Stone-Cech
Bonjour
J'ai recherché le résultat suivant sans y parvenir et cela doit être simple puisque le cours ne fournit pas de démonstration.
J'ai recherché le résultat suivant sans y parvenir et cela doit être simple puisque le cours ne fournit pas de démonstration.
Merci de m'apporter votre aide.
Je suppose
que Y est un sous-ensemble de X tel que toute fonction continue et bornée de Y
dans R se prolonge en une application continue bornée de X dans R alors le
compactifié de Stone-Cech de Y = adhérence de Y dans le compactifié de Stone-Cech de X.
Réponses
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Un petit effort, c'est quoi $X$ ?
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Bonjour Poirot,
X est un espace complètement régulier. -
Je suis désolé mais j'avais oublié de préciser dans ma requête que X et un espace complètement régulier.
C'est pourtant avec cette hypothèse que j'avais fait la recherche de la solution. -
Etant donné un espace topologique $A$, le compactifié de Stone-Cech de $A$ est homéomorphe à l'adhérence de l'image de $j_A$ dans $[0,1]^{I_A}$ (muni de la topologie produit) où $I_A:= C^0(A,[0,1])$ et $j_A(x):= f\mapsto f (x)$. De plus la restriction $\rho: f\in C^0(X,[0,1]) \mapsto f|_Y \in C^0(Y,[0,1])$ est, dans le cadre de l'exo, surjective.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
D'autre part que peut-on dire de $J_X$ défini ci-dessus lorsque $X$ est complètement régulier?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonjour Foys,
J'ai bien écrit tout ceci avant déposer ma requête mais je ne vois toujours pas comment répondre à la question posée. -
JX est un homéomorphisme si X est complètement régulier.
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Homéomorphisme *sur son image* (qui n'est le Stone-Cech tout entier que lorsque $X$ est lui-même compact).Soient $A,B,C$ trois ensembles et $f:A\to B$ une application surjective. Que peut-on dire de l'application induite $u \in C^B \mapsto u \circ f \in C^A$ ?Je pense que tu as tous les ingrédients en main pour conclure (et faire faire intégralement ses exos par les aidants est contraire à l'esprit du présent site...).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Avec un diagramme peut-être. En reprenant en partie les notations de Foys tu as le diagramme suivant : $$\xymatrix{ Y \ar[r]^{J_Y} \ar@{^{(}->}[d]^i & [0,1]^{I_Y} \ar[d]^{\phi} \\ X \ar[r]^{J_X} & [0,1]^{I_X} }$$ où $i$ est l'injection de $Y$ dans $X$, $J_X(x)=[f\in I_X\mapsto f(x)]$ pour tout $x\in X$, et $J_Y(y)=[f\in I_Y\mapsto f(y)]$ pour tout $y\in Y$. De plus $\phi$ est définie par $\phi(F):=[f\in I_X\mapsto F(f\mid_Y)]$ pour tout $F\in [0,1]^{I_Y}$.1) Montre que $\phi$ ainsi définie rend le diagramme commutatif, c'est-à-dire : $J_X\circ i=\phi\circ J_Y$ (en fait $\phi$ est l'unique application continue, donnée par la propriété universelle appliquée à $Y$, qui rend le diagramme commutatif).2) Montre que $\phi([0,1]^{I_Y})=\overline{J_X(Y)}$ (ici pas besoin de l'hypothèse de prolongement de ton énoncé, il faut juste se rappeler que $[0,1]^{I_Y}=\overline{J_Y(Y)}$).
Correction : Il faut montrer que $\phi(\overline{J_Y(Y)})=\overline{J_X(Y)}$3) Montre que $\phi$ est injective (ici il faut utiliser l'hypothèse).4) En déduire que $\phi$ est un homéomorphisme sur son image.
Correction : En déduire que la restriction de $\phi$ à $\overline{J_Y(Y)}$ est un homéomorphisme de $\overline{J_Y(Y)}$ dans $\overline{J_X(Y)}$
Edit : suite aux remarques ci-dessous je me rends compte que j'ai par erreur supposé que le compactifié de S-C était $[0,1]^{I_Y}$. En fait c'est comme a dit Foys $\overline{J_Y(Y)}$. Mais ça ne change pas beaucoup la démarche. Je corrige en gras ci-dessus. -
Bonjour,faut-il rajouter dans la preuve de raoul un point 5) montrer que $\overline{j_X(Y)} \equiv \overline{Y}^{X^*}$ ?où $\overline{B}^A$ est l'adhérence de $B$ dans $A$ et $A^*$ est le compactifié de Stone-Cech de $A$Une question en plus est ce que pour tout $K$ compact et pour tout $f : Y \mapsto K$ continue on a unicité d'un prolongement continu $\overline{f} : \overline{Y}^{X^*} \mapsto K$ ?
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Bonjour Raoul
D'abord merci pour la contribution de Foys et pour ton ample explication sans laquelle j'aurais été perdu. J'apprécie beaucoup tes aides qui m'ont à plusieurs reprises permis de débloquer des situations et de pouvoir avancer.
Ce que tu m'as proposé est particulièrement clair même si cela n'exclut pas une réflexion de ma part.
Il m'a fallu cependant utiliser pour conclure un résultat qui dit que si Y est un sous-ensemble du compactifié de X et si X est inclus dans Y inclus dans le compactifié de X alors le compactifié de Y est égal au compactifié de X ce qui répond au point 5 soulevé par Barjovrille.
Au passage quels sont les logiciels qui permettent de dessiner des carrés comme celui de ton explication ? jJ'ai essayé avec WORD mais ce n'est pas très concluant. -
@Barjovrille, @Blanc j'ai lu vos messages et je pense qu'on ne dispose pas de la même définition du (à homéomorphisme près) compactifié de Stone-Cech. En ce qui me concerne j'ai utilisé la définition catégorique que l'on trouve ICI. Le compactifié y étant défini par la propriété universelle. Raison pour laquelle je ne comprends pas bien vos questions j'avoue
Par exemple pour moi $(J_Y,[0,1]^{I_Y})$ (edit après les messages ci-dessous : c'est $(J_Y,\overline{J_Y(Y)})$ dont il s'agit) est le compactifié de Stone-Cech de $Y$ et le diagramme ci-dessus montre qu'il est homéomorphe à $(J_X\circ i, \overline{J_X(Y)})$. Donc $(J_X\circ i, \overline{J_X(Y)})$ est également le compactifié de Stone-Cech de $Y$ et vu que $\overline{J_X(Y)}$ est l'adhérence de $Y$ dans le compactifié de $X$ c'est bon. Mais si vous avez une autre définition il faudra peut-être ajouter quelque chose en effet...
D'ailleurs en ce qui concerne ta question Barjovrille elle découle directement de la propriété universelle du compactifié. Bref on doit avoir des définitions différentes...
Blanc pour dessiner les carrés j'utilise simplement LaTeX. Sur le web tu trouveras des exemples. Voici un site qui en parle.
Pour dessiner un carré simple sur le forum il suffit d'insérer le code suivant :<br>$\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] \ar[rd] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }$et tu obtiens ça :$\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] \ar[rd] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }$\ar[r] signifie arrow right (flèche droite),
\ar[d] signifie arrow down (flèche en bas),
\ar[rd] signifie "flèche diagonale bas" etc. bref tu vois la logique je pense.
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Ah, je croyais que dans ta démonstration tu avais pris la définition de Foys qui dit que le compactifié de Stone-Cech de $Y$, est homéomorphe à l'adhérence de l'image de $J_Y$ dans $[0,1]^{I_Y}$. Donc on peut dire que $\overline{J_Y(Y)}$ est le compactifié de Stone-Cech de $Y$ après tu a mis il ne faut pas oublier $[0,1]^{I_Y}=\overline{J_Y(Y)}$ (je n'ai pas compris cette égalité mais à part ça jusqu'ici j'ai compris). Le point que je n'ai pas trouvé évident c'est justement quand tu dis dans ton dernier message "vu que $\overline{J_X(Y)}$ est l'adhérence de $Y$ dans le compactifié de $X$". A part ces deux points tactiques qui m'échappe je suis d'accord avec la stratégie globale.Sinon moi j'ai posé ma question parce que pour la démonstration je suis parti de la première définition de Wikipedia sans regarder le détail de la construction avec le segment $[0,1]$. Donc le compactifié de $Y$ on l'appelle $Y^*$ et on n'a pas une expression plus explicite on sait juste qu'il est solution du problème universel en question.Avec ça montrer l'énoncé de Blanc ça revient a montrer que pour tout compact $K$, il existe une bijection $Hom(Y^*,K) \mapsto Hom(\overline{Y}^{X^*},K)$ avec les bons diagramme qui commute (ici c'est juste que les représentants sont uniques à "isomorphisme" près).Donc si on pose $(\phi,Y^*)$ le compactifié de $Y$ où $\phi : Y \mapsto Y^*$. Alors, soit $K$ compact, soit $f : \overline{Y}^{X^*} \mapsto K$, si on note $g$ la restriction de $f$ à $Y$. Par définition du compactifié de Stone-Cech comme solution universelle on a :$ \xymatrix{ Y \ar[d]_{\phi} \ar[r]^{g} & K \\ Y^* \ar[ru]_{\psi}}$ où $\psi$ est l'unique fonction qui fait commuter le diagramme.Maintenant si on a unicité d'un prolongement continue (qu'on pourrait aussi expliciter sous forme de diagramme qui commute) pour toute fonction $h : Y \mapsto K$ qu'on note $\overline{h} : \overline{Y}^{X^*} \mapsto K$Alors la bijection recherché plus haut est :$F( \psi)= \overline{\psi \circ \phi}= \overline{g}=f$ et on a bien $F : Hom(Y^*,K) \mapsto Hom(\overline{Y}^{X^*},K)$. Après il reste à vérifier la commutation de diagramme pour la transformation naturelle, mais je pense que ce n'est pas un problème.
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@Barjovrille tu m'as fait remarquer que j'ai par erreur supposé que le compactifié de S-C était $[0,1]^{I_Y}$. En fait c'est bien comme a dit Foys $\overline{J_Y(Y)}$. J'ai corrigé.
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Je pense que ça marche aussi comme tu fais mais il faut dire où tu utilises l'hypothèse donnée par Blanc : toute fonction continue et bornée de Y dans R se prolonge en une application continue bornée de X dans R.
Comme ça à la va vite, je pense que tu peux te servir de cette hypothèse pour justifier l'existence de ton prolongement $\overline{h} : \overline{Y}^{X^*} \mapsto K$ mais il faut utiliser le fait que tout compact $K$ se plonge dans un cube $[0,1]^I$ pour un certain ensemble $I$ dépendant de $K$.
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Oui c'était ça mon problème, je vois que ce n'est pas si simple que ça, merci pour ta réponse @raoul.S .
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Bonjour
Je suis toujours arrêté par le point 5 soulevé par Barjovrille, la démarche que Raoul m'a demandé de suivre n'ayant posé aucun problème.
Merci donc de m'aider dans la résolution du point 5 car l'explication de Barjovrille n'est pas claire.
Le point 5 étant :
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Bonjour Raoul
Excuse moi de revenir à la charge mais je suis arrivé à :
mais je ne vois nulle part dans ta correction la démonstration du point 5 ou du moins la démarche qui permet d'y arriver ou alors c'est que je n'ai rien compris.
Merci de prendre la patience de me l'expliquer.
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A connaître: soient $X,Y$ des espaces topologiques et $f:X\to Y$ une bijection continue.-On suppose que $X$ est quasi-compact (de tout recouvrement ouvert de $X$ on peut extraire un sous-recouvrement fini. On dit que $X$ est compact s'il est de plus séparé) et on suppose aussi que $Y$ est séparé. Alors $f$ est un homéomorphisme.Preuve: Il suffit de montrer que $f$ est une application fermée (car $f^{-1}$ vérifie un critère connu de continuité avec les images réciproques de fermés). Soit $F$ une partie fermée de $X$. Alors comme $X$ est quasi compact, $F$ l'est aussi (compléter un recouvement ouvert de $F$ avec $X \backslash F$). Donc $f(F)$ est quasi-compacte. Comme $Y$ est séparé, $f(F)$ est fermée.Noter que cela entraîne que $X$ et $Y$ sont compacts. On a donc le corollaire suivant: soient $A,B$ deux espaces topologiques avec $A$ quasi-compact et $B$ séparé et soit $g:A \to B$ injective et continue. Alors $g$ est un homéomorphisme sur son image compacte (et fermée). Il sufft d'appliquer le théorème précédent avec $Y:= g(A)$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Foys en fait je ne crois pas que c'est le point problématique pour Blanc. Il parle du point suivant.
@Blanc j'avoue ne pas comprendre la question comme déjà dit à Barjovrille. Je résume ça pourra peut-être éclaircir :
$(J_X, \overline{J_X(X)})$ est le compactifié de S-C de $X$ (à homéomorphisme près), $J_X$ est un homéomorphisme sur son image (un plongement quoi), donc $J_X(Y)$ peut être regardé comme l'inclusion de $Y$ dans le compactifié de S-C de $X$ qui est rappelons-le $(J_X, \overline{J_X(X)})$. Donc ce que tu notes $\overline{Y}^{X^{*}}$ est par définition $\overline{J_X(Y)}$, c'est-à-dire l'adhérence de $Y$ dans le compactifié de S-C de $X$. -
Dans ce qui suit $\hat H$ désigne le compactifié de Stone-Cech de l'espace topologique $H$. On a quatre applications continues $i:Y \to X$, $j_X: X \to \hat X$, $j_Y: Y \to \hat Y$ et enfin $\hat i: \hat Y \to \hat X$. $X$ étant complètement régulier, $j_X$ est un homéomorphisme sur son image. $Y$ est complètement régulier comme partie de $X$ (parmi les définitions équivalentes d'espace complètement régulier on trouve "homéomorphe à une partie d'un compact") donc également, $j_Y$ est un homéomorphisme sur son image. $i$ est l'inclusion canonique et est donc un homéomorphisme sur son image. Enfin, $\hat i$ est l'unique application continue telle que $\hat i \circ j_Y = j_X \circ i$ (propriété de base du Stone-Cech). Mais $\hat i$ est injective (c'est ce que mes messages au début du fil prouvaient). Donc par mon dernier message, $\hat i$ est un homéomorphisme sur son image compacte. Enfin, pour tout $H$, $j_H (H)$ est dense dans $\hat H$ et on conclut.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonsoir,
Je vous remercie tous les deux de prendre en main mon problème mais voici ma réflexion qui dénote sûrement une incompréhension profonde de la situation.
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Bonsoir,
En fait Barjovrille m'avait complètement noyé avec son explication.
Je viens de comprendre ce que je n'ai pas compris. il y adonc encore de l'espoir.
Merci beaucoup Raoul et Foys. -
Reprends depuis le début mais sans faire d'identification, et avec un énoncé formel propre à démontrer (ci-dessous en gras).0°) Un compactifié de Stone-Cech d'un espace $X$ n'est pas un espace topologique. C'est un couple $(P,q)$ où $P$ est un espace topologique compact et $q: X \to P$ est une application continue telle que pour tout autre couple $(V,w)$ où $V$ est un espace compact et $w:X \to V$ est une application continue, il existe une unique application continue $f:P \to V$ telle que $f \circ q = w$.1°) Ces définitions entraînent "l'unicité" du compactifié de Stone-Cech au sens suivant: pour tout espace topologique $X$ et tous $P_1,q_1,P_2,q_2$ tels que $(P_1,q_1)$ et $(P_2,q_2)$ sont des compactifiés de Stone-Cech de $X$, il existe un unique homéomorphisme $h:P_1 \to P_2$ tel que $h \circ q_1 = q_2$ (commencer par remarquer d'abord que $(\dagger)$ pour tout espace topologique $Y$ et toutes $f,g: P \to Y$ continues, si $f \circ q = g \circ q$ alors $f = g$ en utilisant la clause d'unicité).2°) Noter également la propriété suivante: pour tout espace $X$ et tout compactifié de Stone-Cech $(P,q)$ de $X$, l'image de $q$ est dense dans $P$. En effet notons $K$ l'adhérence de l'image de $q$ dans $P$. Soit $i: x\in K \mapsto x \in P$ l'injection canonique. Alors $q$ induit une fonction $q'$ continue de $X$ dans $p$ ($q$ est la "corestriction de $q$ à $K$"; comprenez: $i \circ q' = q$) donc il existe une fonction continue $f: P \to K$ telle que $f \circ q = q'$. En particulier $i \circ f \circ q = i \circ q' = q = id_P \circ q$ et donc par l'unicité $(\dagger)$, on a $i \circ f = id_P$ et donc $i$ est surjective, autrement dit $K=P$ d'où le résultat.3°) Les compactifiés de Stone-Cech existent: pour tout espace topologique $X$, le couple $(j_X, adh(j_X(X))^{[0,1]^{I_X}})$ construit dans mes messages plus haut est un compactifié de Stone-Cech de $X$.4°) On a déblayé le terrain pour énoncer l'énoncé (!!) voulu:Soient $X,Y$ deux espaces topologiques, $i: Y \to X$ une fonction continue qui est un homéomorphisme sur son image, $(P,q)$ un compactifié de Stone-Cech de $X$ et $K$ l'adhérence de l'image de $p \circ i$ dans $P$. Soit $p'$ la corestriction de $p$ à $K$. On suppose que $X$ est complètement régulier. On suppose que pour toute fonction continue $f: Y \to \R$, il existe une fonction continue $g: X \to \R$ telle que $g \circ i = f$. Montrer que $(K, p' \circ i)$ est un compactifié de Stone-Cech de $Y$.ingrédients:(i) pour tous espaces topologiques $A,B,C$ et toutes applications continues $f:A \to B$, $g:B\to C$, si $(B,f)$ est un compactifié de Stone-Cech de $A$ et si $g$ est un homéomorphisme alors $(C, g \circ f)$ est un compactifié de Stone-Cech de $A$.(ii) Pour tout espace régulier $F$ et tout compactifié de Stone-Cech $(G,h)$ de $F$, $h$ est un homéomorphisme sur son image(iii) la remarque (ii) précédente concerne $X$ mais aussi $Y$ puisqu'espace complètement régulier équivaut à "homéomorphe à un sous-ensemble d'un espace compact".(iv) Soit $(R,s)$ un compactifié de Stone-Cech de $Y$. Alors il existe une application continue unique $\hat i: R \to P$ telle que $p \circ i= \hat i \circ s$. Il se trouve que $\hat i$ est un homéomorphisme sur son image compacte. Ceci est un peu délicat mais a été explicité plus haut.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Bonsoir Raoul,
X est un space complètement régulier si pour toute partie fermée F de X et pour tout point x de X n'appartenant pas à F, il existe une application continue f de X dans [0,1] telle que f(x)=1 et f(y) =0 pour tout dans F.
Bonne soirée -
Ok alors si tu n'as pas réussi à démêler la preuve précédente tu peux essayer avec l'énoncé de Foys en gras ci-dessus (et les indications qu'il a données). C'est plus élégant je trouve comme résolution car on n'explicite pas le compactifié de S-C.
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Bonjour Roland
Tout est vraiment clair pour moi.
Bonne journée. -
Je voulais dire Raoul et je ne sais pourquoi j'ai mis à la place Roland. Bien entendu loin de moi l'idée de te considérer comme l'un des douze preux de Charlemagne!
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Certes
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Bonjour @Blanc, désolé si je t'ai embrouillé, je voulais voir si il y avait une autre démonstration possible, ce n'était pas un message pour te guider, c'était plus un message pour me guider moi. Si on ne connait pas un peu de théorie des catégories, mon début de démonstration comme je l'ai rédigé est dur à comprendre.
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Bonjour Barjovrille
Merci de cette attention.
Bonne journée.
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