Moi, j'ai plutôt tendance à utiliser $\Rightarrow$ (\Rightarrow) plutôt que $\rightarrow$ (\rightarrow ), plus par habitude qu'autre chose.
Avec une exception ponctuelle, quand une logique est définie par ses connecteurs, (logique minimale par exemple), j'utilise plutôt $\rightarrow$ pour que justement on ne le lise pas comme l'implication "standard"
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je suis du même avis que @Foys ; j'utilise parfois $\rightarrow$ et parfois $\Rightarrow$. Jacques Duparc utilise uniquement le connecteur $\rightarrow$ dans son ouvrage.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
J'en déduis empiriquement comme @Foys c'est la même chose et il n'y a pas de distinction à faire même si certains (comme les auteurs que tu cites) ont peut-être sauté sur l'occasion pour faire une distinction et donner un "sens" à l'un qu'il ne trouve pas dans l'autre, pas vraiment convaincue que ce soit pertinent. Perso, ça m'embrouille plus qu'autre chose.
In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
Je seconde l'utilisation interchangeable des deux symboles qu'en fait Foys.
Tant que, dans un document, un symbole est clairement défini, il n'y a pas de problème.
Quand aux différences culturelles d'utilisation de $\to$ et de $\Rightarrow$, cela pourrait peut-être constituer un topic intéressant dans la section Histoire des Mathématiques ?
Il me semble avoir vu ces deux symboles utilisés dans un unique document pour distinguer les formules de la logique considérée elle-même, et les déclarations de métalogique dont on se sert pour affirmer des faits sur les formules de la logique considérée (comme on le fait en langue naturelle, sans nécessairement utiliser de symboles $\to$ et $\Rightarrow$).
Les formules d'un langage du premier ordre sont des éléments d'un certain monoïde libre et les connecteurs logique du langage sont des éléments de la base de ce monoïde, ainsi $\to$ n'est qu'un objet mathématique élément de la base du monoïde.
Cependant, même sans avoir jamais fait de la logique, vous avez dû rencontrer $\implies$ qui n'est pas un objet formel, mais une notation qui signifie $si ....alors...$.
Je n'y suis pour rien si certains auteurs préfèrent noter $\implies$ l'objet formel qui ainsi sera très facilement confondu avec $si...alors...$ ce qui amènera encore plus de confusion entre formel et informel. Mais c'est à rapprocher de l'exemple $\in$ qui est utilisé comme notation pour signifier la relation informelle d'appartenance mais qui est aussi utilisé pour noter le symbole d'appartenance du langage des ensembles. Personnellement, j'utilise la lettre $\epsilon$ pour noter le symbole formel.
Édit. Pour faire simple, $\{ \to \}$ est un singleton, et $\{ \implies \}$ est une aberration, bien sûr ici $\implies$ est une notation informelle signifiant $si...alors...$
Tu constates des usages fluctuants de ces deux symboles, y compris chez des auteurs sérieux, ce qui ne t'empêche pas de condamner péremptoirement tout usage différent du tien. Bof.
En fait je ne comprends pas du tout l'édition censée simplifier : ta « notation informelle » est en particulier un symbole, pourquoi ce symbole aurait-il plus de mal qu'un autre à être un élément d'un singleton ? Pourquoi penses-tu que ledit symbole est utilisé comme « notation informelle » par toutes les autres mathématiciennes ? (Le contre-exemple de Patrick Dehornoy a été cité plus haut, il semble que ce soit Bourbaki qui ait popularisé le symbole $\implies$ (implies, intermédiaire entre to et Rightarrow mais des espaces plus adéquates) et il est clair qu'il n'est pas employé informellement, cf. Théorie des ensembles.)
Pour moi, $\implies$ est un connecteur logique et pas une abréviation de « si... alors... ». Cela ne me dérange pas que Foys le remplace par $\to$ quand il me parle mais je ne le ferais pas pour m'adresser à des étudiantes, parce que cela donne deux sens trop différents à cette flèche (oui, dans l'enseignement que je fais, où la correspondance de Curry-Howard n'apparaît jamais, je me fiche de savoir que (si ?) une preuve de $A\to B$ est une fonction qui transforme un terme de type $A$ en un terme de type $B$ et que, par exemple, l'identité est une preuve de la tautologie $A\to A$).
@Math Coss L'exemple du Dehornoy n'est en rien un contre-exemple à ce que je dis. J'ai bien peur que dans cette conversation, je ne sois emmené à me répéter infiniment... à un point, il faut peut-être que j'abandonne, j'ai pourtant expliqué le plus simplement possible...
L'implication des mathématiciens est correctement exprimée par "si ... alors". Ce qui semble reproché dans ce fil est l'emploi du symbole $\Rightarrow$ comme signe de ponctuation pour aérer un texte (au lieu d'employer "donc" et de s'exprimer en phrases).
"blablabla (...) la fonction $f$ est croissante $\Rightarrow$ on a $f(1) \leq f(2)$ CQFD" fait sms et rend la lecture de la copie désagréable.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Ah peut-être, dans ce cas, je connaissais la différence mais on ne me fera pas croire que tous les mathématiciens font ça, je dirais plutôt que personne ou presque ne fait ça.
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Bonjour cohomologies. Bien que je ne sois pas logicien (j'essaie juste de combler quelques lacunes mais c'est pas gagné ), je pense comprendre ce que tu dis, et j'apprécie beaucoup que tu évites d'utiliser les symboles du langage général des mathématiques (que les logiciens qualifient de métalangage et que tu qualifies de langage informel) comme éléments du langage de la logique. Cela améliore la lisibilité des énoncés. C'est pourquoi j'utilise moi aussi le symbole $\rightarrow$ pour le connecteur logique, et que je l'appelle "conditionnelle", cela me paraît plus clair.
Je pense par ailleurs que le symbole $\Rightarrow $, pourrait être considéré, par les logiciens, comme une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des propositions de base concernant un problème donné, et des propositions composées qui en découlent par les connecteurs logiques. Je ne sais pas si ce que je dis a vraiment un sens ?
Pour rappel, en langage général mathématique, P et Q étant deux propositions, on dit que P implique Q, et on écrit $P \Rightarrow Q$, si en toute circonstance où P est vérifié, Q l'est aussi. Par conséquent, si la conditionnelle $P \rightarrow Q$ est vérifiée dans l'ensemble des propositions décrit ci-dessus, ne peut-on peut écrire $P \Rightarrow Q$ ?
Je ne sais pas très bien exprimer ceci mais je pense que tu m'as compris. Il n'est plus question de tautologie ici, de plus les propositions de base dont je parle ne sont forcément atomiques, elles peuvent être liées entre elles (par des connecteurs logiques).
PierreCap a dit : Je pense par ailleurs que le symbole $\Rightarrow $, pourrait être considéré, par les logiciens, comme une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des propositions de base concernant un problème donné, et des propositions composées qui en découlent par les connecteurs logiques. Je ne sais pas si ce que je dis a vraiment un sens ?
Et je n'ai jamais parlé de "langage informel", j'ai dit que $\implies$ était une notation, et non un objet mathématique (donc non formel). L'expression "langage" a un sens bien précis comme l'expression "symétrie axiale"
Il faut que tu ailles lire des livres de logique. Tout comme l'algèbre et la géométrie et la théorie de la mesure...il faut l'étudier pour pouvoir en parler. C'est cela que la plupart des gens ne comprennent pas sur la logique, et pourtant... ça paraît évident...
Il fut un temps où l'enseignement des mathématiques dans ce pays véhiculait au passage un enseignement de la logique (au sens de la science du discours correct, dans la tradition des Premiers Analytiques). Et puis la mode a changé. Tout cela a été bourbachié, c'est-à-dire merdifié en prétendant que Bourbaki était à l'origine d'une telle nuisance. Le résultat final a été : moins de mathématiques... et moins de logique.
Une des marottes des bourbachieurs était la formalisation formelle du discours, remplaçant les "si .. alors" du passé par des $\implies$. Évidemment, une formalisation sérieuse est autre chose que donner l'apparence d'une formalisation, et il reste à gérer les personnes qui ont été i.u.f.m.-isées durant les années noires. Dans ce contexte, il est amusant de constater la réapparition du principe de vérification expérimentale qui était le cœur de cible des bourbachieurs.
Il y aurait donc, préalablement à toute formalisation, des "ensembles informels", une "appartenance informelle" et des "nombres informels". La preuve des nombres informels est que l'on peut s'en servir pour compter les moutons sans que l'univers explose sous les contradictions, tandis que la preuve des moutons eux-mêmes est qu'on les mange. Mieux encore, si l'on utilise les nombres moutonniers pour compter les haricots, alors tout continue de se passer pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles : l'univers n'en profite pas pour exploser, tandis que les haricots, eux aussi, se prouvent en les mangeant. On en déduit que cuisiner un haricot de mouton est en fait une expérimentation philosophique prouvant l'informalitude nécessaire à toute formalisation.
Au passage, on notera que le critère "$X$ est formel quand l'écriture $\{X\}$ véhicule du sens" est un critère quelque peu foutraque. En effet la formalitude qualifie le syntaxique et pas le sémantique. Bon cassoulet à tous !
Qu'est-ce qui t'empêcherait de dire que $\to$ est une notation et non un objet mathématique ? Je ne comprends pas la différence de nature entre un symbole et un autre. Si tu leur attribues des sens différents, c'est un choix individuel et visiblement pas universel (cf. Foys plus haut).
Par ailleurs, si ce que tu critiques est l'usage abusif de ce symbole comme un raccourci « si... alors... », voire pour « donc », au milieu d'une phrase en langage non formel, comme le suggère Foys ci-dessus, c'est d'une façon ridiculement compliquée et surtout de mauvaise foi – comme le souligne Vassilia, c'est considéré comme un abus par la majorité des mathématiciennes que je connais et les textes publiés que je connais en sont exempts. Révérence gardée, je ne considère pas comme mathématiciennes les étudiantes à qui je fais la leçon quand je tombe sur cet usage erroné du symbole d'implication.
@Math Coss $\to$ est un objet mathématique comme le nombre $2$ tandis que $\implies$ n'est qu'une notation. Et les textes dont tu parles utilisent la notation et non l'objet mathématique. Je crois que lire ce que @pldx1 a écrit peut s'avérer éclairant. $\to$, tu ne le verra que dans les livres de logique formelle !
Ne vous inquiétez pas JLapin, tous les logiciens et les mathématiciens font de même : LTA-ens.pdf (irif.fr) Ce que fait Krivine me va bien. Quant au mélange français et les quantificateurs, je l'avais baptisé "abomination" il y a peu.
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Pourrais-tu s'il te plaît m'expliquer pourquoi cela n'a pas de sens ? Je prends un exemple pour mieux m'expliquer. Soit $E$ un ensemble fini. Pour tout élément $e$ de $E$ et toute partie $X$ de $E$ la proposition $e \in X$ est une proposition notée $P(e,X)$. L'ensemble $F$ de ces propositions est fini, de cardinal $\operatorname{Card}F=\operatorname{Card}E \times 2^{\operatorname{Card}E - 1} $ (sauf erreur). Peut-on définir l'ensemble des propositions composées construites à partir de celles de $F$ ? Merci d'avance, Pierre P.S. Excuse-moi de t'avoir accusé d'utiliser le terme "langage informel", j'ai mal lu. En fait si je comprends bien les mathématiques générales n'ont pas de langage, au sens défini par les logiciens. Dommage
Ce qui compte est d'apprendre la définition formelle d'une démonstration et après on devient beaucoup plus serein. Sinon on mélange discours et méta et on se perd.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@pldx1 Quand j'étais en première s européenne, on a fait un voyage scolaire vers la Norvège et j'ai assisté à un cours de maths de première en Norvège, ils enseignaient des notions de logique ce jour là, j'étais épaté car en France (j'étais en première) je n'avais accès à cela que dans mes lectures en autodidacte.
PierreCap a dit : Je pense par ailleurs que le symbole $\Rightarrow $, pourrait être considéré, par les logiciens, comme une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des propositions de base concernant un problème donné, et des propositions composées qui en découlent par les connecteurs logiques. Je ne sais pas si ce que je dis a vraiment un sens ?
Non, ça n'a pas de sens
L'ensemble $F$ de ces propositions est fini, de cardinal
Il n'y a pas de tel ensemble, car ce que tu appelles "proposition" n'est pas un objet mathématique.
Pourtant j'ai lu quelques articles ou l'on parle d'ensembles (ensemble des postulats, de règles, de théorèmes). Le mot ensemble a donc lui aussi un sens spécifique en logique ?
Mouais, j'ai lu @pldx1 et pas l'impression qu'il soit un ayatollah du formalisme utilisé en logique, du moins dans l'enseignement, de ce que j'ai compris, il a dans sa besace l'axiome "les entiers naturels existent" ce qui est tout de même bien pratique même si pas très conventionnel. Étudier la logique au secondaire, très bien, à la condition de le faire pour aider à raisonner et le formalisme est alors un des moyens pour construire et transmettre correctement sa pensée en s'assurant d'être compris par son interlocuteur, pas un moyen d'enquiquiner le monde avec des désidératas hors sol. Il se pourrait même que cette mauvaise habitude participe à la méconnaissance de la discipline ce que je trouve plutôt regrettable sur le principe.
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@PierreCap ne me tiens pas responsable de tes lectures, le mot "ensemble" est commun à toutes les mathématiques (il n'est pas réservé à la logique), peut-être peux tu passer un peu de temps à étudier la théorie naïve des ensembles du moins la partie qui est servie à tous les L1.
J'ose répéter: Il faut étudier la logique avant d'en parler, tout comme on étudie l'algèbre linéaire avant de parler de trigonalisation.
Edit. En théorie formelle des ensembles, un univers étant donné, on appelle "ensemble" tout élément de l'univers.
Je ne comprends toujours pas : quand je vois une flèche, c'est un symbole sur un écran ou une feuille ou un tableau, et ce, qu'elle ait une ou deux flèches. Tu pourrais aussi bien affirmer que $\to$ est un objet mathématique alors que $\longrightarrow$ est une notation.
Rions un peu. Je reprends quelques phrases (copiées collées sans autre modifications que typographiques) :
L'implication n'a pas de définition (sauf pour ceux qui l'introduisent comme une abréviation), c'est juste un symbole.
$\to$ est un symbole, et généralement $\implies$ est une notation pour signifier « si... alors... »
$\to$ n'est qu'un objet mathématique
$\implies$ était une notation, et non un objet mathématique
Les deux premiers points me disent qu'un symbole est une notation. Le deuxième et le troisième me disent qu'un symbole est un objet mathématique. Le quatrième point devient incohérent. Le malentendu viendrait-il du fait que tu appelles $\to$ l'implication, et pas $\implies$ ? (Je précise que depuis le premier message du fil, je pense que $\to$ est une conditionnelle, notion qui m'est bien mystérieuse, et que ce que j'appelle implication, c'est le connecteur $\implies$.)
Au passage, je ne comprends pas ce que tu entends par « définition », « notation », « symbole », « abréviation ». Entre autres.
Au passage, sur la question de savoir si l'implication a une définition, l'idée ne semble pas choquer Médiat_Suprème.
C'est ma dernière réponse : 1) quand tu as dit "l'implication", j'ai pensé à $\to$ et non à $\implies$ 2) j'espère que tu connais la différence entre un nom et l'objet qu'il désigne, par exemple 2 et le nombre deux. Cependant $\implies$ ne désigne pas un objet mathématique. Si je dis que cette conversation est scolaire ou qu'elle me fatigue alors on va me dire que je suis méprisant, alors que j'exprime tout simplement des faits objectifs. 😓
cohomologies a dit : J'ose répéter: Il faut étudier la logique avant d'en parler, tout comme on étudie l'algèbre linéaire avant de parler de trigonalisation.
Bien, j'ai compris. Je ne reviendrai pas sur ce forum.
1) Ça va moins mal. Je note $\implies$ ce que tu notes $\to$ et je n'ai pas besoin d'un symbole pour raccourcir « si... alors... ».
2) Si on me pousse dans mes retranchements, la différence s'estompe. En effet, derrière le concept du nombre deux, je mets beaucoup de choses mais s'il faut formaliser, je ne sais pas lui donner une autre existence que celle d'un symbole qui vient avec des règles d'emploi (par exemple, je peux en général remplacer $1+1$ par $2$, je peux parfois remplacer $2$ par $0$, d'autre fois par $-5$, je peux l'écrire en exposant dans un certain nombre de contextes, plus généralement il intervient dans un certain nombre de théorèmes, etc.).
@Dom ce n'est pas pour casser l'ambiance mais ce genre de document (qui est un concentré du pire) est l'une des raisons pour laquelle tant de gens ont du mal à se mettre à la logique
"Pour la logique formelle, 1 + 1 = 1 → 1 + 1 = 2 est une proposition vraie, ce qui ne va pas sans jeter un certain trouble lorsque le symbole → est lu « implique »."
Apparemment, l'auteur du document ne sait pas démontrer que $1+1=2$ à partir de la relation $1+1=1$ alors que c'est assez simple :
Si $1+1=1$, alors, par soustraction, $0=1$.
Mais, la relation $1+1=1$ s'écrit aussi $2=1$.
En ajoutant les égalités membres à membres $0=1$ et $2=1$, on obtient $2=1+1$.
Bertrand Russell est passé par là : Question : « Vous pourriez démontrer que si 2 + 2 = 5 alors vous êtes le pape ? ».
Bertrand Russell : « Si 2 + 2 = 5, j’en déduis En soustrayant 2 de chaque côté du signe égal, on obtient que 2 = 3. Par symétrie, on a aussi que 3 = 2 et, en soustrayant un de chaque côté, 2 =1. le pape et moi nous sommes deux, mais, puisque 2 = 1, le pape et moi ne sommes qu'un, et donc je suis le pape. »
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
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@PierreCap Je pense par ailleurs que le symbole ⇒, pourrait être considéré, par les logiciens, comme une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des propositions de base
Non, non, surtout pas ! L'implication n'est pas une "relation" (i.e. du type $prop \times prop \to bool$) mais un "opérateur" (i.e. du type $prop \times prop \to prop$).
Bravo et merci à @Georges Abitbol d'exprimer en une phrase ce que j'allais écrire en un long post mal fichu (mais un découragement de dernière minute devant l'effort m'a opportunément arrêté ).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Vassillia a dit : @pldx1 a dans sa besace l'axiome "les entiers naturels existent" ce qui est tout de même bien pratique même si pas très conventionnel.
Oui, tout à fait. Une fois que l'on a $\mathbb Z$, il suffit de poser \[mon\doteq x\mapsto 1-x \\ met\doteq (x,y) \mapsto xy\\ mou \doteq (x,y) \mapsto x+y-xy \] pour disposer de toute l'algèbre de Boole. Et alors, le fameux $\implies$ est implémenté par:
\[ ply \doteq (x,y) \mapsto mou (non (x) ,\,y) = (x,y)\mapsto xy-x+1 \] tandis que la réécriture en forme normale disjonctive est quasi immédiate $ply(x,y)$ devient $xy+Xy+XY$. Cordialement, Pierre.
orthogonalement au message précédent: Il semblerait qu'au moins un fogicien ait pété au moins une durite. Peut-être que lire des livres sur les durites permettrait une remédiation, mais ce n'est pas vraiment certain.
@pldx1 tu es un vidiot, pour te comprendre je compte lire des livres sur les vidiots et même les vidiots disent parfois de bonnes choses, même s'il faut chercher loin.
@pldx1 la logique ne se résume pas au calcul de tables de vérité. Il y a un siècle de travaux dans ce sens. De plus rien dans les tables de vérité ne permet de discerner ce qu'est un discours correct de ce qui ne l'est pas (la logique propositionnelle est trop inexpressive pour écrire des énoncés de maths tels que par exemple "tout nombre entier premier différent de 2 est impair").
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Elle est pas mal celle là, n'importe qui peut comprendre ce que @pldx1 a écrit donc, avantage notable, y compris les élèves du secondaire qui peuvent alors être initiés à la logique qui commence souvent par le calcul de tables de vérité tout de même.
Bon certes @cohomologies ne comprend pas, en même temps, c'est le même qui ne comprend pas que $\implies$ qui s'écrit \implies veut dire implication et qui nous affirme que Patrick Dehornoy qui est quand même un peu connu pour travailler dans ce domaine utilise des notations abusives, et ce contre l'avis d'absolument tous les intervenants.
Je dirais que ce n'est pas trop grave du coup et même que c'est bon signe.
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@Foys: la logique ne se résume pas à l'algèbre de Boole. En effet. C'est ainsi que "tout nombre entier premier..." suppose l'axiome de l'infini. Tandis que "chaque nombre entier premier..." ne suppose pas que "$n$ est entier" soit une propriété collectivisante. C'est la différence entre "je me charge de venir avec $\mathbb N$ et en plus..." d'une part et d'autre part "si tu te charges de venir avec un $n$ particulier, alors...". Si tu me garantis que le $n$ avec lequel tu es venu n'est divisible que par $\pm 1$ et $\pm n$ et que $n \neq \pm 2$ alors, $n$ n'est pas divisible par $2$. Cela dit, une fois que l'on a $\mathbb Z$ sous la main, la vie est plus facile.
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C'est plutôt désagréable qu'une personne qui n'a jamais fait de logique prétende émettre un jugement sur un commentaire quelconque concernant la logique. Et ce genre de phénomènes est ce que je reproche à ce sous-forum. Rien de ce que j'ai dit est compliqué pourtant...
Je ne comptais pas t'être agréable vu le ton que tu emploies systématiquement donc tout va bien, sache que tes reproches m’indiffèrent mais je ne t’empêche pas de les faire.
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Elle est pas mal celle là, n'importe qui peut comprendre ce que @pldx1 a écrit donc, avantage notable, y compris les élèves du secondaire
Tu confonds "comprendre" et "être rassuré (peut-être à tort)".
Le but de l'enseignement n'est pas de rassurer les élèves en les maintenant au niveau cp pendant les 1100 heures ou plus de cours de maths que leur scolarité compte, payée par le contribuable et qui se déroule au seul moment de leur vie où leur cerveau produit des neurones.
Le but de l'enseignement est de dire la vérité et de faire progresser chacun au mieux de ses capacités.
"Comprendre" des choses fausses ou déformées pour limiter les réactions non souhaitées du destinataire du message, ce n'est pas comprendre !!!.
La preuve que les humbles tables de vérités sont insuffisantes à trancher ces débats (et au passage sont quasiment absentes de la pratique mathématique: jamais vous ne vous référez à elles quand vous rédigez, ou arbitrez la correction de la rédaction, d'une démonstration) est qu'en fait leur usage est assez répandu pour que tout le monde ici ait reçu et assimilé un cours de table de vérité au moins une fois dans sa vie. Et pourtant les inconforts, souffrances et confusions exprimées dans ce fil sont très importantes, le point culminant ayant été atteint par le document pédagogiste mis en lien par @Dom dans lequel l'auteur affirme ouvertement que l'implication booléenne n'est pas la vraie implication et que 1+1 = 1 -> 1+1 = 2 est fausse. Et je suis sûr que l'auteur aurait 20/20 à son exam de tables de vérités.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Réponses
Moi, j'ai plutôt tendance à utiliser $\Rightarrow$ (\Rightarrow) plutôt que $\rightarrow$ (\rightarrow ), plus par habitude qu'autre chose.
Avec une exception ponctuelle, quand une logique est définie par ses connecteurs, (logique minimale par exemple), j'utilise plutôt $\rightarrow$ pour que justement on ne le lise pas comme l'implication "standard"
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
connecteurs logiques ¬, ∧, ∨,→, ↔
- dans la logique du premier ordre de Dehornoy http://math.univ-lyon1.fr/~altinel/Master/M1Logique/Printemps09/Dehornoy/Ensemble7.pdf je trouve page 3
Cependant, même sans avoir jamais fait de la logique, vous avez dû rencontrer $\implies$ qui n'est pas un objet formel, mais une notation qui signifie $si ....alors...$.
Édit. J'ai remanié ma tournure de phrase.
Mais c'est à rapprocher de l'exemple $\in$ qui est utilisé comme notation pour signifier la relation informelle d'appartenance mais qui est aussi utilisé pour noter le symbole d'appartenance du langage des ensembles. Personnellement, j'utilise la lettre $\epsilon$ pour noter le symbole formel.
Édit. Pour faire simple, $\{ \to \}$ est un singleton, et $\{ \implies \}$ est une aberration, bien sûr ici $\implies$ est une notation informelle signifiant $si...alors...$
L'exemple du Dehornoy n'est en rien un contre-exemple à ce que je dis. J'ai bien peur que dans cette conversation, je ne sois emmené à me répéter infiniment... à un point, il faut peut-être que j'abandonne, j'ai pourtant expliqué le plus simplement possible...
Je pense par ailleurs que le symbole $\Rightarrow $, pourrait être considéré, par les logiciens, comme une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des propositions de base concernant un problème donné, et des propositions composées qui en découlent par les connecteurs logiques. Je ne sais pas si ce que je dis a vraiment un sens ?
Pour rappel, en langage général mathématique, P et Q étant deux propositions, on dit que P implique Q, et on écrit $P \Rightarrow Q$, si en toute circonstance où P est vérifié, Q l'est aussi. Par conséquent, si la conditionnelle $P \rightarrow Q$ est vérifiée dans l'ensemble des propositions décrit ci-dessus, ne peut-on peut écrire $P \Rightarrow Q$ ?
Je ne sais pas très bien exprimer ceci mais je pense que tu m'as compris. Il n'est plus question de tautologie ici, de plus les propositions de base dont je parle ne sont forcément atomiques, elles peuvent être liées entre elles (par des connecteurs logiques).
Merci pour ton aide, Pierre
L'expression "langage" a un sens bien précis comme l'expression "symétrie axiale"
Tout comme l'algèbre et la géométrie et la théorie de la mesure...il faut l'étudier pour pouvoir en parler.
C'est cela que la plupart des gens ne comprennent pas sur la logique, et pourtant... ça paraît évident...
$\to$ est un objet mathématique comme le nombre $2$ tandis que $\implies$ n'est qu'une notation.
Et les textes dont tu parles utilisent la notation et non l'objet mathématique.
Je crois que lire ce que @pldx1 a écrit peut s'avérer éclairant.
$\to$, tu ne le verra que dans les livres de logique formelle !
Ce que fait Krivine me va bien.
Quant au mélange français et les quantificateurs, je l'avais baptisé "abomination" il y a peu.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Soit $E$ un ensemble fini. Pour tout élément $e$ de $E$ et toute partie $X$ de $E$ la proposition $e \in X$ est une proposition notée $P(e,X)$.
L'ensemble $F$ de ces propositions est fini, de cardinal $\operatorname{Card}F=\operatorname{Card}E \times 2^{\operatorname{Card}E - 1} $ (sauf erreur).
Peut-on définir l'ensemble des propositions composées construites à partir de celles de $F$ ?
Merci d'avance, Pierre
P.S. Excuse-moi de t'avoir accusé d'utiliser le terme "langage informel", j'ai mal lu. En fait si je comprends bien les mathématiques générales n'ont pas de langage, au sens défini par les logiciens. Dommage
Étudier la logique au secondaire, très bien, à la condition de le faire pour aider à raisonner et le formalisme est alors un des moyens pour construire et transmettre correctement sa pensée en s'assurant d'être compris par son interlocuteur, pas un moyen d'enquiquiner le monde avec des désidératas hors sol. Il se pourrait même que cette mauvaise habitude participe à la méconnaissance de la discipline ce que je trouve plutôt regrettable sur le principe.
J'ose répéter:
Il faut étudier la logique avant d'en parler, tout comme on étudie l'algèbre linéaire avant de parler de trigonalisation.
Edit. En théorie formelle des ensembles, un univers étant donné, on appelle "ensemble" tout élément de l'univers.
1) quand tu as dit "l'implication", j'ai pensé à $\to$ et non à $\implies$
2) j'espère que tu connais la différence entre un nom et l'objet qu'il désigne, par exemple 2 et le nombre deux. Cependant $\implies$ ne désigne pas un objet mathématique.
Si je dis que cette conversation est scolaire ou qu'elle me fatigue alors on va me dire que je suis méprisant, alors que j'exprime tout simplement des faits objectifs. 😓
proposition vraie, ce qui ne va pas sans jeter un certain trouble lorsque le symbole → est lu
« implique »."
Question : « Vous pourriez démontrer que si 2 + 2 = 5 alors vous êtes le pape ? ».
Bertrand Russell : « Si 2 + 2 = 5, j’en déduis En soustrayant 2 de chaque côté du signe égal, on obtient que 2 = 3. Par symétrie, on a aussi que 3 = 2 et, en soustrayant un de chaque côté, 2 =1. le pape et moi nous sommes deux, mais, puisque 2 = 1, le pape et moi ne sommes qu'un, et donc je suis le pape. »
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je pense par ailleurs que le symbole ⇒, pourrait être considéré, par les logiciens, comme une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des propositions de base
Non, non, surtout pas ! L'implication n'est pas une "relation" (i.e. du type $prop \times prop \to bool$) mais un "opérateur" (i.e. du type $prop \times prop \to prop$).
Cordialement, Pierre.
Il semblerait qu'au moins un fogicien ait pété au moins une durite.
Peut-être que lire des livres sur les durites permettrait une remédiation, mais ce n'est pas vraiment certain.
PS. tu as survécu comment à sa lecture cohomologies ?
Si tu me garantis que le $n$ avec lequel tu es venu n'est divisible que par $\pm 1$ et $\pm n$ et que $n \neq \pm 2$ alors, $n$ n'est pas divisible par $2$.
Cela dit, une fois que l'on a $\mathbb Z$ sous la main, la vie est plus facile.
Cordialement, Pierre.