Polytechnique signe de $\binom{n}{k} -2^k$... dimanche 20 novembre 2022
Bonjour
$n\geq 1$ entier fixé
1/ Déterminer le signe de $\binom{n}{k} -2^k$ sachant que $0\leq k \leq n$ avec $k$ entier
2/ Calculer $$A(n)=\sum_{k=0}^{n} \mid \binom{n}{k} - 2^k \mid $$
Merci.
$n\geq 1$ entier fixé
1/ Déterminer le signe de $\binom{n}{k} -2^k$ sachant que $0\leq k \leq n$ avec $k$ entier
2/ Calculer $$A(n)=\sum_{k=0}^{n} \mid \binom{n}{k} - 2^k \mid $$
Merci.
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Réponses
PS.
Il nous faudrait une formule pour savoir évaluer les sommes :
PS2.
Une telle formule, hélas, n'existe pas selon Wikipedia.
Il semble que la somme $0\leq m\leq n,S_m\displaystyle \sum_{k=0}^m\left(\binom{n}{k}-2^k\right)$ n'est négative que pour $m=n$.