Encadrement

Non. Les bornes pour $xy$ sont $\min(-1\times5,-2\times4)$ et $\max(-1\times(-2),4\times5)$.

C'est le cas aussi, sans doute. Je n'ai donné qu'un résultat final, pas une rédaction. Je rédigerais bien en distinguant quatre cas pour encadrer $xy$ lorsque $x$ décrit $[a,b]$ et $y$ décrit $[c,d]$ avec $a<0<b$ et $c<0<d$.

Je crois aussi, vu que deux nombres peuvent avoir deux signes différents. On peut faire un tableau pour compter les cases. \[\begin{array}{c|c|c|}&\text{$x$ positif}&\text{$x$ négatif}\\ \hline\text{$y$ positif}&&\\\hline\text{$y$ négatif}&&\\\hline\end{array}\]

Bonjour @Lolo36 tu n'as pas commenté ma façon, je positive dans le sens si  $-1\leq x\leq 4$; $-2\leq y\leq 5$ alors 
$1\leq x+2\leq 6$; $1\leq y+3\leq 8$ donc l'encadrement $1\leq (x+2)(y+3) \leq  48$ ce qui donne
$1\leq xy+3x+2y+6\leq 48$ ce qui donne l'encadrement de $xy$ en utilisant l'encadrement de $-3x$ et $-2y$

Bonjour @Math Coss    On a une infinité de choix, j'ai pris ce choix c'est tout.
Pour les inégalités initiales https://www.wolframalpha.com/input?i=extrema+xy,+-1\leq+x\leq+4;+-2\leq+y\leq+5
pour mon choix   https://www.wolframalpha.com/input?i=extrema+xy,+1\leq+x+2\leq+6;+1\leq+y+3\leq+8
Un autre choix https://www.wolframalpha.com/input?i=extrema+xy,+0\leq+x+1\leq+5;+0\leq+y+2\leq+7

La question était de donner un encadrement et non pas l 'encadrement optimal. Les exemples donnés avec wolphi c'est que cet encadrement optimal reste le même indépendamment de la  façon dont on [rend] positives les inégalités.
edot Je retire ce que j 'ai dit. Cette méthode n 'a aucun intérêt 

Bonjour

Le plus simple est de faire un tableau de signe à double entrée de P = xy 
suivant les valeurs de x et suivant les valeurs de y

  x  ///////// -1              0            4/////////////
y                         
/////////////////////////////////////////////////
-2/////////////2             0           -8////////////
   /////////////         +            -       ////////////
0 /////////////0              0             0////////////
   /////////////         -             +       ////////////
5//////////////-5            0             20///////////
//////////////////////////////////////////////////

on conclut que P est compris entre - 8 et 20
bornes comprises

Cordialement