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Fonction de classe C1

TimeTime
Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonsoir, besoin d'aide SVP! Merci d'avance!
Dans le cours, le prof nous a dit qu'il y a deux méthodes pour montrer que $f$ (fonction à valeurs réelles) est dérivable en $a$. Soit on calcule le taux de variations, soit en on montre que la fonction est de classe $C^1$ en $a$. J'ai cherché comment montrer que $f$ est de classe $C^1$, j'ai trouvé plusieurs définitions qui ne sont pas pareilles, je suis perdu ! Est-ce que ça revient à montrer que $f$ est continue en $a$ et que $f'$ est continue en $a$. Si oui, est-ce qu'on a le droit de dériver $f$ ?! Car à la base on ne sait pas qu'elle est dérivable en $a$, c'est d’ailleurs ce qu'on cherche ?!

Réponses

  • gerard0gerard0
    Modifié (November 2022)
    Bonjour.
    A priori, "de classe $C^1$" est plus que dérivable. Donc j'imagine que ce que veut dire ton prof est probablement d'utiliser les propriétés de stabilité de la classe $C^1$ par addition, soustraction, multiplication, ... En fait, ça revient à utiliser les propriétés connues des dérivées.
    Cordialement.
  • gebranegebrane
    Modifié (November 2022)
    Je suppose que f est à plusieurs variables ?, dans ce cas effectivement , il est parfois plus facile de démontrer que f est C^1 en démontrant que les dérivées partielles de f sont continues que de démontrer que f est dérivable  ( différentiable )
    Le 😄 Farceur


  • bd2017bd2017
    Modifié (November 2022)
    Hola,  Ta question  montre qu'il faut travailler autrement!  Parce que tu donnes l'impression de vouloir utiliser des recettes de cuisine pour montrer  quelque chose que tu ne maitrises pas très bien. 
    D'abord "être de classe $C^1$  en $a$"  cela ne signifie  pas grand chose.     
    Si tu veux démontrer que fonction est dérivable en $x=a$  tu reviens à la définition c'est tout.
    Maintenant il  se peut que dans certains cas tu peux éviter de revenir à la définition  en utilisant des théorèmes généraux. 
    Comme par  exemple $f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}$      la fonction est dérivable en  en  $x=4$   car elle est le quotient de 2 fonctions dérivables en $x=4$  et le    dénominateur ne s'annule pas en $x=4$ 
      
    pas vu les réponses de @gerard0 et @gebrane. Visiblement on n'a pas le même point de vue par rapport à la question!!
     
  • JLapinJLapin
    Time a dit :
    soit  on montre que la fonction est de classe $C^1$ en $a$.
    Ca ne veut rien dire et je doute que ton prof ait pu dire ou écrire une chose pareille.
    Par contre, ta fonction peut être de classe $C^1$ sur un intervalle dont $a$ est un point intérieur, ce qui suffit évidemment à assurer que $f$ est dérivable en $a$.
  • Homo TopiHomo Topi
    Modifié (November 2022)
    Pour me faire l'avocat du diable : dans mon Pearson L3 Analyse, page 696, j'ai la définition de "fonction de classe $\mathcal{C}^k$ en un point $a$", moi. Dans la partie calcul diff du livre.
  • DomDom
    Modifié (November 2022)
    J’étais aussi en train de fouiner à ce sujet. 
    C’est local mais on doit avoir un voisinage dedans (dans la définition), ou bien que la fonction est définie sur un intervalle dont le point est intérieur (voire au bord ?). 

  • gebranegebrane
    @Time Je te propose cet exercice. Soit f définie par $f(x)=x^2$ si $x\in \mathbb Q$ et $f(x)=0$ sinon.

    1- Est ce que f est continue en 0
    2- Est ce que f est dérivable en 0, si oui donne $f'(0)$

    Les auteurs  Français n'aiment pas définir une notion d'une fonction $C^1$ en un point a. Je propose celle ci.
    Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $a$ et $f$ dérivable sur $I$ / $\{a\}$. On dit que $f$ est $C^1$ en a si $\lim_{x\to a} f'(x)$ existe et finie. Cette définition ne convient pas ? 
    Le 😄 Farceur


  • gerard0gerard0
    Gebrane, 
    ton message va-t-il faire progresser le pp ? Tu donnes l'impression de surtout te faire plaisir.. 

    Cordialement. 

    NB : tu n'as pas précisé les topologies, ta question n'a pas de sens. 
  • gebranegebrane
    Modifié (November 2022)
    gerard0 tu l'as dit avant à quelqu'un , ta mémoire est courte. Tu as dit à quelqu'un que la question ne t'est pas destinée. Pourquoi alors réponds-tu à sa place ?
    Le 😄 Farceur


  • gerard0gerard0
    Je ne réponds pas à la question, d'ailleurs, il n'y a pas vraiment de question ! Mais je réagis à ton intervention malsaine (qui cherche à déstabiliser le pp). Tu as été capable de faire beaucoup mieux !

    Cordialement.
  • gebranegebrane
    Donc malsaine mon message.

    Tu ne changera jamais , toujours désagréable et agressif.  En ce qui me concerne garde ton savoir pour toi. Le message ne t'est pas destiné. Point.

    Ici tu n'aides que rarement, tu aimes bien jouer le rôle de schtroumpf    grincheux
    Le 😄 Farceur


  • JLapinJLapin
    gebrane a dit :
    Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $a$ et $f$ dérivable sur $I$ / $\{a\}$. On dit que $f$ est $C^1$ en a si $\lim_{x\to a} f'(x)$ existe et finie. Cette définition ne convient pas ? 

     Moi, elle ne me convient pas.
    La fonction qui vaut $x$ sur $\R^*$ et $1$ en $0$ serait $C^1$ en $0$, ce qui n'a pas grand sens.
  • gebranegebrane
    Bonsoir @JLapin Tu as raison
    Le 😄 Farceur


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