Topologie quotient séparé
Bonjour
Soit $X$ un espace topologique, $\mathcal R$ un relation d'équivalence tq $\forall x,y \in X,\ x\mathcal Ry$ ssi pour tout espace topologique séparé $Y$ et $f: X \to Y$ continue, $f(x)=f(y)$.
On veut montrer que $X/\mathcal R$ muni de la topologie quotient est séparé.
Mon idée était de choisir deux classes différentes dans $X/\mathcal R$ et de choisir un représentant dans $X$. On peut facilement voir que ceux-ci sont séparés par $f$ dans $Y$ et que donc ils sont également séparés dans $X$. Le problème c'est pour revenir à $X/\mathcal R$ ! Rien ne peut garantir que les ouverts de $X$ sont ouverts dans $X/\mathcal R$ donc je bloque. Il faudrait montrer que la projection canonique est ouverte mais encore une fois je vois mal comment le montrer ici.
Merci d'avance.
Soit $X$ un espace topologique, $\mathcal R$ un relation d'équivalence tq $\forall x,y \in X,\ x\mathcal Ry$ ssi pour tout espace topologique séparé $Y$ et $f: X \to Y$ continue, $f(x)=f(y)$.
On veut montrer que $X/\mathcal R$ muni de la topologie quotient est séparé.
Mon idée était de choisir deux classes différentes dans $X/\mathcal R$ et de choisir un représentant dans $X$. On peut facilement voir que ceux-ci sont séparés par $f$ dans $Y$ et que donc ils sont également séparés dans $X$. Le problème c'est pour revenir à $X/\mathcal R$ ! Rien ne peut garantir que les ouverts de $X$ sont ouverts dans $X/\mathcal R$ donc je bloque. Il faudrait montrer que la projection canonique est ouverte mais encore une fois je vois mal comment le montrer ici.
Merci d'avance.
Réponses
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BonjourQuel lien y a-t-il entre Y, espace topologique séparé, et f ? Veux-tu préciser ?Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Désolé j'ai oublié de l'écrire, f va de X dans Y et Y est séparé
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Bonjour Diameyy.De quelle topologie est muni $\frac X{ \mathcal R}$ ?Je pose la question car tu écris "Rien ne peut garantir que les ouverts de $X$ sont ouverts dans $X/\mathcal R$" alors qu'il est justement garanti que non puisque les ouverts de $X$ ne sont pas des parties de $\frac X {\mathcal R}$.Cordialement.
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Diameyy, ta façon de faire fonctionne. Les ouverts que tu obtiens dans $X$ sont des ouverts saturés et donc leur image par la projection canonique est ouverte.
Je développe pour être clair : si $cl(x)\neq cl(y)$ alors il existe un espace séparé $Y$ et une fonction continue $f:X\to Y$ telle que $f(x)\neq f(y)$. Il existe donc deux ouverts $U,V$ de $Y$ qui séparent $f(x)$ et $f(y)$. Les ouverts $f^{-1}(U)$ et $f^{-1}(V)$ séparent $x$ et $y$.
Or en notant $\pi:X\to X/\mathcal R$ la projection canonique, on vérifie facilement que $f^{-1}(U)=\pi^{-1}(\pi(f^{-1}(U)))$ et donc $\pi(f^{-1}(U))$ est ouvert (idem pour $V$). En effet si $u\in \pi^{-1}(\pi(f^{-1}(U)))$ alors il existe $x'\in f^{-1}(U)$ tel que $\pi(u)=\pi(x')$ et donc $u\mathcal Rx'$ et donc $f(u)=f(x')$ et donc $u\in f^{-1}(U)$. Ce qui prouve que $\pi^{-1}(\pi(f^{-1}(U)))\subset f^{-1}(U)$ (l'inclusion inverse étant triviale).
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Il faudrait que tu postes ton exo, je ne pense pas que c'est le même que celui de Diameyy (existence du "séparé universel").
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Bonjour!
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