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Théorie alternative des ensembles de Vopenka

MartialMartial
Modifié (November 2022) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous
J'en suis à l'étude de la Vopenka's alternative set theory, que tout le monde appelle AST. Dans l'introduction de son livre : "Mathematics in Alternative Set Theory" (1979), Vopenka annonce qu'on peut obtenir un modèle de AST à partir d'un modèle $\omega$-saturé de cardinalité $\aleph_1$ de l'arithmétique de Peano.
Qu'est-ce que c'est exactement qu'un modèle $\omega$-saturé ? (J'ai dû le savoir, mais ça me sort de la tête).
J'ai aussi une autre question, moins intéressante celle-ci : que signifie la locution "w.r.t." ?
Merci d'avance
Martial

Réponses

  • Médiat_SuprèmeMédiat_Suprème
    $\omega$-saturé = modèle qui réalise tous les types sur des sous-ensembles finis de paramètres
    wrt = with regard to
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • MartialMartial
    Merci @Médiat_Suprème. OK pour w.r.t.
    Pour ce qui est de la réalisation des types tu peux me donner une définition un peu plus explicite ? Ou alors un exemple ?
    (Je ne suis pas très à l'aise avec les types).
  • Médiat_SuprèmeMédiat_Suprème
    Un exemple de 1-type non réalisé par $(\mathbb N, <)$ : 

    $\varphi_n = \exists x (x > n)$
    L'ensemble des $\varphi_n$ est consistant (par compacité) mais n'est pas réalisé par $\mathbb N$, cela voudrait dire qu'il existe un entier plus grand que tous les entiers.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Math CossMath Coss
    J'aurais dit "with respect to" mais ça ne change pas grand-chose.
  • MartialMartial
    @Math Coss  : merci, mais oui, effectivement, l'idée est la même.

    @Médiat_Suprème  : ce que je ne comprends pas c'est comment un modèle de cardinalité $\aleph_1$ peut réaliser tous les types. Si je reprends ton exemple avec pour modèle un certain $\mathbb{M}$ de cardinal $\aleph_1$ à la place de $\mathbb{N}$ et si je considère l'ensemble des $\varphi_n$ avec $n \in \mathbb{M}$ j'obtiens le même problème que celui que tu signales ci-dessus, non ? Ou alors je délire ?
  • CalliCalli
    Modifié (November 2022)
    Bonjour,
    Si je ne dis pas de bêtise :
    La collection des "$x>n$" avec $n$ un entier naturel intuitif est un type sur un ensemble fini de paramètres, et même sur un ensemble vide de paramètres puisque tout entier naturel $n$ est de la forme $s(s(\dots s(s(0))\dots))$.
    En revanche, la collection des "$x>m$" avec $m$ dans $\Bbb M$ n'est pas un type sur un ensemble fini de paramètres car son ensemble de paramètres est $\Bbb M$, qui est infini. Donc la définition de $\omega$-saturé "ne s'applique pas" sur ce type là.
    Médiat_Suprème a dit :
    $\omega$-saturé = modèle qui réalise tous les types sur des sous-ensembles $\color{red}\text{finis}$ de paramètres
  • Médiat_SuprèmeMédiat_Suprème
    Si vous voulez un exemple simple de modèle saturé, on considère $(\mathbb Q <)$, c'est un modèle saturé, il réalise tous ses types (facile à voir puisque sa théorie est $\aleph_0$-catégorique)

    Pour les cardinaux plus grands : $(\mathbb C, +, \times)$ est un modèle saturé de la théorie des corps algébriquement clos de cardinal $2^{\aleph_0}$
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Médiat_SuprèmeMédiat_Suprème
    Suite à la réponse de @Calli je me rends compte que j'avais mal analysé la question, mais comme cette réponse est correcte ...
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • MartialMartial
    J'ai encore une question. Un des axiomes de AST est l'axiome des ensembles successeurs : soit $\varphi(x)$ une formule ensembliste. On suppose que $\varphi(\emptyset)$ est vraie et que, dès l'instant que $\varphi(x)$ est vraie, $\varphi(x \cup \{y\})$ est vraie pour tout $y$. Alors $\forall x \varphi(x)$.

    Quelqu'un sait-il si ce truc est un théorème de ZFC (ou d'une théorie plus faible) ?
  • marcomarco
    Modifié (November 2022)
    [Qu'est-ce qu'une formule ensembliste ? Ma réponse doit être fausse.]
    Soit $\phi$ définie par $\phi(x)$ est vraie ssi $x$ est fini, alors $\phi$ vérifie la propriété, car $\emptyset$ est fini et si $x$ est fini, $x \cup \{y \}$ est fini, mais on n'a pas $\forall x, \phi(x)$ car $\phi( \omega)$ est faux.
  • MartialMartial
    Merci @marco, ta réponse est juste. "$x$ est fini" est bien une formule ensembliste. Elle peut s'écrire "pour tout entier $n$, $x$ n'est pas en bijection avec $n$". Et modulo ACD c'est équivalent à "il n'existe pas de bijection de $x$ sur une partie stricte de lui-même".

    C'était trop facile, lol.
  • PoirotPoirot
    "$x$ est fini" est une formule ensembliste, (en présence de l'axiome du choix) c'est une abréviation de "il n'existe pas de partie propre de $x$ en bijection avec $x$", le tout étant lui-même une abréviation d'une formule assez longue que l'on peut exprimer uniquement avec des $\varepsilon$.
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Modifié (November 2022)
    @Poirot : Et l'existence d'une bijection avec un entier, ça ne te plaît pas ? "$n$ est entier" étant une abréviation de "$\forall X,\ X \mbox{ transitif } \Rightarrow n \in X$".

    EDIT : En fait j'ai lu le fil en diagonale, je parle peut-être à côté.
  • Thierry PomaThierry Poma
    Modifié (November 2022)
    @Martial : bonjour. Je contextualise en déposant deux reproductions :
    Il s'agit d'un schéma d'axiomes d'induction.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • MartialMartial
    D'abord je ne comprends pas pourquoi je n'ai pas trouvé tout seul la réponse suggérée par @marco. J'étais plongé dans AST, où tout est fini, ou presque, et puis je ne rajeunis point.
    @Poirot : @Georges Abitbol  a raison : tu n'as pas besoin de AC (ni même de ACD) pour affirmer que "$x$ est fini" est une formule ensembliste. Mais c'est vrai qu'en présence de ACD tu obtiens une formulation plus sympa.
    @Thierry Poma : oui, c'est effectivement sur ce livre que je bosse... et c'est effectivement un schéma d'axiomes.
  • Médiat_SuprèmeMédiat_Suprème
    @Martial, je suppose que @Poirot voulait dire que la définition de fini par "il n'existe pas de partie propre de $x$ en bijection avec $x$", ne correspond à notre intuition de fini (ou avec la définition de Tarski) qu'avec axiome du choix.

    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • MartialMartial
    @Médiat_Suprème  : oui, bien sûr.

    @Poirot : Je pense (enfin j'espère) que tu avais compris que ce n'était point une critique de ma part. C'était juste une clarification plus ou moins m..deuse.
  • PoirotPoirot
    Il n'y a pas de mal, et je confirme le dernier message de Médiat Suprême.
  • FoysFoys
    Modifié (November 2022)
    Soit $x$ un ensemble. Les énoncés "$\N$ s'injecte dans $x$" et "il existe $y \in \mathcal P(x) \setminus \{x\}$ en bijection avec $x$" sont équivalents sans axiome du choix. En effet si $f: x \to y$ est une bijection, $y \subseteq x$ et $t\in x \setminus y$ alors $u_0:= t$ et pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}:= f (u_n)$ définit une fonction injective.
    On aurait plutôt besoin de AC pour montrer que si $x$ est un ensemble dans lequel ne s'injecte pas $\N$ alors $x$ est en bijection avec un ordinal fini (i.e. un entier).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • MartialMartial
    Je fais remonter ce fil car je coince sur un truc tout bête. J'en suis à essayer de prouver la consistance de la théorie de Vopenka relativement à ZFC. Pour cela je pars d'un modèle de ZFC satisfaisant l'hypothèse du continu, par exemple $\mathbb{L}$, et je considère la structure $(\widetilde{V}, \widetilde{E})$ obtenue comme une ultrapuissance du type $HF^\omega / \mathscr U$, où $HF$ désigne l'ensemble des ensembles héréditairement finis (donc en fait $HF=V_\omega$), et $\mathscr U$ est un ultrafiltre non principal sur $\omega$. Et je veux montrer que $(\widetilde{V}, \widetilde{E})$ est un modèle $\omega$-saturé de cardinal $\aleph_1$.
    De cardinal $\aleph_1$ ça roule grâce à HC. Mais pour la $\omega$-saturation il faut que je me donne une partie finie $A=\{x_1,...,x_k\} \subseteq \widetilde{V}$, et une famille $(X_i)_{i \in I}$ de sous-ensembles de $\widetilde{V}$ définissables avec paramètres dans $A$. Autrement dit je dispose d'une famille $(\varphi_i)_{i \in I}$ de formules à (au plus) $n+1$ variables libres, avec $X_i=\{x \in \widetilde{V} : (\widetilde{V}, \widetilde{E}) \models \varphi_i(x,a_1,...,a_n)\}$. Je suppose de plus que pour tout $J \subseteq I$ avec $J$ fini on a $\bigcap \limits_{i \in J} X_i \neq \emptyset$, et il faut que je démontre que $\bigcap \limits_{i \in I} X_i \neq \emptyset$.
    Et là je ne sais pas du tout comment faire. J'ai bien essayé d'utiliser le théorème de Los mais je me perds dans les notations.
  • MartialMartial
    C'est normal que le latex n'apparaisse plus dans aucun message, ou ça vient de chez moi ?
  • JLapinJLapin
    Non, c'est normal.
  • MartialMartial
    OK, merci @JLapin.
  • raoul.Sraoul.S
    J'adore. JLapin est tellement saoulé des erreurs 504 qu'à la question de savoir s'il est normal que le latex n’apparaisse plus il répond que oui c'est normal... d'ailleurs c'est bien le comportement attendu sur un forum de math, le latex ne doit surtout pas compiler 🤣 
  • JLapinJLapin
    :) J'imagine que c'est en maintenance. Quant à l'augmentation de la capacité de charge du forum, je n'y crois plus trop ...
  • raoul.Sraoul.S
    JLapin a dit :
    J'imagine que c'est en maintenance.
    Tu es bien optimiste. À mon avis c'est un autre bug...
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