Sur les applications linéaires continues sur un espace vectoriel normé
Soit E et F deux espaces vectoriels normés. On sait que si le corps de référence est R ou C, on a l'équivalence suivante: f, application linéaire de E vers F est continue sur E si et seulement si: il existe M > 0, tel que norme(f(x)) < M.norme(x) (inférieur ou égal évidemment).
Dans cette démonstration, on utilise fondamentalement la propriété : c dans R et c > 0 implique valeurabsolue(c) = c.
Question. Peut-on démontrer cette équivalence sans cette propriété (en d'autres termes, si le corps K de référence n'est ni R ni C et la valeur absolues sur K est quelconque).
Dans cette démonstration, on utilise fondamentalement la propriété : c dans R et c > 0 implique valeurabsolue(c) = c.
Question. Peut-on démontrer cette équivalence sans cette propriété (en d'autres termes, si le corps K de référence n'est ni R ni C et la valeur absolues sur K est quelconque).
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Réponses
Par définition, une norme sur un $K$-espace vectoriel $E$ est une application de $E$ vers $\mathbb{R}$.
Cordialement,
Rescassol
Si tu t'autorises n'importe quelle valeur absolue sur $K$, la réponse est non. Par exemple, prenons $K$ n'importe quel corps muni de la valeur absolue discrète $|x|_K = 1_{x\neq 0}$. Puis posons les $K$-evn $E=F=K[X]$ munis des normes $$\left\|\sum_{k=0}^n a_k X^k \right\|_E = \sum_{k=0}^n |a_k|_K \quad \text{ et }\quad \left\|\sum_{k=0}^n a_k X^k \right\|_F = \sum_{k=0}^n (k+1)|a_k|_K.$$ Alors les topologies d'evn de $E$ et $F$ sont discrètes, donc l'identité de $E$ dans $F$ est continue. Mais il n'existe pas de constance $C\in\Bbb R$ telle que : $\forall x\in E, \; \|x\|_F\leqslant C\|x\|_E$.
Cependant, Bourbaki suppose dans sa définition d'evn que la valeur absolue de $K$ n'est pas la discrète. Et avec cette définition, l'équivalence que tu demandes reste vraie. Pour le montrer, on utilise qu'il existe $\lambda\in K$ tel que $|\lambda|_K\not\in\{0,1\}$, et donc qu'il existe des $\mu\in K$ de valeur absolue arbitrairement grande (il suffit de prendre les puissances de $\lambda$ ou de $\frac1\lambda$). Je te laisse essayer de faire la preuve toi-même avec ces ingrédients.
Collector: @Rajinus : en raz campagne.
Cordialement,
Rescassol
Sinon quel sens donner à l'inégalité triangulaire ?
@AD : On parle de valeurs absolues définies d'un corps $K$ vers $\Bbb R_+$. Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absolue#Valeur_absolue_sur_un_corps.
@Rajinus : Fais par contraposé. Soit $f:E\to F$. On suppose que : $\forall C>0, \exists x\in E,\; \|f(x)\|>C\|x\|$. Et montre que $f$ n'est pas continue : $\exists \varepsilon>0, \forall \eta>0, \exists x\in E, \; \|x\|<\eta \text{ et } \|f(x)\|>\varepsilon$.
@AD: la valeur absolue (que j'ai désignée par V) est définie sur un corps K, elle est à valeur dans R+ (je suis d'accord, comme toutes les valeurs absolues). Mais, si K n'est pas R (ou C), l'implication: c>0 implique V(c)=c n'a pas de sens, elle est vérifiée que sur R (ou C), or c'est cette implication qui est utilisée fondamentalement dans la démonstration: E et F sont deux espaces vectoriels sur R, normés, alors: f de E vers F est continue si et seulement si: il existe M>0 tel que pour tout x dans E norme(f(x)) < M.norme(x).
Or, je me place dans un corps quelconque, sur lequel j'ai défini une valeur absolue, c'est-à-dire une application de K vers R+ qui vérifie JUSTE les 3 propriétés adéquates.
@Calli: j'avais pensé à la propriété contraposée... donc:
1) Pour tout A>0 il existe c dans K tel que V(c) >A
2) On pose comme hypothèse: pour tout C >0, il existe x dans E, tel que norme(f(x)) > C.norme(x).
Il faut démontrer: ∃𝜀>0,∀𝜂>0,∃𝑥∈𝐸,‖𝑥‖<𝜂 et ‖𝑓(𝑥)‖>𝜀
Je vais essayer!!...Mais: cette valeur absolue est ultra-métrique. Et si on dit: soit V une valeur absolue non discrète et non ultra-métrique, alors...
Est-ce maintenant exact (en n'oubliant pas que dans R et C c'est exact pour les valeurs absolues naturelles définies sur ces corps).
Que veut dire "valeur absolue non discrète" ? Ici, l'ensemble des valeurs prises par V est un ensemble discret.
Cordialement.
Ceci dit je rectifie ci-dessous, car si la valeur absolue est ultra-métrique l'hypothèse (H) est vérifiée.