Polynôme à 3 variables, triplets de racines entières
Cette équation sort d'un mème internet. Je préviens juste au cas où.
On cherche s'il existe des triplets d'entiers naturels non nuls tels que $\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=10$.
Je ne sais pas trop comment résoudre ça. Ma seule idée pour l'instant est d'écrire ça comme une équation polynomiale $P(x,y,z)=0$ et d'espérer qu'on puisse dire quelque chose sur $P$. Mais les polynômes à $3$ variables, je ne connais pas beaucoup d'outils pour les étudier.
Je montre mon calcul de $P$ pour vous l'économiser.
$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=10$
$\Longrightarrow x(x+y)(x+z)+y(x+y)(y+z)+z(y+z)(x+z)=10(x+y)(y+z)(x+z)$
$\Longrightarrow (x^2+xy)(x+z)+(xy+y^2)(y+z)+(yz+z^2)(x+z)=10(xy+xz+y^2+yz)(x+z)$
$\Longrightarrow x^3+y^3+z^3-9x^2y-9x^2z-9xz^2-9xy^2-9y^2z-9yz^2-17xyz=0$
Donc $P(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-9x^2y-9x^2z-9xz^2-9xy^2-9y^2z-9yz^2-17xyz$. C'est un polynôme homogène et $(0,0,0)$ est un triplet entier de racines, mais ça ne m'avance pas. Si quelqu'un a une piste, je suis preneur.
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Réponses
Comme c'est un polynôme symétrique, on peut l'exprimer en fonction de $s_1=x+y+z, s_2=xy+yz+zx, s_3=xyz$:
$P(x,y,z)=s_1^3 - 12s_1s_2 + 13s_3$.
Cordialement,
Rescassol
En cherchant les triplets $(x, y, z) $ de rationnels positifs tels que $x+y+z=1$...
@Homo Topi Je te conseille en première lecture le très accessible Rational points on elliptic curves de Silverman et Tate !
(Et, plus psychanalytiquement, pourquoi noter psy plutôt que psi l'inverse de phi ?)
Pour avoir un autre point de vue : j'ai un bon souvenir du bouquin de Perrin. Quand j'étais étudiant, le prof qui faisait le cours sur les variétés affines et projectives avait pour références Hartshorne et Shafarevic et la lecture du Perrin en parallèle me permettait d'éclaircir certains points qui me posaient des difficultés. De toute façon, sur un sujet comme ça, je pense que c'est une erreur de vouloir se limiter à une seule référence.
À propos : la cubique se paramètre alors (en coordonnées cartésiennes) par $t\mapsto(1-4a,1-4ta)$, où $a=\displaystyle\frac{1-t+t^2}{(1+t)(2-3t+2t^2)}\cdot$
Donc $s\geqslant3f((x+y+z)/3=3/2$, avec égalité ssi $x=y=z=1/3$. De là à penser que le point $(1:1:1)$ est isolé (et donc multiple !)
À ce propos, on a un autre cas particulier intéressant : lorsque $x+y+z=0$, on a $\displaystyle\frac{x}{y+z}+\cdots=-3$ ; dans ce cas, la cubique contient une droite et se décompose en la réunion de cette droite et d'une conique, ici l'hyperbole d'équation cartésienne $X^2+3XY+Y^2+3X+3Y+1=0$. Puisqu'elle contient le point $(-1,-1)$, elle admet un paramétrage dans $\Q(T)$ et l'on obtient par exemple la solution non triviale $(19,5,-11)$ pour l'équation initiale.
Math Coss : sachant que $C_\infty$ se décompose elle aussi, a-t-on atteint le maximum possible de cubiques non elliptiques dans un faisceau linéaire <<générique>> de cubiques ?
Pour la vraie question, je ne sais pas. Vu que deux des trois cubiques (les plus dégénérées) ont le même groupe de symétrie $\mathfrak S_3$, il est envisageable qu'il y ait des éléments dégénérés dans le faisceau qui ont fusionné.
Apparemment, nous en avons moins dans le nôtre, ou bien ma recherche d'exhaustivité en a manqué.
En attendant, voici encore une figure pour @Homo Topi.