Un problème de l'APMEP

Jean-Louis Ayme
Jean-Louis Ayme
Modifié (November 2022) dans Géométrie
Bonjour,

1. 1, 2         deux cercles sécants

2. A, B        les deux points d'intersection de 1 et 2

3. Ta           la tangente à 1 en A

4. C             le second point d'intersection de Ta avec 

5. T'a          la tangente à 2 en A

6. D             le point d'intersection de T'a avec 1

7. M            le second point d'intersection de (CD) avec 1.

 Question    (MB) passe par le milieu de [AC].

Merci pour votre aide pour la figure...
Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • pappus
    pappus
    Modifié (November 2022)
    Bonjour à tous
    Il existe une similitude directe $s$ de centre $B$ envoyant le cercle $(1)$ sur le cercle $(2)$.
    Si $U$ est un point quelconque du cercle $(1)$, le point $V=s(U)$ est le point du cercle $(2)$ tel que les points $A$, $U$, $V$ soient alignés.
    En particulier $s(D)=A$ et $s(A)=C$
    Soit $C'$ le milieu de $AC$ et $D'$ celui de $AD$.
    Comme une similitude est affine, elle conserve les milieux et $s(D')=C'$
    Soit $M=BC'\cap CD$ et $N=BD'\cap CD$.
    D'après le théorème de la droite des milieux, $C'D'\parallel MN$
    Il existe donc une homothétie $h$ de centre $B$ envoyant $C'D'$ sur $MN$.
    Enfin les similitudes directes de centre $B$ forment un groupe commutatif:
    $s(N)=s(h(D'))=h(s(D'))=h(C')=M$
    Par suite, on a l'égalité suivante entre angles orientés:
    $$(MN,MB)=(AD,AB)=(MD,MB)$$
    Et les points $A$, $B$, $D$, $M$ sont cocycliques.
    On montrerait de même que les points $A$, $B$, $C$, $N$ sont cocycliques.
    Amicalement
    pappus

  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour pappus et à tous,

    merci pour ta preuve...
    Une synthétique plus basique est possible (en quatre lignes)...Any ideas?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (November 2022)
    Bonjour
    Je propose cette démonstration différente: On désigne par $J$  le second point d'intersection de $(MB)$  avec le cercle (2).
    On  a $(AM) // (JC)$  d'après le théorème de Reim. (Je pense plutôt qu'il s'agit plutôt d'un corollaire  )
    Maintenant on démontre que $(MC) // (AJ)$  avec l'aide du théorème de l'angle l'inscrit.  Pour cela  on l'applique 2 fois consécutivement:
    On montre d'abord que l'angle de sommet $A$  (voir figure)    est   égal  à  l'angle  de sommet $B$  (indiqué de même sur la figure),   puis on montre que l'angle de sommet $B$ est  égal à celui de sommet $D$.  
    Ainsi $AJCM$  est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu et cela répond à la question.   

     
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Modifié (November 2022)
    Bonjour
    Merci pour cette preuve qui coïncide avec la mienne...
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol12.html
    puis
    A propos de deux cercles sécants p. 131-133
    Sincèrement
    Jean-Louis
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