Entiers représentables par (ppcm(a,b)+ppcm(b,c))/ppcm(a,c)

math-OS
math-OS
Modifié (December 2022) dans Arithmétique
Il est facile de voir que les entiers pairs sont tous représentables par une telle formule (prendre a = c = 1).
Par ailleurs l'écriture d'un petit programme en python laisse penser que ce sont les seuls mais je ne suis pas encore parvenu à le démontrer. Si quelqu'un a une idée, je suis preneur…

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    lcm ? La commerciale des Métaux ? Le carré médical ?
  • Vassillia
    Vassillia
    Bonjour,
    Je dirais plutôt least common multiple traduire par ppcm

    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • math-OS
    math-OS
    Merci pour cette contribution utile :)
    Oui, j'ai l'habitude d'intervenir sur des forums en anglais, et donc OK :  ppcm. Mais j'imagine que tout le monde comprend.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (December 2022)
    math-OS a dit :Si quelqu'un a une idée, je suis preneur… 
    Sans perte de généralité, on peut supposer que $v_2(a)\leq v_2(c)$.
    En distinguant les trois cas
    $v_2(b)\leq v_2(a)$, $v_2(a)<v_2(b)\leq v_2(c)$ et $v_2(c)<v_2(b)$, on parvient à chaque fois à montrer que le quotient est pair si $ppcm(a,c)$ divise $ppcm(a,b)+ppcm(b,c)$.
    Par exemple, dans le premier cas, on se ramène à un entier qui s'écrit comme le quotient d'un entier pair et d'un entier impair, donc ce quotient est un entier pair.
  • math-OS
    math-OS
    Vu, je suis parvenu entre-temps à la même conclusion. Merci beaucoup @JLapin.
  • PierreB
    PierreB
    Modifié (December 2022)
    C'est un énoncé qui apparaît dans le dernier numéro du Coin des Problèmes de Quadrature...
    Pierre.
  • JLapin
    JLapin
    Ah, désolé, je ne savais pas...
  • etanche
    etanche
    @ math-OS  avec le moteur de recherche approach0xyz tu as l’origine de cet exercice et divers solutions 
    https://artofproblemsolving.com/community/c6h2317634p18471128
    ça été posé à USEMO 2020 
  • math-OS
    math-OS
    @etanche En effet ! Merci bcp pour la référence.
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