Question sur les intégrales

Simeon-urbain · November 2022

Bonjour tous,

question : est-ce qu'une fonction continue par morceaux et intégrable sur R est intégrable en valeur absolue ?

Merci de vos aides. s-u
Bonne soirée.

gebrane · November 2022

Puisque ce n 'est pas vrai pour une fonction continue; pourquoi le serait vrai pour une fonction continue par morceaux ?

Math Coss · November 2022

C'est la définition : dire qu'une fonction est intégrable, c'est dire que l'intégrale de sa valeur absolue (ou son module) est finie.

john_john · November 2022

Bonsoir, Siméon,
normalement, oui, parce que la définition de intégrable se fait (quel que soit l'intervalle qui n'est pas un segment) avec $\displaystyle\int_I|f|<+\infty$ ; sinon, on parlerait de semi-intégrabilité lorsque $\displaystyle\int_X^Yf$ admet une limite aux bornes $(X$ tendant vers $\inf I$ et $Y$ vers $\sup I$).

Bonne soirée, j__j

Bibix · November 2022

Bonjour, que signifie intégrable sur $\mathbb{R}$ pour toi ?
Ce n'est pas le cas si intégrable signifie d'intégrale impropre convergente, car :
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(|x|)}{|x|} dx = \pi$ et $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|\sin(|x|)|}{|x|} dx = +\infty$

gebrane · November 2022

Toujours ce problème récurrent de définition du mot intégrable.

JLapin · November 2022

Intégrable, c'est en valeur absolue. Sinon, on parle d'intégrale convergente.

Simeon-urbain · November 2022

Bonjour,
merci à tous pour ces réponses, qui affinent mes connaissances (hum) sur intégrable et intégrale convergente
Bonne journée. prenez soin de vous
S_U.

Dom · November 2022

Il y a tout de même l’expression « intégrable au sens de Riemann » qui doit créer la confusion (c’est pour une fonction bornée et on se place sur un segment).

Mais « intégrable sur $\R$ », comme cela a été dit : ça signifie que c’est « intégrable en valeur absolue sur $\R$ ».