Représentation du calcul d'un déterminant à l'aide d'un echiquier

$\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Remplacer "définition du calcul d'un déterminant" par "définition de la fonction déterminant".
Pour tout $n\in \mathbb N$, pour tout $\sigma \in \S _n$, on notera $l_{\sigma} := i\in n \mapsto (i,\sigma (i))$.
Soit $\mathcal A := (A;+;.;1;0)$ un anneau, on notera $\Pi_\mathcal A$ la généralisation de la loi du monoïde $(A;.;1)$ et on notera $\Sigma_\mathcal A$ la généralisation de la loi du monoïde Abélien $(A;+;0)$.
Soit $n\in \mathbb N$, soit $u\in A^{n\times n}$, on définit $\det(\mathcal A ,u):=\Sigma _\mathcal A (\sigma \in \S _n \mapsto \epsilon (\sigma) \Pi _\mathcal A(u\circ l_{\sigma}))$.