Construction de coniques 1

Belle idée, mais il me semble qu'il faut l'adapter : les ellipses obtenues ont une demi-longueur du grand axe deux fois trop petite et ne sont pas centrées en $O$.

Bonjour, pappus,
si on a le droit de dépasser le programme de Mathélém, j'entrevois une méthode : à tout point $M$ du cercle, on associe la conique passant par $M,P,Q$ et tangente au cercle en le point $M'$ diamétralement opposé à $M$ ; cette conique recoupe le cercle en un point $f(M)$ et $f$ devrait être une homographie. Cela étant fait, on sait construire les points fixes de cette homographie et les coniques correspondantes devraient être des ellipses (pour des raisons de convexité).

À voir cet après-midi...

bonne journée, j__j

Eh oui, c'était tout bête    Merci, pappus !

Bonsoir,
GeoGebra gère très mal cette construction lorsque $O$ est proche de la droite $(PQ)$ : j'ai placé à la main de tels points (voir figure ci-dessous) et le logiciel donne deux ellipses qui ne répondent plus au problème (j'ai utilisé l'outil conique par foyers et un point). Y a -t-il une autre construction ? À la règle et au compas par exemple cela devrait mieux fonctionner.

 

Ludwig : ma version de Géogebra donne des résultats normaux lorsque la distance de $O$ à $(PQ)$ est petite devant le rayon du cercle ; les ellipses sont très plates, mais c'est la forme attendue.

Bonjour Pappus
On part des deux ellipses de cercle principal $\left( O\right) $,  $\Gamma $ de foyers $P$ et $P^{\prime }$ et $\Gamma ^{\prime }$ de foyers $Q$ et $Q^{\prime }$.
Les polaires de tout point $M$ du plan par rapport aux coniques du faisceau engendré par $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ passent toutes par un même point $f\left( M\right) $ et, si $O,M,M^{\prime }$ sont alignés, il en va de même de $O,f\left( M\right) ,f\left( M^{\prime }\right) $. 

$OM\rightarrow Of\left( M\right) $ est une involution du faisceau de droites passant par $O$. Les droites fixes de cette involution sont les axes focaux des coniques cherchées.
C'est si pénible à mettre en œuvre qu'il doit y avoir plus simple et il est bien plus reposant d'utiliser un logiciel qui donne les points de $\Gamma \cap \Gamma ^{\prime }$.
Amicalement. Poulbot

Via une perspective de pôle $O$, l'involution de mon message précédent induit une involution de point central $I$ qui échange $A$ et $A'$ sur la droite rouge.
On sait alors construire ses points fixes $\Omega_1$ et $\Omega_2$.

Je fixe $Q$ et je contrains $P$ à se déplacer sur un cercle centré sur $O$. Alors le lieu du point d'intersection de la droite $(PQ)$ avec une droite des foyers est un cercle. On obtient donc deux cercles lieux, en orange sur la figure. Ces deux cercles sont centrés sur la droite $(QQ')$ et leurs intersections avec cette droite s'obtiennent lorsque $P$ est aligné avec $O$ et $Q$ : la position de chacune de ces intersections sur cette droite se calcule en fonction de $p=OP$ et $q=OQ$.

Cette propriété permet une construction très simple à la règle et au compas : il suffit de prendre les bonnes intersections de $(PQ)$ avec ces cercles pour avoir les droites des foyers.



Et ces deux cercles sont inverses l'un de l'autre par rapport à $\Gamma$.

Dénaturer, non, mais il y a déjà eu plusieurs requêtes dans la section géométrie demandant des figures avec des étiquettes suffisamment grandes pour les plus presbytes d'entre nous.

Certainement, mais je ne sais pas faire rapidement.

Pour ma construction au compas je note $R$ le rayon du cercle $\Gamma$, $d$ la distance entre $Q$ et le centre du cercle de diamètre $AB$ (voir figure), $r$ le rayon de ce cercle. $d'$ la distance entre $Q$ et le centre du cercle de diamètre $CD$ et $r'$ le rayon de ce cercle.

Le théorème de Thalès nous donne :  $pd=qr$ et $pd'=qr'$.

On a aussi $QA.QC=QB.QD=R^2-q^2$.

Je n'ai pas le temps de terminer les calculs qui permettront de tracer les cercles oranges.
Un bon dimanche, Ludwig

Bonjour,
Voici une construction simplifiée qui ne fait pas intervenir les formules ci-dessus, trop compliquées. Je note $p=OP$, $q=OQ$ et $R$ le rayon du cercle $\Gamma$. La construction nécessite seulement de calculer le nombre : $$a=\frac{(p-R)(q-R)}{p+q}.$$ Le plan est muni d'un repère orthonormé centré en $O$, le point $Q$ est sur $(Ox)$.

Première étape : on place $H(-R,0)$, $A(a,0)$ et $B(a+R,0)$. Les points $M$ et $N$ sont les points d'intersection du cercle de centre $A$ passant par $H$ avec la perpendiculaire à $(OA)$ passant par $B$. Le cercle de diamètre $[MN]$ coupe $(OA)$ en $E$ et $F$.




Deuxième étape : on place $K(0,p)$ et $K'(0,-p)$ puis on construit $R=(KQ)\cap(EN)$, $S= (K'Q)\cap(EM)$, $T=(K'Q)\cap(FN)$ et $U=(KQ)\cap(FM)$. On trace les cercles de diamètre $[RS]$ et $[TU]$ :



Dernière étape : les droites $(PQ)$ et $(P'Q)$ coupent le cercle de diamètre $[TU]$ en quatre points dont deux ($\alpha$ et $\alpha'$) sont diamétralement opposés. Alors les droites $(O\alpha)$ et $O\alpha')$ déterminent les grands axes des ellipses recherchées :

Bonsoir,

Dans ma construction il faut prendre deux points diamétralement opposés ($\alpha$ et $\alpha'$) parmi quatre sur un cercle. On peut le faire de visu, mais cette méthode ne donnera pas toujours les bons points quand on bougera $P$ ou $Q$.

Une autre technique consiste à utiliser des listes : si $L_1=${$x_1,x_2,x_3,x_4$} est la liste de ces quatre points on prend son intersection avec la liste des points symétriques par rapport au centre $O'$ du cercle : $L_2=$Inter($L_1$, symétrie($L_1$,O')). Puis on récupère les deux éléments de $L_2$. Mais cela n'est pas très géométrique.

Cela dit on peut s'en tirer sans ces points diamétralement opposés : on répète la construction en échangeant les rôles de $P$ et $Q$. C'est à-dire qu'on construit deux autres cercles (en orange sur la figure), lieux des intersections de $(PQ)$ avec les droites des foyers des ellipses lorsque $Q$ se déplace sur un cercle centré sur $O$ ($P$ fixe). En bleu les lieux des intersections de $(PQ)$ avec les droites des foyers des ellipses lorsque $P$ se déplace sur un cercle centré sur $O$ ($Q$ fixe). 

Il suffit alors de prendre les intersections d'un cercle bleu avec un cercle orange. Les droites passant par $O$ et un de ces deux points nous donnent les grands axes des ellipses recherchées.

Ci-joints une figure et mon fichier GeoGebra (pdf à renommer en ggb). Cordialement, Ludwig.



EDIT : on peut même obtenir les ellipses sans tracer les cercles bleus et oranges : une droite des foyers est parallèle à la ligne des centres d'un cercle bleu et d'un cercle orange concourants. Ou encore : les milieux des centres de deux tels cercles sont sur une droite des foyers.