Théorème des quatre carrés de Lagrange
Bonjour.
Ma question concerne la démonstration du théorème des quatre carrés de Lagrange.
Tout entier naturel s'écrit comme somme de quatre carrés d'entiers naturels (éventuellement nuls).
Les ingrédients sont les suivants :
Lemme 1 (identité d'Euler) : Si deux entiers naturels s'écrivent comme somme de quatre carrés, alors il en est de même pour leur produit.
Pas de problème ici (ou bien laborieusement, ou bien plus finement avec les nombres complexes mais on y arrive).
Lemme 1 (identité d'Euler) : Si deux entiers naturels s'écrivent comme somme de quatre carrés, alors il en est de même pour leur produit.
Pas de problème ici (ou bien laborieusement, ou bien plus finement avec les nombres complexes mais on y arrive).
Lemme 2 : Pour tout nombre premier impair $p$, il existe deux entiers naturels $a, b$ tels que $p$ divise $1+a^2 + b^2$
Toujours pas de problème ici. On montre que l'application qui à $i$ associe $i^2$ (définie et à valeurs dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est injective et on arrive au résultat voulu.
Toujours pas de problème ici. On montre que l'application qui à $i$ associe $i^2$ (définie et à valeurs dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est injective et on arrive au résultat voulu.
Lemme 3 : Tout nombre premier impair est somme de quatre carrés.
On se donne $p$ premier impair.
D'après le lemme 2, il existe $a, b$ entiers (que l'on peut choisir dans $\{0 , ... , \frac{p-1}{2} \}$ tel que $p$ divise $1+a^2+b^2$.
Il existe alors un entier naturel $u$ tel que : $1+a^2+b^2 = p u$
On a de plus (inégalité triangulaire) : $0 < u < p$
Ainsi, on a : $pu=1^2+a^2 +b^2 + 0^2$
Notons alors $K$ le plus petit entier naturel non nul tel que $pK$ s'écrive comme la somme de quatre carrés d'entiers. (Toute partie non vide de $\mathbb{N}-\{ 0\}$ admet un plus petit élément.)
Supposons $K > 1$ (dans le but de montrer par l'absurde que $K$ est égal à $1$)
On a alors :
$p K = x_1^2 + x_2^2 + x_3^3 + x_4^2$ (avec $x_i$ entiers naturels)
Par ailleurs, pour tout $i$ dans $\{1,2,3,4 \}$, il existe $y_i$ entier compris (au sens large) entre $\dfrac{-K+1}{2}$ et $\dfrac{K}{2}$ tel que : $x_i \equiv y_i [K]$
On a alors :
$0 \equiv x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 \equiv y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 [K]$
Ainsi $ y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2$ est multiple de $K$ : $ y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 = K r$ avec $r$ entier
On montre ensuite que (inégalité triangulaire) que $0 \le r < K$
D'après l'identité d'Euler, puisque $pK$ et $rK$ sont sommes de quatre carrés d'entiers, alors leur produit $(pK) (rK)$ est aussi somme de quatre carrés d'entiers :
$pK rK = K^2 pr = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 +z_4^2$ ($z_i$ entiers naturels)
Il va de soi que $\sum_{i=1}^4 z_i^2$ est multiple de $K^2$.
On se donne $p$ premier impair.
D'après le lemme 2, il existe $a, b$ entiers (que l'on peut choisir dans $\{0 , ... , \frac{p-1}{2} \}$ tel que $p$ divise $1+a^2+b^2$.
Il existe alors un entier naturel $u$ tel que : $1+a^2+b^2 = p u$
On a de plus (inégalité triangulaire) : $0 < u < p$
Ainsi, on a : $pu=1^2+a^2 +b^2 + 0^2$
Notons alors $K$ le plus petit entier naturel non nul tel que $pK$ s'écrive comme la somme de quatre carrés d'entiers. (Toute partie non vide de $\mathbb{N}-\{ 0\}$ admet un plus petit élément.)
Supposons $K > 1$ (dans le but de montrer par l'absurde que $K$ est égal à $1$)
On a alors :
$p K = x_1^2 + x_2^2 + x_3^3 + x_4^2$ (avec $x_i$ entiers naturels)
Par ailleurs, pour tout $i$ dans $\{1,2,3,4 \}$, il existe $y_i$ entier compris (au sens large) entre $\dfrac{-K+1}{2}$ et $\dfrac{K}{2}$ tel que : $x_i \equiv y_i [K]$
On a alors :
$0 \equiv x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 \equiv y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 [K]$
Ainsi $ y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2$ est multiple de $K$ : $ y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 = K r$ avec $r$ entier
On montre ensuite que (inégalité triangulaire) que $0 \le r < K$
D'après l'identité d'Euler, puisque $pK$ et $rK$ sont sommes de quatre carrés d'entiers, alors leur produit $(pK) (rK)$ est aussi somme de quatre carrés d'entiers :
$pK rK = K^2 pr = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 +z_4^2$ ($z_i$ entiers naturels)
Il va de soi que $\sum_{i=1}^4 z_i^2$ est multiple de $K^2$.
Mais c'est ici que je loupe quelque chose : un argument simple permettrait d'affirmer que $K^2$ divise chacun des $z_i^2$
Quelqu'un aurait-il une idée ? (vous m'excuserez si l'argument est d'une simplicité enfantine ... mais je ne l'ai pas vu ; comment passer du fait d'être diviseur de la somme à être diviseur de chacun des termes.)
Quelqu'un aurait-il une idée ? (vous m'excuserez si l'argument est d'une simplicité enfantine ... mais je ne l'ai pas vu ; comment passer du fait d'être diviseur de la somme à être diviseur de chacun des termes.)
La fin de la preuve du lemme 3 n'est, après cela plus, un problème. On contredit la minimalité de $K$.
On conclut alors la preuve.
On a le résultat pour $2$ donc pour toute puissance de $2$ (lemme 1).
On peut alors finir par une récurrence.
On conclut alors la preuve.
On a le résultat pour $2$ donc pour toute puissance de $2$ (lemme 1).
On peut alors finir par une récurrence.
Réponses
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Je sais que je ne réponds pas à la question, mais, pour info : Les quaternions de Hurwitz donne un cadre qui permet une démonstration un peu plus simple.Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Bonjour,l'application qui à $i$ associe $i^2$ (définie et à valeurs dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$) est injective
Hum hum, tu es sûr ?
-
Bonjour GabuZoMeu et Médiat.Merci de ton retour.Alors non je me trompe lorsque j'affirme : l'application qui à $i$ associe $i^$ (définie et à valeurs dans $\mathbb{Z}/\mathbb{pZ}$) est injective.
Mais je n'avais en fait pas besoin d'en dire autant pour avancer dans la preuve.
L'idée est de se donner $i, j$ dans $\{0, \ldots , \dfrac{p-1}{2} \}$.
Si $i^2 \equiv j^2 [p]$, alors $(i-j)(i+j) \equiv 0 [p]$ d'où $(i-j)(i+j)$ est multiple de $p$ avec $0 < i+j < p$ et $p$ premier
Donc $i-j$ est multiple de $p$, et appartient à $\{- \frac{p-1}{2} , ... , \frac{p-1}{2} \}$. Nécessairement $i=j$
La preuve du lemme 2 se fait alors avec le principe des tiroirs.Je me suis (très) mal exprimé mais je n'avais pas de souci pour cette étape.
C'est vraiment au niveau d'une étape de la preuve du lemme 3 que je passe à côté de quelque chose.On avait obtenu : $(rK)(pK) = K^2 pr = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^4$ ($z_i$ entiers naturels)
Et il semblerait que de là, on puisse en déduire que $K^2$ divise chacun des $z_i$.
Auriez-vous une idée ?Quant aux quaternions, je n'ai que trop peu d'expérience dans leur manipulation : il faudrait que je me renseigne. -
Tu as regardé la page wikipedia française, et tu as la réponse à ta question dans la page wikipedia en anglais :Les pages en anglais sont souvent bien meilleures que celles en français.
-
Merci GabuZoMeu.
Je ne savais pas que le contenu des pages en anglais était plus riche.
J'y jette un œil du coup. -
Effectivement l'argument est bel et bien présent.
Il suffit de remonter à l'expression des $z_i$ en fonction des $x_i$ et des $y_i$ et de s'intéresser aux congruences modulo $K$.
Merci encore.
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Bonjour!
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