Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
Bonjour,
quelqu'un peut me donner le titre d'un bon livre (en anglais) dans lequel il y a le résultat de l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson ?
Merci beaucoup.
quelqu'un peut me donner le titre d'un bon livre (en anglais) dans lequel il y a le résultat de l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson ?
Merci beaucoup.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Le résultat ou la preuve ? Car le résultat est connu (et assez évident : loi de Poisson de même moyenne) ; à moins que ce soit les conditions (n tend vers l'infini et np vers une limite finie) ?
Cordialement.
Dans Lectures on the coupling method de T.Lindvall tu trouveras tout ce qu'il te faut et pas plus, avec des bornes explicites.
je cherche seulement référence considérable et ne [non ?] pas la démonstration.
S'il n'y a pas de problème pour la convergence de $B(n,p_n)$ vers $P(\lambda)$ lorsque $np_n$ tend vers $\lambda$,
pour ce qui est d'approcher une variable aléatoire binomiale par une variable aléatoire de Poisson, c'est -à-dire,
un couple $(n,p)$ étant donné, trouver $\lambda$ tel que $C_{n}^{k}p^kq^{n-k}$ soit peu différent de $\lambda ^k \exp(-\lambda)/k!$ pour tout entier $k \leq n$ c'est autre chose : ça me paraît même impossible.
On voit que pour $k=0$ cela implique, si $p$ petit, que $\lambda$ soit peu différent de $np$.
Mais si on prend $\lambda =np$ on voit vite que ça ne va plus lorsque $k$ augmente.
Par exemple pour $n=50,p=0.025$ et on notant $E_k$ l'erreur relative commise en remplacant $C_{n}^{k}p^kq^{n-k} $ par $(np)^k \exp(-np)/k!$ on obtient
$E_0=1.6 \%$ ; $E_0=\exp(-np)/(1-p)^n-1$
$E_1=-0.94 \%$
$E_2=-1.44 \%$
$E_3=0.096 \%$
$E_4=3.8 \%$
$E_5=10 \%$
$E_6=19.2 \%$
$E_7=32 \%$
$E_{20}=4993 \% $
$E_k$ est croissant à partir de $k\geq 2$
L'approximation concrète n'est utilisable que aux alentours de la moyenne. De toutes façons, la loi binomiale a un support fini, pas la loi de Poisson.
Cordialement.