Polynôme à 3 variables, triplets de racines entières

Math Coss · November 2022

Tout est réel. Il y a un code couleur (que je ne saurais expliciter comme ça) : la couleur en $(x,y)$ décrit la valeur de $a=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{1+x}+\frac{1}{x+y}$. Les points d'une couleur donnée sont donc sur une des cubiques de notre faisceau fétiche (ou deux, il pourrait y avoir des redondances de couleurs ?).

var('x y z')
f = (x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)).subs(z=1)
G = density_plot(arctan(f/3),(x,-5,5),(y,-5,5),cmap="jet",plot_points=500)
G.show(figsize=10)

(C'est Sage qui travaille. L'arctangente sert à ramener l'intervalle des valeurs de $a$, i.e. $\R$ entier, à quelque chose de borné. La division par $3$ sert à aplatir un peu pour avoir plus de couleurs sur le dessin.)

Homo Topi · November 2022

Je ne comprends pas trop comment visualiser le fameux faisceau, mais j'imagine que c'est un peu comme des lignes de niveau, d'une manière abstraite. En tout cas ça donne quand même envie de bidouiller ces notions, la géométrie algébrique, tout ça.

Math Coss · November 2022

Si tu n'as jamais rencontré de faisceaux, il vaut peut-être mieux commencer avec plus simple : les faisceaux de droites et ceux de cercles.

On commence par définir l'espace des droites : une droite, c'est une équation à produit par un scalaire non nul près. De l'équation $ax+by+c=0$ on retient seulement le triplet $(a,b,c)\in\R^3$, non nul évidemment, et considéré à scalaire près, i.e. un point de l'espace projectif $\mathbf{P}(\R^3)$. Là, en plus des droites ($(a,b)\ne(0,0)$), on a ajouté des équations qui ne définissent pas de point (si $a=b=0$, l'équation devient $1=0$...) ; pas grave ! (On n'aurait pas ce problème si on travaillait plus proprement dans l'espace projectif.)

Un faisceau de droites, c'est une droite dans l'espace des droites. Classification (vérifier) :

si deux droites du faisceau se coupent en un point, le faisceau est l'ensemble des droites passant par ce point ;
si deux droites du faisceau sont parallèles, le faisceau est l'ensemble des droites parallèles à ces deux droites (une direction).

On passe à l'espace des cercles : un cercle, c'est une équation à produit par un scalaire non nul près. Il vaut mieux inclure les droites là-dedans. De l'équation $a(x^2+y^2)+2bx+2cy+d=0$ on retient seulement le quadruplet $(a,b,c,d)\in\R^4$ à scalaire près, i.e. un point de l'espace projectif $\mathbf{P}(\R^4)$. Là, en plus des droites ($a=0$), on a ajouté des cercles qui n'ont pas de point (si $b^2+c^2-ad<0$ ou quelque chose comme ça) ; pas grave !

Définition un peu abstraite de faisceau (linéaire) : c'est une droite dans l'espace des cercles. Par exemple, l'axe radical de deux cercles (les points où les puissances par rapport à ces deux cercles sont égales) est l'unique vraie droite du faisceau défini par ces deux cercles.

Classification des faisceaux de cercles : il y en a de trois types :

faisceau à points de base : les cercles passant par deux points donnés $A$ et $B$ ; ce sont les lignes de niveau de l'angle de droites $M\mapsto(MA,MB)$ ou, en complexes, de $z\mapsto\mathop{\mathrm{arg}}\frac{z-b}{z-a}$ ; y figure la droite $(AB)$ ;
faisceau à points limites : les lignes de niveau de $M\mapsto MB/MA$ ou, en complexes, de $z\mapsto \left|\frac{z-b}{z-a}\right|$ ; y figure la médiatrice de $[AB]$ ;
faisceau tangent : ensemble des cercles tangents à une droite donnée en un point donné ; ce sont des cas limites des précédents lorsque les points se rapprochent (pas n'importe comment, avec une direction limite).

Ceci étant devenu familier, tu iras voir du côté des faisceaux de coniques (définition facile à deviner). Exemples de faisceaux de coniques :

ensemble des coniques passant par cinq points donnés en position générale (cf. cercles à points de base...) ;
ensemble des coniques passant par 4 (?) points donnés et tangentes à une droite donnée ;
ensemble des coniques passant par 2 (ou 3 ?) points donnés et tangentes à une droite donnée en un point donné ;
le précédent est-il bien un exemple ? y en a-t-il d'autres ?

Je ne connais pas la classification des faisceaux de coniques, au contraire des experts du forum.

Homo Topi · November 2022

Je n'ai pas compris une "droite de l'espace des droites". Je ne sais honnêtement pas ce qu'est une "droite" dans un espace projectif.

Math Coss · November 2022

On fixe un repère dans un plan affine réel ou plutôt (mais cela revient essentiellement au même) on se place dans $\R^2$ affine standard.

Une droite est déterminée par la donnée d'un triplet $(a,b,c)$ de réels (on peut imposer $(a,b)\ne(0,0)$, c'est plus propre), comme l'ensemble des $(x,y)\in\R^2$ tels que $ax+by+c=0$. Bien sûr, pour tout $k\ne0$, les triplets $(a,b,c)$ et $(ka,kb,kc)$ déterminent la même droite et inversement, si une droite admet deux équations définies par $(a,b,c)$ et $(\alpha,\beta,\gamma)$, alors il existe $k$ tel que $(\alpha,\beta,\gamma)=(ka,kb,kc)$.

Le faisceau engendré par deux droites définies par $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$ est l'ensemble des droites qui admettent une équation de la forme \[e_t =0,\quad\text{où}\ e_t=\bigl(ta+(1-t)a'\bigr)x+\bigl(tb+(1-t)b'\bigr)y+\bigl(tc+(1-t)c'\bigr),\] pour un réel $t$ convenable. De deux choses l'une :

si $ab'-ba'\ne0$, les droites se coupent en un point $(x_0,y_0)$ dont on peut calculer les coordonnées en résolvant un système ; d'évidence, pour tout $t$, ce point est sur la droite d'équation $e_t$ (si $e(x_0,y_0)=0=e'(x_0,y_0)$ alors $te(x_0,y_0)+(1-t)e'(x_0,y_0)=0$) ; il n'est pas difficile de se convaincre que toute droite passant par ce point est de la forme $e_t$ (il suffit de constater que tout vecteur de $\R^2$ est colinéaire à l'un des vecteurs $t(-b,a)+(1-t)(-b',a')$, combinaison linéaire des vecteurs directeurs des droites du début) ;
si $ab'-ba'=0$, les deux droites sont parallèles, i.e. les vecteurs $(-b',a')$ et $(-b,a)$ sont colinéaires ; le vecteur directeur de la droite d'équation $e_t$ est $t(-b,a)+(1-t)(-b',a')$, qui est un multiple des vecteurs précédents ; inversement, en jouant sur la constante, on se convainc que toute droite parallèle à ces deux-là apparaît bien.

PS : Voici une représentation de ces deux faisceaux dans le même genre que la précédente (la couleur est fonction du quotient $e_1/e_0$).

À gauche, $e_0=y$, $e_1=x+y-1$, les droites du faisceau sont celles qui contiennent $(1,0)$.
À droite $e_0=x+y+1$, $e_1=x+y-1$, les droites du faisceau sont les parallèles à ces deux-là.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/fw/2csj5ql7hzmw.png

Homo Topi · November 2022

D'accord, il y avait quelques omissions dans ton message précédent, pour moi ce n'était pas clair si on parlait affine ou projectif. C'est plus clair maintenant, je lirai ça plus en détail histoire de tout comprendre.

Math Coss · November 2022

Ce n'était pas clair parce que les deux versions existent, l'une (l'affine) dans l'autre (la projective) d'ailleurs, et que ça ne me semblait pas le point clé – donc c'est peut-être confus.

Homo Topi · November 2022

Je sais qu'un point dans un espace projectif représente une direction de droites dans un espace affine, et je connais les histoires de coordonnées homogènes, mais comme tu as défini "l'espace des droites" comme un espace projectif, et que tu me parlais d'une "droite dans l'espace des droites", je ne comprenais pas trop ce qu'est censé être une droite dans un espace projectif.

Math Coss · November 2022

C'est plutôt un ouvert dans un espace projectif. L'espace des droites peut être construit comme la partie de $\mathbf{P}(\R^3)$ formée des triplets $[a:b:c]$ tels que $(a,b)\ne(0,0)$ (ça ne dépend pas du représentant $(a,b,c)$ du point $[a:b:c]$ de l'espace projectif) ; autrement dit, c'est $\mathbf{P}(\R^3)$ privé du point $[0:0:1]$.

Une droite là-dedans, c'est bien une droite projective (éventuellement privée d'un point). La droite de $\mathbf{P}(\R^3)$ qui passe par $[a:b:c]$ et $[a':b':c']$ est l'ensemble des $[ka+k'a':kb+k'b':kc+k'c']$ lorsque $[k:k']$ décrit $\mathbf{P}(\R^2)$ (ou $(k,k')$ décrit $\R^2\setminus\{(0,0)\}$). Pour recoller avec la description précédente, on peut trouver $t$ réel ou infini tel que $[k:k']=[t:1-t]$ (tiens, plus haut, j'ai perdu une droite dans presque chaque faisceau, semble-t-il, qui aurait pu correspondre à « $t=\infty$ »). Enfin, presque : dans le cas des droites parallèles, si on prend $[k:k']=[-b':b]$ ou $[k:k']=[-a':a]$, on tombe sur le point interdit $[0:0:1]$.

Bon, tout ça est un peu approximatif, je rate visiblement des exceptions ici ou là. Vive la géométrie en position générale !