Construction de coniques 1
Bonjour à tous
La construction de coniques, c'est une veine inépuisable.
Pour vous mettre en appétit, essayez de faire celles qui sont proposées dans le Lebossé-Hémery
En voici une qui me vient à l'esprit.
On se donne un cercle $\Gamma$ (jusqu'ici ça va !) dans le plan et dans son intérieur deux points $P$ et $Q$ (là encore ça va !).
Construire les ellipses (aïe, aïe, aïe, qu'est-ce que c'est que cette bestiole ?) de cercle principal $\Gamma$ passant par $P$ et $Q$.
Amicalement
pappus
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Réponses
si on a le droit de dépasser le programme de Mathélém, j'entrevois une méthode : à tout point $M$ du cercle, on associe la conique passant par $M,P,Q$ et tangente au cercle en le point $M'$ diamétralement opposé à $M$ ; cette conique recoupe le cercle en un point $f(M)$ et $f$ devrait être une homographie. Cela étant fait, on sait construire les points fixes de cette homographie et les coniques correspondantes devraient être des ellipses (pour des raisons de convexité).
À voir cet après-midi...
bonne journée, j__j
Il y a des typos dans ton message.
Ce sont les ellipses de cercle principal $\left( O\right) $, une ayant pour foyers $P$ et $P^{\prime }$ et l'autre $Q$ et $Q^{\prime }$ dont john_john a utilisé l'intersection.
La justification est immédiate : si $F$ et $F^{\prime }$ sont les foyers d'une ellipse de cercle principal $\left( O\right) $ et passant par $P$ et $Q$, on a
$FP+F^{\prime }P=FQ+F^{\prime }Q=2R$, soit encore $FP+FP^{\prime }=FQ+FQ^{\prime }=2R$ (because symétrie par rapport à $O$)
Bien cordialement
Poulbot
GeoGebra gère très mal cette construction lorsque $O$ est proche de la droite $(PQ)$ : j'ai placé à la main de tels points (voir figure ci-dessous) et le logiciel donne deux ellipses qui ne répondent plus au problème (j'ai utilisé l'outil conique par foyers et un point). Y a -t-il une autre construction ? À la règle et au compas par exemple cela devrait mieux fonctionner.
Pour obtenir les deux ellipses demandées j'ai procédé autrement sans aboutir : je suis parti de l'idée de Léon Claude Joseph. Il a construit une ellipse passant par $P$ et $Q$ et dont on connait le cercle principal. Avec une translation et une homothétie j'ai transformé ce cercle pour obtenir celui de départ, et j'ai fait subir la même transformation aux points $P$ et $Q$. Ensuite j'ai cherché à "inverser" cela : on se donne deux points dans le cercle initial et on cherche à construire les points $P$ et $Q$ correspondants. Je n'ai réussi qu'à construire une ellipse passant par un des points, ellipse qu'il faut déplacer à l'aide d'un paramètre pour qu'elle passe aussi par l'autre point donné.
En fait je m'aperçois que j'ai construit une ellipse passant par un point et connaissant la tangente en ce point, ce qui correspond au problème de l'autre fil.
Soit $O$ le centre de $\Gamma$ et $P',Q'$ les symétriques respectifs de $P,Q$ par rapport à $O$.
Le faisceau des coniques passant par $P,Q,P',Q'$ induit une involution sur la droite de l'infini dont on cherche les points fixes.
On part des deux ellipses de cercle principal $\left( O\right) $, $\Gamma $ de foyers $P$ et $P^{\prime }$ et $\Gamma ^{\prime }$ de foyers $Q$ et $Q^{\prime }$.
Les polaires de tout point $M$ du plan par rapport aux coniques du faisceau engendré par $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ passent toutes par un même point $f\left( M\right) $ et, si $O,M,M^{\prime }$ sont alignés, il en va de même de $O,f\left( M\right) ,f\left( M^{\prime }\right) $.
$OM\rightarrow Of\left( M\right) $ est une involution du faisceau de droites passant par $O$. Les droites fixes de cette involution sont les axes focaux des coniques cherchées.
C'est si pénible à mettre en œuvre qu'il doit y avoir plus simple et il est bien plus reposant d'utiliser un logiciel qui donne les points de $\Gamma \cap \Gamma ^{\prime }$.
Amicalement. Poulbot
On sait alors construire ses points fixes $\Omega_1$ et $\Omega_2$.
On peut maintenant être sûr que @pappus ne va pas pouvoir les déchiffrer, si tant est qu'il veuille le faire.
Cette propriété permet une construction très simple à la règle et au compas : il suffit de prendre les bonnes intersections de $(PQ)$ avec ces cercles pour avoir les droites des foyers.
Et ces deux cercles sont inverses l'un de l'autre par rapport à $\Gamma$.
Sachant que le fichier stocké sur le forum n'est pas modifié, et donc chacun peut toujours zoomer pour retrouver les détails qui l'intéressent.
Considères-tu que la réduction de ta figure ci-dessus est excessive et dénature ton message ?
AD
Dans Géogébra, menu Options - Taille des caractères.
Cordialement,
Rescassol
Le théorème de Thalès nous donne : $pd=qr$ et $pd'=qr'$.
On a aussi $QA.QC=QB.QD=R^2-q^2$.
Je n'ai pas le temps de terminer les calculs qui permettront de tracer les cercles oranges.
Un bon dimanche, Ludwig
Voici une construction simplifiée qui ne fait pas intervenir les formules ci-dessus, trop compliquées. Je note $p=OP$, $q=OQ$ et $R$ le rayon du cercle $\Gamma$. La construction nécessite seulement de calculer le nombre : $$a=\frac{(p-R)(q-R)}{p+q}.$$ Le plan est muni d'un repère orthonormé centré en $O$, le point $Q$ est sur $(Ox)$.
Première étape : on place $H(-R,0)$, $A(a,0)$ et $B(a+R,0)$. Les points $M$ et $N$ sont les points d'intersection du cercle de centre $A$ passant par $H$ avec la perpendiculaire à $(OA)$ passant par $B$. Le cercle de diamètre $[MN]$ coupe $(OA)$ en $E$ et $F$.
Deuxième étape : on place $K(0,p)$ et $K'(0,-p)$ puis on construit $R=(KQ)\cap(EN)$, $S= (K'Q)\cap(EM)$, $T=(K'Q)\cap(FN)$ et $U=(KQ)\cap(FM)$. On trace les cercles de diamètre $[RS]$ et $[TU]$ :
Dernière étape : les droites $(PQ)$ et $(P'Q)$ coupent le cercle de diamètre $[TU]$ en quatre points dont deux ($\alpha$ et $\alpha'$) sont diamétralement opposés. Alors les droites $(O\alpha)$ et $O\alpha')$ déterminent les grands axes des ellipses recherchées :
Dans ma construction il faut prendre deux points diamétralement opposés ($\alpha$ et $\alpha'$) parmi quatre sur un cercle. On peut le faire de visu, mais cette méthode ne donnera pas toujours les bons points quand on bougera $P$ ou $Q$.
Une autre technique consiste à utiliser des listes : si $L_1=${$x_1,x_2,x_3,x_4$} est la liste de ces quatre points on prend son intersection avec la liste des points symétriques par rapport au centre $O'$ du cercle : $L_2=$Inter($L_1$, symétrie($L_1$,O')). Puis on récupère les deux éléments de $L_2$. Mais cela n'est pas très géométrique.
Cela dit on peut s'en tirer sans ces points diamétralement opposés : on répète la construction en échangeant les rôles de $P$ et $Q$. C'est à-dire qu'on construit deux autres cercles (en orange sur la figure), lieux des intersections de $(PQ)$ avec les droites des foyers des ellipses lorsque $Q$ se déplace sur un cercle centré sur $O$ ($P$ fixe). En bleu les lieux des intersections de $(PQ)$ avec les droites des foyers des ellipses lorsque $P$ se déplace sur un cercle centré sur $O$ ($Q$ fixe).
Il suffit alors de prendre les intersections d'un cercle bleu avec un cercle orange. Les droites passant par $O$ et un de ces deux points nous donnent les grands axes des ellipses recherchées.
Ci-joints une figure et mon fichier GeoGebra (pdf à renommer en ggb). Cordialement, Ludwig.
EDIT : on peut même obtenir les ellipses sans tracer les cercles bleus et oranges : une droite des foyers est parallèle à la ligne des centres d'un cercle bleu et d'un cercle orange concourants. Ou encore : les milieux des centres de deux tels cercles sont sur une droite des foyers.