Équation diophantienne cubique à quatre variables

Je reprends avec l'équation (3): $$a^2-ab+b^2=3(c^2-cd+d^2)$$
En multipliant par 4 à gauche et à droite $$4a^2-4ab+4b^2=3(4c^2-4cd+4d^2)$$
donc :$$(2a-b)^2+3b^2=(3d)^2+3(2c-d)^2$$
puis on utilise le paramétrage suivant : \begin{align}
2a-b&=(3k^2+1)t+(1-3k^2)y & (1)\\
b&=2ky & (2)\\
3d&=(1-3k^2)t+(1+3k^2)y & (3)\\
2c-d&=2kt & (4)
\end{align} En additionnant la troisième et la quatrième  équation , on obtient $$2c+2d=(1+2k-3k^2)t+(1+3k^2)y \quad (5)$$
d'autre part les équations (1) et (2) donnent : $$2a+2b=(3k^2+1)t+(1+6k-3k^2)y \quad  (6)$$
et comme $$a+b=\frac{c+d}{3}$$ donc  $$2a+2b=\frac{2c+2d}{3}$$ donc :
$$3[(3k^2+1)t+(1+6k-3k^2)y]=(1+2k-3k^2)t+(1+3k^2)y \quad  (7)$$
après simplification de cette équation, on obtient :  $$(12k^2-2k+2)t=(12k^2-18k-2)y \quad (8)$$
En simplifiant par 2 : $$(6k^2-k+1)t=(6k^2-9k-1)y \quad (9)$$
En choisissant :  $$t=6k^2-9k-1\quad\text{et}\quad y=6k^2-k+1$$
Par exemple :   $k=1\quad$  $y=6 \quad $  $t=-4 \quad $  $b=12\quad$  $2c-d=-8 \quad$  $a=-8 \quad$  $d=\frac{32}{3}\quad$  $c=\frac{4}{3}  $

ce qui donne la formule   $$(-8)^3+12^3=(4/3)^3+(32/3)^3$$

en simplifiant par 4 $$(-2)^3+3^2=(1/3)^3+(8/3)^3$$