Fonction Gamma, encore
J'ouvre un nouveau fil pour ça parce que sinon celui-ci va devenir encore plus bordélique (mais je mets le lien pour qu'on puisse s'y référer).
J'ai donc montré que $z \longmapsto \dfrac{1}{z} \displaystyle \prod_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(1+ 1/k)^z}{1+z/k}$ est définie pour tout $z \in \C\setminus (-\N)$, et que si $\text{Re}(z)>0$, cette fonction est égale à $z \longmapsto \displaystyle \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}\text{d}t$. Bien. Ma fonction $\Gamma$ est donc définie là où j'ai besoin qu'elle le soit.
Maintenant, j'ai un petit problème, ou plutôt deux qui se mélangent.
1) Je veux connaitre la régularité de la fonction $\Gamma$. Je "sais" qu'elle est censée être analytique, mais la question, c'est de le démontrer, et j'ai du mal avec ça.
2) La deuxième chose est d'établir la relation fonctionnelle $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$. L'article Wikipédia parle de faire une intégration par parties. Pour ça, on utilise évidemment la définition "intégrale" de la fonction $\Gamma$, mais alors, cette relation fonctionnelle n'est garantie a priori sur la partie $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>0\}$ du plan complexe. Seulement, je "sais" que je suis censé avoir cette relation partout sur $\C\setminus(-\N)$, donc, comment fait-on ? Peut-on garantir l'existence d'un prolongement analytique qui vérifie cette relation, et utiliser l'unicité du prolongement analytique pour dire que $\Gamma$ (puisqu'elle serait analytique sur tout $\C\setminus(-\N)$) vérifie la relation sur tout $\C\setminus(-\N)$ ?
J'ai essayé d'établir $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ à partir de la définition "produit infini" pour m'épargner de devoir "prolonger la relation", mais je n'y arrive pas. Pour montrer que $\Gamma$ est dérivable, je veux utiliser la définition "intégrale" mais je ne connais pas de théorème de dérivation sous l'intégrale avec des paramètres complexes. Il semblerait que je sois bloqué.
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Réponses
Par 1), cette fonction est holomorphe sur $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>-1\} \setminus \{0\}$ et elle est égale à $\Gamma$ sur $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>0\}$ et il est facile de vérifier que $f(z+1)=zf(z)$ sur $\{z \in \C \mid \text{Re}(z)>-1\}\setminus \{0\}$. En continuant ainsi on prolonge le $\Gamma$ donné sous forme intégrale à $\C \setminus \N$, de plus par unicité du prolongement analytique il n'y a pas d'autre prolongement analytique. Par contre il faudrait montrer que la fonction ainsi prolongée soit la même que celle avec les produits...
Sur ce fil -> https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2378297#Comment_2378297 (avec des produits infinis)
et celui-là -> https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2363166#Comment_2363166 (avec la représentation intégrale sur un contour de Hankel)
Et quant à l'équation fonctionnelle $\Gamma(1+z) = z \Gamma(z)$, tu peux dire que $\Gamma(1+z) - z \Gamma(z)$ est une fonction analytique sur $\mathbb C\setminus \mathbb Z_-$ (qui est un ouvert connexe) identiquement nulle sur le demi-plan $\operatorname{Re} z> 0$ donc (comme tu as autant de points d'accumulation de zéros que tu veux) cette fonction est identiquement nulle sur $\mathbb C\setminus \mathbb Z_-$ (c'est le principe du prolongement analytique).
Sinon, pour moi, la genèse de la fonction gamma c'est la formule $\frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \oint t^{-n-1} e^t\,\mathrm dt$... on devrait commencer par là pour motiver le prolongement analytique de la factorielle. Le produit infini, la formule d'Euler etc. ça vient après.
Dans le document publié par Magnétorax, l'auteur Alexandre Bailleul commet une erreur surprenante à propos du produit infini
$Pi_2^{+oo}(1- \frac{1}{n})$ il diverge d'après lui vers 0 ce qui ne veut rien dire
en fait il converge bien-sûr vers 0 à droite
il s'agit d'un produit télescopique en effet : le produit arrêté au rang n se présente ainsi
$P_n = \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}.........\frac{n-2}{n-1}\frac{n-1}{n}$ et après simplification il reste
$P_n = \frac{1}{n}$ qui tend bien vers 0 ; en fait : $0< P_n < \frac{1}{2}$
Cordialement