Polytechnique signe de $\binom{n}{k} -2^k$... dimanche 20 novembre 2022

etanche · November 2022

Bonjour
$n\geq 1$ entier fixé
1/ Déterminer le signe de $\binom{n}{k} -2^k$ sachant que $0\leq k \leq n$ avec $k$ entier
2/ Calculer $$A(n)=\sum_{k=0}^{n} \mid \binom{n}{k} - 2^k \mid $$
Merci.

rebellin · November 2022

Je viens d'essayer avec un tableur. Rien de bien probant...

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/rv/z6u50krtdluz.png

Poirot · November 2022

Moi je trouve ça probant ! Appelons $u_{n, k}$ notre quantité. Ton tableau suggère que, à l'exception de $n=0$ et donc $m=0$ dans la formule qui suit), lorsque $T_m \leq n < T_{m+1}$ alors $u_{n ,k} < 0$ si et seulement si $n-m+1 \leq k \leq n$, où $T_m = \frac{m(m+1)}{2}$ est le $m$-ième nombre triangulaire.

Peut-être que ça ouvre une piste de démonstration...

etanche · November 2022

Je viens d’ajouter la 2ème question le calcul de $A(n)$

Fin de partie · November 2022

Je sais montrer que les nombres $\displaystyle \binom{n}{k}-2^k$ ne sont pas tous positifs lorsque $n\geq 1$.

\begin{align}\sum_{k=0}^n\left(\binom{n}{k}-2^k\right)=2^n-\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^n-2^{n+1}+1=1-2^n<0\end{align}
PS.
Il nous faudrait une formule pour savoir évaluer les sommes :

\begin{align}\sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\end{align} quand $0\leq m\leq n$
PS2.
Une telle formule, hélas, n'existe pas selon Wikipedia.

Fin de partie · November 2022

Un phénomène très curieux observé.
Il semble que la somme $0\leq m\leq n,S_m\displaystyle \sum_{k=0}^m\left(\binom{n}{k}-2^k\right)$ n'est négative que pour $m=n$.

Polytechnique signe de $\binom{n}{k} -2^k$... dimanche 20 novembre 2022

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 10