Additions, soustractions et priorités opératoires

Arturo · November 2022

Bonjour,
en 5ème, lorsque l'on travaille sur les priorités opératoires avec les élèves, on leur explique que les calculs s'effectuent de la gauche vers la droite lorsqu'il n'y a que des addition et des soustractions. (1)
Par ailleurs, on leur enseigne le fait que, lorsqu'il n'y a que des additions, on peut faire les calculs dans n'importe quel ordre. (2)

L'expression du calcul est la suivante : A = 6 - 3 + 13 - 11.
Je m'attendais à ce que les élèves calculs d'abord 6 - 3 puis 3 + 13 puis 16 - 11.
A = 6 - 3 + 13 - 11
A = 3 + 13 - 11
A = 26 - 11
A = 5

Certains ont eu l'idée d'effectuer les calculs deux par deux : 6 - 3 d'une part puis 13 - 11 d'autre part pour terminer en effectuant 3 + 2.
A = 6 - 3 + 13 - 11
A = 3 + 2
A = 5

Le résultat est le même, la méthode est juste mais cela ne relève pas des points (1) et (2) évalués.
Je ne sais pas trop si je dois leur attribuer tous les points : qu'en pensez-vous ?

Pour la correction en classe, je cherche une façon simple d'expliquer à l'ensemble des élèves la méthode trouvée par leurs camarades et pourquoi elle fonctionne : auriez-vous une idée ?

Je vous remercie par avance pour cet échange.

lourrran · November 2022

Si tu ne donnes pas tous les points aux élèves 'débrouillards', prépare tes arguments pour te justifier auprès de leurs parents. Moi, je n'en ai strictement aucun. J'aurais même envie de leur donner un bonus.

Dom · November 2022

Je pense qu’il faut laisser tous les points (et réfléchir à proposer d’autres enchaînements où « ça ne marche pas » comme Z= 20 - 5 - 1+ 9 ou autres…).

Si on demandait une justification, ils seraient bien embêtés et on pourrait alors retirer des points, voire être très sévère.

La justification est difficile avant de voir les nombres relatifs et le fait que : a - b = a + (-b).

Dans le cas qui nous occupe : déjà avec la règle donnée (commencer à gauche) et avec ce qui a été fait et qui est juste on arrive à se demander comment justifier que :
G= (3+13)-11 vaut D= 3 + (13-11)

Je ne trouve pas de méthode simple…

méthode théorique : b-a est le nombre qui ajouté à a donne b.

G+11=(3+13)-11=3+13
D+11=[3+(13-11)]+11 et comme ce sont des « + » on peut effacer les crocher et regrouper (associativité).

Ça donne de nouveau D=3+[(13-11)+11] = 3+13

Tout cela est difficile. Notamment parce que personne ne sait définir proprement ce qu’est « b-a ».

C’est aussi parce que, encore en 5e, ils ne travaillent que par « résultats » (combien ça fait ?) et pas du tout de manière symbolique (algébrique, littéral…).

Bref. C’est difficile et peu parlant. Mais ça ne veut pas dire qu’il ne faut pas le faire, ou du moins en parler.

Autre approche : proposer quelques calculs où toutes les étapes doivent être détaillées. Associativité, commutativité, etc. C’est peut-être le mieux pour démontrer qu’avec ces simples règles… on est parfois coincé.

Je le répète : c’est peut-être le mieux.

Avantage aussi : on peut même travailler avec des lettres.

Domi · November 2022

Personnellement je me suis très vite débarrassé de cette contrainte en considérant (contre l'avis des programmes) qu'il s'agissait d'une suite d’additions de relatifs. Après on commute et on associe comme on veut.
Domi

Soc · November 2022

Tout comme Domi. Je leur donne comme priorités opératoires : 1/ parenthèses 2/ puissances 3/ multiplications 4/ additions et surtout pas de priorité de gauche à droite. Pour les divisions, la priorité sera donnée par une barre de fraction ou une parenthèse. Pour une soustraction il faut la considérer (à partir de la 5e) comme une addition. Pour ceux qui ont du mal, je les autorise à entourer les nombres avec leur signe.
Dans le chapitre sur l'addition de relatifs, je passe du temps et les habitue à l'oral à effectuer les calculs de droite à gauche, ou dans n'importe quel ordre.
Au passage ils ont souvent vu dès le primaire le fait de regrouper les positifs à gauche et les négatifs à droite. Je n'aime pas cette habitude qu'ils ont tendance à considérer comme obligatoire, mais au moins on peut leur montrer qu'ils déjà vu cette commutativité de relatifs.

Domi · November 2022

Le gauche à droite reste tout de même indispensable pour les successions de multiplications et divisions (à moins de considérer la division comme une multiplication par l'inverse).
Domi

Soc · November 2022

Je n'ai jamais vu des divisions écrites en succession en ligne sauf dans de très mauvais manuels de maths qui tiennent absolument à appliquer des règles farfelues !

Domi · November 2022

D'accord mais il faut se couvrir : $2\times 2 : 2 \times 2$.
Domi

Soc · November 2022

Bof. Mais je leur dis quand même que s'ils tombent sur un calcul très mal écrit ils peuvent alors appliquer la très mauvaise règle. Je m'amuse d'ailleurs à leur montrer que google aussi déteste les calculs très mal écrits et les corrige aussitôt!

Domi · November 2022

$8:2\times 4$ , c'est mal écrit ?
Domi

Soc · November 2022

Bah oui. Parenthèses ou fraction. Dans le pire des cas une unique division en fin de terme pour ceux qui tiennent absolument à les écrire en ligne.

nicolas.patrois · November 2022

Tu peux réécrire les sommes algébriques avec les nombres relatifs, c’est au programme de cinquième aussi (mais plus tard).

Tu peux leur dire que la justification viendra dans un chapitre ultérieur.

Dom · November 2022

C’est fâcheux quand même.

Le symbole $\div$ n’est pas farfelu, il existe bel et bien. Les règles non plus ne sont pas farfelues.

Les manuels mal faits sont peut-être ceux qui ne l’utilisent pas. Justement, le passage d’une écriture en ligne (avec $\div$) à une écrire avec des traits de fractions doit être explicité selon moi. C’est un décodage qui est simple pour nous…

L’écriture fractionnaire est très commode bien entendu mais ça n’exclut pas l’autre symbole (et mathématiquement c’est une classe donc « autre chose » pour nous qui connaissons bien cela).

Bon, ce n’est pas le sujet du fil donc je vais tenter de ne pas tergiverser sur cela division.

Pour revenir à ce que tu dis, Domi : traiter les soustractions comme des additions se fait (et soit se faire !) mais lors des relatifs. Dis-tu qu’il faudrait commencer la 5e comme ça ? (Ça se défend, me dis-je…). On peut aussi faire de même avec les divisions qui sont des produits d’inverses (plutôt 4e, culturellement). Mais, du coup, en 6e, les mêmes questions peuvent arriver et que répondre à l’élève (même en CM2) qui ferait « A =5+10-3 = 5+7=12 » ?

Soc · November 2022

Sinon pour une analogie simple à comprendre "Un + tu montes, un - tu descends, de combien es-tu monté ou descendu?". Ils comprennent facilement que l'ordre n'a pas d'importance et pourquoi il faut considérer chaque nombre avec son signe.

Dom · November 2022

Mouais mais là on sort des maths et des fondements. C’est un argument d’autorité « tu vois bien que quand t’es dans l’ascenseur, l’ordre des variations que tu fais ne change rien à l’étage où tu arrives finalement ». Je peux garantir que ce n’est pas acquis pour tout le monde. Pire. Il existe d’autres « tu vois bien » qui sont malheureusement faux… (le danger des cas particuliers).

Homo Topi · November 2022

Pour moi, une seule règle : si ce qu'ils ont fait est juste, donne-leur tous les points. S'ils ont fait des fautes, retire-leur les points correspondants. On n'enlève pas des points à quelque chose de juste.

Si tu leur enseignes "ma méthode est la seule qui est bonne", change ta conception des choses.

Quand on regarde la distributivité, c'est encore pire : comment calcule-ton $37 \times 89$ ? Certains voudront calculer $(30+7)\times(80+9)$, d'autres $(40-3)\times(90-1)$, d'autres $(35+2)\times(100-11)$, chacun a sa manière de faire et c'est extrêmement destructeur de leur imposer une méthode qui n'est pas leur façon naturelle de faire si leur façon naturelle de faire est juste.

Une autre illustration : chez les "petits", on leur enseigne (ou enseignait, à une époque), que $2-5=0$, parce qu'ils ne connaissent pas encore les nombres négatifs et que "quand on a enlevé tout ce qu'il y avait, on ne peut pas enlever plus". Ben figure-toi qu'après, les élèves qui savaient déjà que $2-5=-3$ doivent désapprendre ça, puis un peu plus tard le réapprendre et ils ont plus de mal à le réapprendre, alors que ceux qui ont appris $2-5=0$ et qui doivent comprendre qu'en fait ça fait $-3$ ont moins de mal. Donc en devoir en classe, ceux qui écrivent $2-5=0$ en CE1 ont tous les points parce qu'ils respectent ce qu'on leur a appris, et ceux qui écrivent $2-5=-3$ en CE1 ont AUSSI tous les points simplement parce que ce n'est pas faux.

Dom · November 2022

D’ailleurs, ce*** « 2-5=0 » fait penser aux prémices d’une division euclidienne « 2:5=0 et reste 2 ».

***Par contre, je ne l’ai pas aperçu, ça se fait encore ?

Homo Topi · November 2022

Je n'en ai aucune idée, j'ai quitté l'école primaire en 2002 et je ne connais aucun(e) enseignant(e) de primaire...

La différence avec la division euclidienne, c'est que ce n'est pas faux, c'est juste un autre type de division que la division décimale. La division euclidienne, on bâtit plein de choses dessus, la division décimale aussi. $2-5=0$, on ne fait pas grand chose de correct avec. Mais ça serait bien, si quand il reste 2€ sur un compte bancaire et que la banque nous prend 5€, on ne passait pas à découvert !

Thierry Poma · November 2022

@Arturo : bonsoir. Je m'étonne que tu te poses ce genre de questions. Imaginons que je sois l'un de tes élèves, en avance sur le programme et donc sur les attendus, et que je te propose ces deux solutions, que j'aurais proposées :

Première solution : $A =\cdots = (6 - 3) + (13 - 11)=\cdots$

Deuxième solution : $A =\cdots = (6 + 13) - (3 + 11)=\cdots$

M'aurais-tu sanctionné pour ne pas avoir répondu comme tu l'attendais ? Je précise qu'en tant que prof, tu dois anticiper les réponses possibles.

Soc · November 2022

L'anticipation vient avec l'expérience.

Dom · November 2022

En effet. Générer des exercices aléatoirement permet d’ailleurs d’obtenir des situations parfois insoupçonnables.

Sato · November 2022

On m’a dit que de l’autre côté de la Manche l’usage est de ne pas accorder de points (enfin, l’équivalent des points) (mais vraiment aucun m’a-t-on dit) à celui qui répond correctement mais pas selon la méthode préconisée dans le cours de la semaine. Je n’ai pas dit que j’approuvais. Cela donne un côté « apprentissage de recettes » indigne, le raisonnement et la Vérité étant au-dessus. Mais, pour me faire l’avocat du diable, l’apprentissage efficace de recettes c’est un peu ce qui manque aux maths du collège en ce moment.

Homo Topi · November 2022

Pour rebondir un peu sur ce qui a été dit et le message de @Sato : je pense qu'il est bon d'enseigner UNE recette, "le truc qui marche tout le temps", pour ceux qui ont du mal à faire des maths sans être guidés. Mais il faut aussi accepter les méthodes des élèves qui ont la capacité de développer leur propre méthode, et le font juste. Typiquement, dire "on PEUT toujours faire les calculs de gauche à droite", mais bien insister sur le fait que "on PEUT" et pas "on DOIT". Faire comme ça a deux avantages : ceux qui sont paumés sans une "recette" ont une recette, ceux qui sont créatifs et débrouillards ne le perdront pas cette année à cause de nous. Et ça, c'est précieux.

Quand je fais la distributivité par exemple, je me réjouis quand je passe 20 minutes à corriger le premier calcul des devoirs à domicile parce que j'ai 10 solutions différentes. Et souvent, l'élève qui se sentait trop con pour faire sans une recette voit un calcul où une autre façon de faire que la recette lui parait plus simple, ça le fait réfléchir, il comprend tout seul parce que ce n'est vraiment pas compliqué, et il reprend un peu confiance en lui, à se dire qu'il essaiera d'être un peu créatif lui-même la prochaine fois.

Dom · December 2022

C’est en fait un problème que l’on a dans la partie « calcul » des maths. Autant en géométrie, on doit citer ou au moins évoquer le théorème utilisé, autant en « algèbre » (dans les calculs), on ne le fait jamais. Et bien malin celui qui sait ce qu’a utilisé l’auteur d’un calcul.

Helips · December 2022

Bonjour,

je dis peut-être une bêtise, on est avant le café, mais :

3+13-11=13-11+3 : on a le droit avec la règle on fait la somme dans l'ordre qu"on veut, il me semble.

Sinon, mon premier réflexe est "on met les points, bien sûr", mais si je calque sur ce que je fais par exemple sur le second degré, c'est moins clair. Sur le second degré, quand on n'a pas encore le discriminant, ma position est "vous utilisez une propriété non vue en cours ? OK, mais vous la démontrez d'abord, on est en maths, pas en recette magique".

Dom · December 2022

Oui, c’est un argument et c’est celui avancé plus haut.

Mais en 5e, on ne voit pas que « a - b » est une somme sauf lors de l’introduction des nombres relatifs.

nicolas.patrois · December 2022

Oui mais dans 13−11+3 on ne calcule pas 11+3 d’abord, c’est ça l’erreur classique lue dans les copies.

En revanche, demander aux élèves de démontrer que 3+13−11=13−11+3 me semble hasardeux.

Helips · December 2022

Ah non mais on est d'accord que ce que j'applique en 1ère peut difficilement s'appliquer en 5e, les pauvres.

@Dom : ok, je n'avais pas compris la règle, je crois. Donc la règle c'est : que des $+$, on fait dans l'ordre qu'on veut, dès qu'il y a un $-$, que dans l'ordre ?

Dans ce cas, je ne vois pas, moi non plus, comment s'en sortir. Et c'est embêtant de ne pas mettre les points quand même.

Soc · December 2022

L'addition des relatifs est vue en 5e donc on peut leur donner les bonnes habitudes dès la 5e.

Une fois qu'ils ont compris qu'on peut du coup écrire beaucoup moins, ils sont motivés !

Dom · December 2022

Oui, c’est la conclusion que j’en tire : peut-être faut-il commencer assez tôt par les relatifs.
Bon, cela dit, ça n’a jamais posé de problème. Là on se retrouve dans une situation (et ça arrive plein de fois) où l’élève n’écrit pas d’erreurs mais ne comprend pas ce qu’il fait ni pourquoi il est « légal » de le faire.

Une remarque : comment fonctionne une calculatrice ? J’ose croire qu’on lui a donné ces règles des priorités, non ?
Pourquoi vouloir esquiver les règles de priorité ?
Elles existent…

Oui, Helips, la règle c’est « avec +, ordre et regroupements que l’on veut » et « dès qu’il y a un - on calcule de proche en proche, de la gauche vers la droite ».

Nicolas, pour justifier, on peut faire ce que j’ai proposé plus haut. Mais en effet, la définition de « a - b » n’est pas connue, et évidemment non maîtrisée.
C’est abstrait et non travaillé.

Foys · December 2022

Dom · December 2022

Hum… je ne vois pas le rapport, Foys, avec la discussion dont le thème est « comment justifier en 2022 en France à des sortants de 6e que « quels que soient a, b et c : (a+b)-c = a+(b-c) » ?

Foys · December 2022

Dom
Techniquement sans calcul littéral on ne peut pas (le prouver), on ne peut que le constater sur un nombre (invariablement fini) d'exemples. Par contre on peut comprendre que si Alice reçoit 100 euros puis paie 300 euros, ou bien si elle paie d'abord 300 euros puis reçoit 100 euros, alors dans les deux cas elle aura une dette de 200 euros.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]