Précompacité
J'ai une question sur la précompacité : dans un ouvrage
(Charvet) j'ai vu que la définition d'un espace métrique précompact
c'est que quelle que soit la valeur de r strictement positif on peut
trouver une famille finie de boules ouvertes de rayon r dont la réunion
fait tout l'espace.
Mais ailleurs sur internet, j'ai vu qu'en fait il s'agissait de boules fermées.
D'où ma question : quelle est la bonne définition ?
J'ai
une idée de la réponse, c'est que ce serait les deux mon général : dans
ce cas, même si c'est trivial, ça ne l'est pas pour moi, pourrais-je
avoir une petite démonstration que les deux sont équivalents ?
D'autre
part, j'ai lu quelque part (Charvet toujours) que si une partie d'un
espace métrique est précompacte alors son adhérence l'est aussi. À nouveau ça a l'air trivial, mais cela ne l'est pas pour moi : quelqu'un
aurait-il l'amabilité de me le démontrer ?
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Réponses
Sinon pour ta première question, les deux définitions sont bien équivalentes.
PS. un petit détail qui n'apporte rien ici : dans un espace métrique $(E,d)$, une boule fermée de centre $x$ et de rayon $r>0$ est par définition l'ensemble $B_f(x,r):=\{y\in E\mid d(x,y)\leqslant r\}$ et non pas l'adhérence de la boule ouverte $\overline{B(x,r)}$. En effet, on vérifie facilement que $\overline{B(x,r)}\subset B_f(x,r)$ mais il n'y a pas égalité en général.