Question sur les sous-groupes finis et les corps

darbouka
darbouka
dans Algèbre
Bonjour,
Dans un de mes livres, je suis tombé sur la proposition suivante: "tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique", avec comme exemple ((Z/pZ)*, x) qui est cyclique lorsque p est premier.
J'ai essayé de trouver un autre exemple de tel sous-groupe cyclique, mais sans résultat pour l'instant.
Quelqu'un aurait-il un autre exemple à me proposer?

Réponses

  • b.b
    b.b
    Modifié (December 2022)
    Les sous-groupes de $\left(\Z/p\Z\right)^*$ sont tous cycliques.

    Pour changer d'exemple, tu peux aussi regarder les sous-groupes des racines $n$-ièmes de l'unité de $\left(\C^{*},\times\right)$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (December 2022)
    Idem pour $\R^*$ et $\Q^*$ mais il est vrai que ce sont des cas particuliers du précédent.
    Pour plus d'exemples il faudrait peut-être considérer des corps finis autres que les $\Z/p\Z$. Tu en connais ? Si j'ai bien compris un livre sur les codes correcteurs, une façon efficace d'implémenter un corps finis, c'est de choisir un générateur $g$ du groupe multiplicatif et d'enregistrer la somme sous forme de tableau : en $(j,k)$ on place (sauf exception) le $m$ tel que $g^i+g^j=g^m$. Ceci n'a de sens que grâce au théorème que tu étudies.
    Edit : rectification de l'opération (somme et pas somme des exposants !).
  • Foys
    Foys
    Une partie $F$ d'un corps commutatif $K$ est un sous-groupe fini de $(K^*,\times)$ si et seulement si il existe $n\in \N$ tel que $F$ est l'ensemble des racines dans $K$ du polynôme $X^n - 1$ de $K[X]$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • darbouka
    darbouka
    Merci pour vos réponses.
    @b.b : mais oui, le groupe des racines n-ièmes de l'unité, bien sûr! Je l'avais oublié celui-là. Sinon, pour les sous-groupes de (Z/pZ)*, oui ils sont cycliques, mais comme il n'y a que {e} et (Z/pZ)* lui-même, ça me paraît moins intéressant.

    @Math Coss : non, pour l'instant mon niveau est encore assez faible en algèbre, et les seuls corps finis que je connaisse sont les Z/pZ. Il faudra que je progresse encore avant de pouvoir comprendre pleinement le commentaire que tu m'as laissé.

    @Foys : Cette remarque me parle, et dans la démonstration de la propriété on utilise d'ailleurs un argument semblable en considérant les racines d'un polynôme de degré strictement inférieur à l'ordre du groupe. Je vais réfléchir un peu à ce que tu m'as écrit.
  • Foys
    Foys
    Modifié (December 2022)
    @darbouka le vrai résultat important ici (et qui je le parierais très fort figure aussi dans ton cours) est que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps (commutatif) est cyclique. Le reste consiste surtout en des activités annexes pour s'exercer à manipuler ce théorème.
    Le théorème en question est conséquence d'un autre: soient $n\in \N$ et $G$ un groupe à $n$ éléments. On suppose que pour tout $d\in \N$ il existe au plus $d$ éléments $x\in G$ tels que $x^d=1_G$. Alors $G$ est cyclique. (il est bon de connaître la formule $\sum_{d|n} \varphi(d) = n$ où $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler, pour démontrer ce dernier résultat).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Poirot
    Poirot
    Modifié (December 2022)
    darbouka a dit :
    Sinon, pour les sous-groupes de (Z/pZ)*, oui ils sont cycliques, mais comme il n'y a que {e} et (Z/pZ)* lui-même, ça me paraît moins intéressant.
    Attention, $\left(\mathbb Z/p\mathbb Z\right)^{\times}$ est un groupe cyclique d'ordre $p-1$, en particulier pour tout diviseur $d$ de $p-1$, il admet un sous-groupe d'ordre $d$, donc à moins que $p=2$ ou $3$, il y a toujours d'autres sous-groupes que $\{\overline 1\}$ et $\left(\mathbb Z/p\mathbb Z\right)^{\times}$ !
  • darbouka
    darbouka
    Oups, la boulette! oui Poirot, tu as tout à fait raison.

    @ Foys , oui le résultat que tu cites est justement celui qui m'a fait poser cette question. Je vais regarder de plus près l'autre théorème dont tu parles, avec l'indicatrice d'Euler.
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