Un point sur un axe radical

% Jean Louis Ayme - 22 Octobre 2022 - Un point sur un axe radical

clear all, clc

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Droite (BC)

%-----------------------------------------------------------------------

I = [a; b; c]; % Centre du cercle inscrit dans le triangle ABC

Para=[0 1 1]; % Parallèle à (BC) passant par A
BI=Wedge(B,I); CI=Wedge(C,I); % Droites (BI) et (CI)
D=Wedge(Para,BI); E=Wedge(Para,CI); % Points D et E
Oa=MilieuBary(D,E); % Milieu de [DE]:  Oa=[2*a; b-c; c-b]

%-----------------------------------------------------------------------

% Projeté de I sur (BC)
P= ProjectionOrthogonaleBary(I,BC,a,b,c);
P=SimplifieBary(P); % On trouve P=[0; c-b-a; b-a-c]

% Carré de la puissance de P par rapport au cercle circonscrit à ABC
Puiss1_2=Distance2(P,B,a,b,c)*Distance2(P,C,a,b,c);
% D'où la puissance:
Puiss1=-(a+b-c)*(a-b+c)/4;

% Puissance de P par rapport au cercle de diamètre [DE]
POa2=Factor(Distance2(P,Oa,a,b,c)); % Carré de la distance POa
Ra2=Factor(Distance2(Oa,D,a,b,c)); % Carré de la distance DOa
Puiss2=Factor(POa2-Ra2);

Nul=Factor(Puiss1-Puiss2)
% Nul est égal à 0, donc c'est gagné.
% Les deux puissances sont égales et P est sur l'axe radical