (x_1,\ldots,x_n)$ la formule $\exists ! z Q(x_1,...x_n)$. Alors pour tous $t_1,\ldots,t_n$, on peut prouver $Dom_Q(t_1,...,t_n) \to Q (t_1,...,t_n,\varphi_Q(t_1,\ldots,t_n))$ et aussi $(\neg Dom_Q(t_1,...,t_n)) \to \varphi_Q (t_1,\ldots,t_n) = \emptyset$.

Informellement, cette construction revient à faire de $\emptyset$ un message d'erreur renvoyé par $\varphi_Q$ lorsque $(t_1,\ldots,t_n)$ est en dehors de la classe de définition $Dom_Q$ de $Q$ (formule définissant les paramètres $(t_1,\ldots,t_n)$pour lesquels il y a unicité d'un objet satisfaisant $Q(t_1,\ldots,t_n, \_)$).

Lorsqu'on exploite ceci pour les fonctions (partielles) usuelles $f: A \to B$ avec $A,B$ dans $\Q,\R,\C$, on peut dire que "l'ensemble de définition de $f$" est le sous-ensemble de $A$ des $x$ tels que $f(x) \neq\emptyset$ (i.e. par construction: les $x$ tels que $f(x)$ n'est pas le message d'erreur). On retrouve alors les résultats usuels de ce genre d'exo (mais bon la justification est assez lourde je dois dire).

Bon, dans ce cas précis on n’est pas loin de relancer le marronnier $0^0$…

Édit : coquille 

Les gens dans l'industrie à qui je parle de ça pensent la même chose que moi. Il a fallu que des entrepreneurs français s'expriment publiquement pour demander le retour des maths à l'école. PERSONNE à part *certains* acteurs du monde académique (et ce certains n'est pas peuplé que de profs) ne pense que la situation s'est améliorée et que plus d'élèves comprennent les maths. Dès qu'une évaluation sur laquelle l'éducation nationale n'a pas de contrôle (ex: comparatifs internationaux) est réalisée c'est toujours un effondrement quasi-total qui est montré.

Bonjour

Tenons compte de l'argument de Patrick Dehornoy extrait de son livre La théorie des ensembles, page 7, note de bas de page :

Ainsi $f_A:\emptyset\to{}A$, quel que soit (l'ensemble) $A$, est-elle une fonction et aucunement une application au sens où nous l'entendons ici. Il convient de faire cette distinction, surtout si l'on veut s'investir dans la métamathématique ou dans les catégories au sens de Ehresmann.

Suivant cette voie remarquable, voici donc un texte permettant de contourner le problème :

Soit $f$ la fonction partiellement définie sur $\R^2$ par\[f\left(x,\,y\right)=\dfrac{y\sqrt{x}}{x^2+y^2}\]

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
2. (...)

Remarque : le point $(0,\,0)$ possède bel et bien au plus une image dans $\R$ par $f$, vu qu'il n'en possède aucune.