Combinaisons linéaires formelles

Je suis embêté pour répondre avec certitude : la réponse dépend des lois choisies. Dans $[E\times F]$, est-ce que $1 (x,y) = 1 (x,0) + 1(0,y)$ ?

Je pense que le mot formel indiquerait plutôt non et dans ce cas, on peut écrire
$$[E\times F] = \{f:E\times F\to \mathbb{K} \mid  \text{le support de $f$ est fini}\}.$$
Édit : Correction d'une coquille suite au message de @Math Coss.

@Positif : Il est bien évident que $[E\times F]$ contient un vecteur nul et il serait bien tordu de le noter autrement que $0$. Surtout si l'on note avec le même symbole $0$ les vecteurs nuls de $E$ et $F$...

Pour revenir à la question, l'archétype de cette construction est l'espace des polynômes $K[X]$ : un polynôme est une combinaison linéaire formelle $\sum_{n\in A}\alpha_nX^n$ où $A$ est une partie finie de $\N$ (on prend en général $A$ de la forme $\{0,1,\dots,N\}$ mais ce n'est pas obligé) et $(\alpha_n)_{n\in A}\in K^A$. Que sont les symboles $X^n$ ? On peut se bagarrer pour dire que ce sont les suites $(0,\dots,0,1,0,\dots)$ avec le $1$ placé en position $n$ mais il est recommandé de l'oublier aussi vite que possible (ce n'est pas comme cela que l'on travaille avec les polynômes). Autrement dit, en tant qu'espace vectoriel, $K[X]$ peut être construit comme l'espace des fonctions $a:\N\to K$ qui sont nulles en dehors d'en ensemble $A$ fini (avec la notation ci-dessus, $a(n)=\alpha_n$ si $n\in A$ et $a(n)=0$ si $n\notin A$).

De façon générale, $[E\times F]$ est l'espace des applications $a$ de $E\times F$ dans $K$, pas nécessairement linéaires, mais telles que l'ensemble des $(x,y)$ tels que $a(x,y)\ne0$ est fini (ce qui est différent que de dire que $f(E\times F)$ est fini ; je ne suis pas d'accord avec @MrJ).

Une combinaison linéaire formelle $\sum_{(x,y)\in A}\alpha_{(x,y)}(x,y)$, ça ne se distingue pas de la famille de coefficients, i.e. l'application $a$ qui à $(x,y)\in E\times F$ associe $\alpha_{(x,y)}$ si $(x,y)\in A$ et $0$ sinon.Si on a deux choses comme ça, disons $a$ (définie avec $A\subset E\times F$ et $\alpha$) et $b$ (définie avec $B\subset E\times F$ et $\beta$), ainsi que deux coefficients $\lambda,\mu\in K$, la combinaison linéaire correspondante est l'application qui à $(x,y)$ associe $\lambda a(x,y)+\mu b(x,y)$, scalaire qui est nul si $(x,y)\notin A\cup B$, vaut $\lambda \alpha_{(x,y)}+\mu\beta_{(x,y)}$ si $(x,y)\in A\cap B$, $\lambda\alpha_{(x,y)}$ si $(x,y)\in A\setminus B$ et $\mu\beta_{(x,y)}$ si $(x,y)\in B\setminus A$.

Il serait peut-être plus rigoriste, pour tout $(z,t)\in E\times F$, de noter  $e_{(z,t)}$ la famille de coefficients définie par $A=\bigl\{(z,t)\bigr\}$ et la famille de coefficients $\alpha_{(z,t)}=1$ (en d'autres termes, c'est l'application $a:E\times F\to K$ qui à $(x,y)$ associe $1$ si $(x,y)=(z,t)$ et $0$ sinon). On constate alors que $(e_{(z,t)})_{(z,t)\in E\times F}$ est une base de $[E\times F]$, de sorte que les éléments de $[E\times F]$ sont les combinaisons linéaires $\sum_{(x,y)\in A}\alpha_{(x,y)}e_{(x,y)}$ avec $A$ fini et $(\alpha_{(x,y)})_{(x,y)\in A}\in K^A$. On se rend compte qu'il est plus compliqué d'avoir un symbole $e_{(x,y)}$ que de garder simplement $(x,y)$, alors on simplifie l'écriture.

$K$ désigne le corps du post original. Soit $M$ un ensemble. On note $K^{(M)}$ l'ensemble de toutes les applications $f$ de $M$ dans $K$ telles qu'il existe une partie finie $N$ de $M$ telle que pour tout $x\in M \setminus N$, $f(x) = 0$. $K^{(M)}$ est un sous-espace vectoriel de $K^M$ pour la structure d'espace vectoriel évidente sur ce dernier.

L'ensemble des "combinaisons linéaires formelles de $E\times F$" est alors $K^{(E \times F)}$.

Un diagramme est un dessin où figurent plusieurs ensembles (corps, anneaux, espaces vectoriels, modules...) et des morphismes qui les relient. On dit que le diagramme commute si toutes les composées qui vont d'un ensemble à un autre, correspondant à différents chemins sur le diagramme, sont égales.

Exemple : voici un diagramme : \[\xymatrix{E\times F\ar[rr]^{\iota}\ar[dr]_{u}&&[E\times F]\ar[dl]^{U}\\&G.}\]On dit que ce diagramme commute si $u=U\circ\iota$.

Je parierais que tu t'intéresses au diagramme suivant : \[\xymatrix{E\times F\ar[rr]^{j}\ar[dr]_{v}&&E\otimes F\ar[dl]^{V}\\&G,}\]où $v$ donnée est bilinéaire et où l'on cherche à construire $j$ indépendant de $v$ et $V$ linéaire de sorte que $V=v\circ j$.