Fonctions continues, positives, intégrables sur $\mathbb R^+$ et de $||f||_\infty = 1$

@gebrane : Cela diverge ! Effectivement, cela n'était pas difficile !

Maintenant pour la convergence ?

J'aimerais bien avoir un $n^2$ à la place du $n$.

Ok je viens de trouver une fonction via l'intégration terme à terme positif !
Je choisis : $f(t)=e^{-t^2}\ge 0$.
- $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n(t) = e^{-nt^2} \in L^1(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$.
- $\sum_{n\ge1} f^n$ converge simplement sur $\mathbb R^+_*$.
- $\forall t\in \mathbb R^+_*,\ \sum_{n=1}^\infty f^n(t) = \dfrac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}} \in C_{pm}^0(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$
- $\forall n\in\mathbb N^*,\  f^n \ge 0$
Par intégration terme à terme, on a : $\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty f^n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$
Or, $\dfrac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}} \in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$ car équivalent quand $t$ tend vers $+\infty$ à $e^{-t^2}$.
Donc : $\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty e^{-nt^2} dt$ converge !

EDIT : Cela ne marche pas en $0$...

Pour régler le problème en $0$ : Il faudrait que $f(x) = 1-bx^a + o(x^a)$ avec $a<1$ et $b>0$.

Je choisis donc : $f(t)=1-\frac{1}{4}\sqrt{t}$ si $t\le k_0$ et $e^{-t^2}$ sinon. On pose $k_0 > 0$ tel que $1-\frac{1}{4}\sqrt{k_0} = e^{-k_0^2}$
- $\forall n\in\mathbb N^*,\ f^n(t) = (1-\frac{1}{4}\sqrt{t})^n$ si $t\le k_0$ et $e^{-nt^2}$ sinon. On a $f^n\in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$
- $\sum_{n\ge1} f^n$ converge simplement sur $\mathbb R^+_*$.
- $\forall t\in \mathbb R^+_*,\ \sum_{n=1}^\infty f^n(t) = \frac{4-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ si $0< t\le k_0$ sinon $ \frac{e^{-t^2}}{1-e^{-t^2}}$. La série est dans $C_{pm}^0(\mathbb R^+_*, \mathbb R)$. On le notera $g$.
- $\forall n\in\mathbb N^*,\  f^n \ge 0$
Par intégration terme à terme, on a : $\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty f^n(t) dt= \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$
$g \in L^1(\mathbb R^+, \mathbb R)$ : En $0$, $g(t)\sim_0 \frac{4}{\sqrt{t}}$. Pour $+\infty$, $g(t)\sim_{+\infty}e^{-t^2}$. Cela marche.
Donc : $\sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty f^n(t) dt$ converge !