Exercices de collège ou lycée
Bonjour à tous
Je trouve que l'idée de JLT de proposer des exercices du niveau Collège ou Lycée est excellente.
Voici par exemple un exercice pris dans un ouvrage de géométrie datant de 1930.
Cet ouvrage est divisé en livres qui suivent exactement ceux de la géométrie d'Euclide, livre 1, livre 2, etc, etc...
Cet exercice est tiré du livre 1 et je pense qu'il est du niveau Lycée ou peut-être de celui du Collège.
Je propose la version originale qu'on pourra toujours modifier après la discussion pour la mettre au gout d'aujourd'hui.
Etant donné un triangle $ABC$ dans lequel $\widehat B-\widehat C=90°$, démontrer que si $H$ est son orthocentre, les triangles $ABC$ et $HBC$ sont égaux.
Pour le moment, je ne donne pas de figure pour ne pas vous influencer.
Amicalement
pappus
PS
Je suis aussi intéressé par la façon de faire la figure pour les élèves!Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour les élèves, j'écris et je reporte au compas
(Je suppose que les points B et C ont rejoint leurs places respectives sur ma figure et j’ose écrire une démonstration en évitant cette fois les erreurs d’écriture)
Par construction, le point D est sur la médiatrice de BC, donc le triangle DBC est isocèle en D et ses angles à sa base, DBC et DCB sont égaux, donc l' angle ACB est égal à l'angle DCB.
Les droites DB et BH perpendiculaires à la droite AC sont parallèles et les angles alternes internes DBC et BCH sont égaux. Donc l'angle ACB est égale à l'angle BCH et la droite CB est bissectrice de l’angle ACH.
Dans le triangle ACH, la bissectrice CB est aussi hauteur. Le triangle ACH est donc isocèle en C, la droite CB est médiatrice de la base AH et axe de symétrie pour les triangles ABC et HBC qui sont donc égaux.
Conclusion. Dans un triangle ABC tel que B^- C^ = 90°, H étant son orthocentre, les triangles ABC et HBC sont égaux
oui, la symétrie axiale est abordée en 6e, voici un extrait des attendus en fin de 6e
Preuve l’existence de l’hyperbole par la méthode analytique :
O étant le milieu de BC, dans de repère (O ; OC), on prend D (0 ; y) et A (X ; Y).
On écrit que le déterminant des vecteurs CD et CA ainsi le produit scalaire des vecteurs BD et BA sont nuls. L’élimination de la variable y entre les deux égalités nous conduit à l’équation d’hyperbole équilatère X² - Y² = 1.
Une approche moins orthodoxe, corolaire de ce qui précède.
Proposition de lemme.
Si l'on considère les quatre points A, B, C, D (ou H peu importe) comme quatre points formant un système orthocentrique,
si en prenant les trois premiers points
angle ABC - angle ACB = 90°
⇔
le triangle ACD (ACH sur le schéma) est isocèle en C et
B est son orthocentre
Jean-Pol Coulon.