Calendrier de l’Avent
Bonjour, je vous propose pour Noël de donner tous les jours un exercice (de plus en plus difficile mais amusant), d'analyse (intégrales, séries), ou de théorie des nombres (équations dophantiennes, etc.)
Défi. Chaque exercice devra être résolu le jour même (ceux qui connaissent déjà totalement la solution ne la donnent qu'en dernier recours).
Pour préparer cet événement (qui se déroulera dans ce fil), je recherche des volontaires pour chaque jour pour trouver des exercices amusants :
Volontaires pour chaque jour :
1 JLapin
2 Calli
3 Bibix
4 Julia Paule(je les laissent s’arranger)
5 Manu
6 Calli
7 JLapin
8 etanche
9 Magnéthorax
10 Namiswan
11 Boécien
12 Calli
13 Namiswan
14 Calli
15 John_john
16 Calli
17 bd2017
18 Biblix
19 Calli
20 harazi
21 Gebrane
22 Fin de Partie
23 Poirot
24 Fin de partie-Gebrane-Poirot
25 Cidrolin
Essayez si possible de vous porter volontaire pour votre exo pour un jour correspond à la difficulté (je laisse le choix des 4 derniers à gebrane, fin de partie, Poirot, et le dernier aux trois qui devront le composer, il devra être très dur, avec un énoncé simple, mais avec une très belle solution qui rend le problème un peu plus simple
Bien évidemment l'exo devra être dévoilé le matin du jour réservé.
PS. C'est sûrement très mal expliqué...
PS2 : Merci à tous de m’avoir aidé à corriger les fautes d’orthographes
Défi. Chaque exercice devra être résolu le jour même (ceux qui connaissent déjà totalement la solution ne la donnent qu'en dernier recours).
Pour préparer cet événement (qui se déroulera dans ce fil), je recherche des volontaires pour chaque jour pour trouver des exercices amusants :
Volontaires pour chaque jour :
1 JLapin
2 Calli
3 Bibix
4 Julia Paule(je les laissent s’arranger)
5 Manu
6 Calli
7 JLapin
8 etanche
9 Magnéthorax
10 Namiswan
11 Boécien
12 Calli
13 Namiswan
14 Calli
15 John_john
16 Calli
17 bd2017
18 Biblix
19 Calli
20 harazi
21 Gebrane
22 Fin de Partie
23 Poirot
24 Fin de partie-Gebrane-Poirot
25 Cidrolin
Essayez si possible de vous porter volontaire pour votre exo pour un jour correspond à la difficulté (je laisse le choix des 4 derniers à gebrane, fin de partie, Poirot, et le dernier aux trois qui devront le composer, il devra être très dur, avec un énoncé simple, mais avec une très belle solution qui rend le problème un peu plus simple
Bien évidemment l'exo devra être dévoilé le matin du jour réservé.
PS. C'est sûrement très mal expliqué...
PS2 : Merci à tous de m’avoir aidé à corriger les fautes d’orthographes
Je suis donc je pense
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Réponses
touts les jours
dophaniennes,
ect etc
devra être résolus
ceux qui ... ne la donnent
chaque jours
vous porter volontaires
pour un jour correspondant aà
je laisse le choix ... aà
[Ah zut ! je n'ai pas vu le "porter volontaires" AD]
Pourrait on corriger le titre ? Ça fait mal aux yeux.
Cordialement,
Rescassol
Je me porte volontaire pour les numéros 2, 4, 6, 9, 12, 14, 16 et 19. C'est peut-être beaucoup, mais comme il n'y a pas foule pour l'instant, je me permets d'occuper l'espace (au pire, je me retirerai de certains numéros si jamais on finit par manquer de place).
PS: @Quentino37 tu as mal écrit le pseudo de Bibix...
Peut-être tenterais-je… s’il reste de la place.
Sinon je vais me réserver un petit jour, j'ai une idée de problème amusant
Jour 1
NB : eh bien, et non pas et bien (quoique 99% des gens fassent la faute).
Ma réponse pour JLapin, afin que d'autres puissent vérifier leurs calculs :
En passant à l'exponentielle, la somme de $0$ à $n$ se réecrit $\ \displaystyle \exp\Big(\sum_{k = 1}^{2n+1} \frac{1}{k}\Big)\exp\Big(-\frac12\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\Big)\frac{(2n+2)!}{4^{n+1} (n+1)!^2}$ Ensuite on utilise le développement asymptotique de la série harmonique et la formule de Stirling et ça devrait fonctionner...
RÉSOLUTION POUR LES NULS
On sait, voir Wiki, que $\displaystyle\gamma = \sum_1^{+\infty}\dfrac{1}{n}-\ln(1+\dfrac{1}{n})=I+P$ où $I$ et $P$ sont les sommes des termes impairs et pairs respectivement. Ce que l'on cherche est donc $I$.
Toujours sur Wiki on remarque qu'un certain Sondow a montré en 2005 que $\ln(\dfrac{4}{\pi})=I-P$. Par conséquent en sommant les deux expressions on élimine le $P$ et on trouve $2I=\gamma+\ln(\dfrac{4}{\pi})$ et pour finir $I=\dfrac{\gamma}{2}+\ln(\dfrac{2}{\sqrt{\pi}})$.
PS. Merci à john_john de m'avoir mis sur la voie de Wiki.
Jour 2
On note $\varphi$ la fonction indicatrice d'Euler. Soit $x\in{]1,\infty[}$. Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{\varphi(n)}{x^n-1}$.Notez que c'est un exo de séries et d'arithmétique, donc je suis à fond dans le thème.
PS : Je vois qu'il n'y a plus de jour disponible (hormis peut-être les derniers pour lesquels des désignés volontaires n'ont pas répondu). Donc si quelqu'un veut prendre l'un des miens il peut. Mais merci de le dire assez rapidement pour que, le cas échéant, j'élimine mon exo le moins intéressant .
On pose $y = 1/x$ on cherche donc à calculer $S(y) = \sum_{n \geq 1} \frac{\varphi(n)y^n}{1-y^n} = \sum_{n \geq 1} \sum_{p \geq 1} \varphi(n)y^{pn}$
(Puis comme tout est positif, on peut sommer n'importe comment)
Le coefficient de degré k est donné par l'ensemble des couples $(p,n)$ tels que $pn = k$
$S(y) = \sum_{k = 1} (\sum_{n | k} \varphi(n)) y^k = \sum_{k = 1}^{\infty} ky^k = y/(1-y)^2 $
PS. Après avoir regardé m, Fdp ne s'est pas connecté depuis le 11 novembre...
Edit après avoir lu la solution de noobey, c'est la même.
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{1-x^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\phi(n )\sum_{k=0}^{\infty}x^{nk} $$le coefficient de $x^p$ (p>1) dans la somme ci dessus est $\sum_{d|p}\phi(d)=p$, donc$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{1-x^n}=\sum_{p=0}^{\infty}px^p=\frac{x}{(1-x)^2}$$
Bon, j'ai voulu commencer par quelque chose d'abordable comme on est dans les premiers jours, mais du coup c'est résolu à 1h30 du matin.
Qui est harazi, noté pour le 20 décembre ?
@Julia Paule : D'accord. Comme tu hésites, si tu postes un exo mets-le le matin (disons avant 11h car c'est dimanche), sinon je penserai que tu laisses tomber.
Je peux aussi laisser un jour à @GaBuZoMeu.