Polynôme à 3 variables, triplets de racines entières

Homo Topi · November 2022

Cette équation sort d'un mème internet. Je préviens juste au cas où.

On cherche s'il existe des triplets d'entiers naturels non nuls tels que $\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=10$.

Je ne sais pas trop comment résoudre ça. Ma seule idée pour l'instant est d'écrire ça comme une équation polynomiale $P(x,y,z)=0$ et d'espérer qu'on puisse dire quelque chose sur $P$. Mais les polynômes à $3$ variables, je ne connais pas beaucoup d'outils pour les étudier.

Je montre mon calcul de $P$ pour vous l'économiser.

$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=10$

$\Longrightarrow x(x+y)(x+z)+y(x+y)(y+z)+z(y+z)(x+z)=10(x+y)(y+z)(x+z)$

$\Longrightarrow (x^2+xy)(x+z)+(xy+y^2)(y+z)+(yz+z^2)(x+z)=10(xy+xz+y^2+yz)(x+z)$

$\Longrightarrow (x^3+x^2z+x^2y+xyz)+(xy^2+xyz+y^3+y^2z)+(xyz+yz^2+xz^2+z^3)=10(x^2y+xyz+x^2z+xz^2+xy^2+y^2z+xyz+yz^2)$

$\Longrightarrow x^3+y^3+z^3-9x^2y-9x^2z-9xz^2-9xy^2-9y^2z-9yz^2-17xyz=0$

Donc $P(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-9x^2y-9x^2z-9xz^2-9xy^2-9y^2z-9yz^2-17xyz$. C'est un polynôme homogène et $(0,0,0)$ est un triplet entier de racines, mais ça ne m'avance pas. Si quelqu'un a une piste, je suis preneur.

Rescassol · November 2022

Bonjour
Comme c'est un polynôme symétrique, on peut l'exprimer en fonction de $s_1=x+y+z, s_2=xy+yz+zx, s_3=xyz$:
$P(x,y,z)=s_1^3 - 12s_1s_2 + 13s_3$.
Cordialement,
Rescassol

Math Coss · November 2022

J'ai aussi fait ça spontanément, et après ? Partant d'un triplet dont on connaît les fonctions symétriques, je ne sais pas dire si ledit triplet est formé d'entiers.

Homo Topi · November 2022

J'avais aussi pensé exprimer $z$ en fonction de $x,y$ mais je ne sais pas si troquer une inconnue pour un degré plus grand vaut la peine...

Ludwig · November 2022

Je note $x=p(y+z)$, $y=q(x+z)$. Et $z=r(x+y)=(10-p-q)(x+y)=(10-p-q)(p(y+z)+q(x+z))$.

On a donc $z=(10-p-q)(z(p+q)+py+qx)$.

Comme tous ces nombres sont strictement positifs il faut que $(10-p-q)(p+q)<1$.

On pose $a=p+q$ ce qui nous fait $a(10-a)<1$, on résout pour trouver que $r$ doit être supérieur à environ $9.8$ ou bien inférieur à environ $0.11$. Par symétrie on a les mêmes conditions pour $p$ et $q$, mais non, cela ne permet pas de conclure.

Lars · November 2022

Bonsoir
En cherchant les triplets $(x, y, z) $ de rationnels positifs tels que $x+y+z=1$...

Poirot · November 2022

Une lecture liée : https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4

En résumé, ça mène à trouver des points rationnels positifs d'une courbe elliptique, un problème notoirement difficile.

Homo Topi · November 2022

Je m'attendais un peu à ce qu'on me dise ça. Bon, ben, plus qu'à étudier en détail la géométrie algébrique !

Lars · November 2022

Si un triplet rationnel $(x, y, z)$ est solution, alors le triplet $(tx, ty, tz)$ est solution où $t$ rationnel.

On suppose que $x+y+z=1$ avec $(x, y, z)$ triplet de rationnels positifs.

L'équation à satisfaire s'écrit $f(x)+f(y)+f(z) =20$ où $f$ est définie par $\forall t\in] 0;1[, f(t):=\frac{t}{1-t}$

La restriction de $f$ aux rationnels réalisé une bijection entre les rationnels de $] 0;1[$ et les rationnels de $]0;+\infty[$

On choisit $x$ rationnel positif tel que $f(x)<20$ puis $y$ rationnel tel que $f(y) <20-f(x)$ puis $z$ tel que $f(z)=20-f(x)-f(y)$

On obtient un triplet $(x, y, z)$ de rationnels strictement positifs tels que $f(x)+f(y)+f(z)=20 $

Erreur : ce triplet n'a aucune raison de vérifier $x+y+z=1$

i.zitoussi · November 2022

@Poirot Merci pour le lien. L'exposé de Alon Amit est particulièrement bien écrit.

Poirot · November 2022

Homo Topi a dit :

Je m'attendais un peu à ce qu'on me dise ça. Bon, ben, plus qu'à étudier en détail la géométrie algébrique !

@Homo Topi Je te conseille en première lecture le très accessible Rational points on elliptic curves de Silverman et Tate !

Homo Topi · November 2022

J'ai déjà le bouquin de Perrin à lire, en plus des 450 autres trucs que j'ai envie d'apprendre

. J'essaierai de retenir le titre, mais ma vie ne sera pas assez longue pour lire tous les bouquins qu'on me recommande. Si seulement je pouvais être étudiant professionnel...

En attendant, je m'étais fait une autre réflexion. Notons $f(x,y,z)=\dfrac{x}{y+z}$ et $\sigma$ la permutation circulaire $(x,y,z) \longmapsto (y,z,x)$.

Alors $P(x,y,z) = f(x,y,z) + f(\sigma(x,y,z)) + f(\sigma^2(x,y,z)) = \displaystyle \sum_{k=0}^2 f(\sigma^k(x,y,z))$. Peut-on extraire une information utile de ça ? Permutations, groupes, symétries...

Math Coss · November 2022

Je ne pense pas, parce que la fraction résultante admet une symétrie de plus -- elle est invariante par le groupe symétrique entier, pas seulement par le 3-cycle.

Homo Topi · November 2022

Hmmm... je me demandais s'il n'était pas possible d'utiliser ces informations pour obtenir une représentation cohérente plane d'une portion de courbe/surface qui contiendrait l'essentiel de l'information. Un peu comme quand on utilise des symétries pour réduire le domaine d'étude d'une courbe paramétrée, mais en plus ambitieux (plus ambitieux parce que j'en aurais besoin pour espérer "voir" quelque chose, pas parce que je m'attends à ce que ce soit possible).

Poirot · November 2022

A mon avis la lecture de Silverman-Tate devrait se faire avant celle du livre de Perrin (que je n'apprécie pas particulièrement d'ailleurs, mais c'est un autre problème).

Homo Topi · November 2022

Je prends note !

Math Coss · November 2022

Voici un triplet solution (peut-être le plus petit ; le z a tout de même 190 chiffres).

x = 221855981602380704196804518854316541759883857932028285581812549404634844243737502744011549757448453135493556098964216532950604590733853450272184987603430882682754171300742698179931849310347
y = 269103113846520710198086599018316928810831097261381335767926880507079911347095440987749703663156874995907158014866846058485318408629957749519665987782327830143454337518378955846463785600977
z = 4862378745380642626737318101484977637219057323564658907686653339599714454790559130946320953938197181210525554039710122136086190642013402927952831079021210585653078786813279351784906397934209

Homo Topi · November 2022

Oui, ça ressemble aux solutions sur le mème internet dont j'ai tiré l'équation, mais comment obtiens-tu ça ?

Math Coss · November 2022

D'abord, comme proposé par @Lars plus haut, on chasse les dénominateurs et on cherche des solutions rationnelles positives $(x,y)$ de l'équation polynomiale avec $z=1$. Pour cela, on fait comme indiqué dans le lien de @Poirot pour chercher des points rationnels positifs sur une courbe cubique.

On commence par trouver des solutions pas nécessairement positives par force brute : $(-1,0)$, $(-1,-1)$, $(-1,1)$ (pas solutions de l'équation initiale mais qu'importe), $(-7/19, 9/19)$, $(-16/23, 19/23)$ (peut-être pas facile à trouver à la main mais avec un ordinateur, c'est peanuts).
On joue alors au jeu des sécantes et des tangentes : étant donné deux points, la droite qui passe par ces deux points coupe la cubique en un troisième point ; étant donné un point, la tangente à la cubique coupe la cubique en un deuxième point (en fait, troisième si on compte le point initial comme double). À partir de ceux qu'on a, on calcule plein de points systématiquement, puis on choisit ceux qui sont positifs. L'affaire est dans le sac.

NB : Je peux bien sûr mettre mon code à disposition mais il me faut un peu de temps pour le nettoyer et le rendre présentable, temps que je n'ai plus à cette heure.

Homo Topi · November 2022

Donc il y a des algorithmes pour résoudre ce genre de calculs, d'accord (dans le sens, ce n'est pas un gros bordel de raisonnement). Vu l'emphase que mon bouquin de Perrin met sur le théorème de Bézout (mentionné dans ladite méthode des sécantes/tangentes) je pense que l'un ou l'autre exercice du livre sur une courbe elliptique reprendra le concept ici, en plus simple.

Sinon, vu que c'est un algo, je serais surpris qu'il existe un triplet d'entiers strictement positifs plus simple que celui-là, s'il va jusqu'à 3 nombres de 190 chiffres pour trouver une seule solution je doute qu'il ait juste loupé plus petit. Après, je n'en sais rien.

Poirot · November 2022

Tu ne trouveras pas de tel exercice je pense, ce n'est pas l'un des objectifs du Perrin. Par contre, c'est complètement l'objet du bouquin de Silverman et Tate...

Quant au fait qu'il s'agit du triplet le plius simple, méfiance, l'algorithme employé tombe dessus "par hasard". Peut-être qu'en partant d'un autre point rationnel, on finirait par tomber sur un itéré plus "petit" à coefficients tous positifs. Dans le lien que j'ai donné, il est dit que l'on prouve que la grosse solution explicitée est bien la plus "petite" en utilisant la théorie des hauteurs.

Homo Topi · November 2022

Je le chercherai, ce livre, si j'ai le temps de m'y intéresser !

En tout cas merci aux intervenants, je ne vois pas trop quoi rajouter dans ce fil.

Math Coss · November 2022

Moi, j'ajoute des remerciements parce que faire le calcul m'a bien amusé et j'ajouterai le code plus tard.

Julia Paule · November 2022

Bonjour à tous,

Je rajoute que je déconseille aussi le livre de Daniel Perrin pour découvrir la géométrie algébrique. Les démos sont esquissées (on passe un temps fou à les faire), rien n'est intuitif, ce livre n'est pas agréable et énervant (par exemple j'ai mis une journée à comprendre le haut de la page 20, et ne vois pas comment démontrer le théorème 5.1. avec l'indication). Quelqu'un dans le forum a dit qu'il regrette d'avoir découvert la géométrie algébrique avec ça. Quelqu'un a écrit aussi que c'est l'habitude des auteurs français. Voilà, si tu as encore envie d'acheter ce livre ...

Par contre, j'ai vu un cours de l'ENS sur internet que j'aimerais bien retrouver.

Poirot · November 2022

@Julia Paule Content de ne pas être le seul à avoir passé un mauvais moment avec le Perrin. Peut-être pensais-tu à ce polycopié relativement célèbre ?

gai requin · November 2022

Bonsoir,

Selon les idées de @Math Coss (qui parle en fait de courbes elliptiques sans le dire

), je retrouve sa solution sans trop d'efforts en faisant travailler mon esclave magma

> P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> C0 := Curve(P2,x*(x+y)*(x+z)+y*(y+x)*(y+z)+z*(z+x)*(z+y)-10*(x+y)*(x+z)*(y+z));
> a:=C0 ! [-1,1,0];
> C,phi:=EllipticCurve(C0,a);
> C;
Elliptic Curve defined by y^2 - 1/325*x*y = x^3 + 207/105625*x^2 + 27/34328125*x
+ 1/11156640625 over Rational Field
> psy:=Inverse(phi);
> b:= C ! [-2/1625,7/528125,1];
> psy(13*b);
(486237874538064262673731810148497763721905732356465890768665333959971445479055\
9130946320953938197181210525554039710122136086190642013402927952831079021210585\
653078786813279351784906397934209/221855981602380704196804518854316541759883857\
9320282855818125494046348442437375027440115497574484531354935560989642165329506\
04590733853450272184987603430882682754171300742698179931849310347 :
2691031138465207101980865990183169288108310972613813357679268805070799113470954\
4098774970366315687499590715801486684605848531840862995774951966598778232783014\
3454337518378955846463785600977/22185598160238070419680451885431654175988385793\
2028285581812549404634844243737502744011549757448453135493556098964216532950604\
590733853450272184987603430882682754171300742698179931849310347 : 1)

Homo Topi · November 2022

Le Perrin, je l'ai déjà. Tant pis...

Math Coss · November 2022

D'où est-ce que tu as sorti le point $b$ ?
(Et, plus psychanalytiquement, pourquoi noter psy plutôt que psi l'inverse de phi ?)

gai requin · November 2022

Je vois que tu suis

Je devais éviter les points de torsion.

> RationalPoints(C:Bound:=10000);
{@ (0 : 1 : 0), (0 : 1/105625 : 1), (0 : -1/105625 : 1), (-2/1625 : 7/528125 :
1), (-2/1625 : -9/528125 : 1), (-3/4225 : 16/1373125 : 1), (-3/4225 :
-19/1373125 : 1), (-1/4225 : 0 : 1), (-1/4225 : -1/1373125 : 1), (-2/8125 :
-1/2640625 : 1) @}

raoul.S · November 2022

Je l'ai aussi le Perrin. C'est vrai qu'il n'est pas facile à lire, je me suis arrêté au milieu du chapitre 3 il y a déjà de nombreuses années... la flemme m'a vaincu. Ceci dit je ne savais pas qu'il n'avait pas une bonne réputation.

Julia Paule · November 2022

Merci @Poirot pour la référence. Ce n'est justement pas ce cours que je cherche (que je connais déjà), qui aborde la géométrie algébrique sous l'angle des catégories. Je trouve que cela fait deux morceaux en même temps, que je préfère au moins au début dissocier.

gai requin · November 2022

@MathCoss : Quand une courbe elliptique est de rang $1$, il existe un algorithme qui permet de rechercher un point de Heegner de cette courbe qui est d'ordre infini. Bon, quand le conducteur n'est pas trop grand...

Ici, ça marche.

> C;
Elliptic Curve defined by y^2 - 1/325*x*y = x^3 + 207/105625*x^2 + 27/34328125*x
+ 1/11156640625 over Rational Field
> HeegnerPoint(C);
true (-3/4225 : -19/1373125 : 1)

b.b · November 2022

Bonjour,

Pour avoir un autre point de vue : j'ai un bon souvenir du bouquin de Perrin. Quand j'étais étudiant, le prof qui faisait le cours sur les variétés affines et projectives avait pour références Hartshorne et Shafarevic et la lecture du Perrin en parallèle me permettait d'éclaircir certains points qui me posaient des difficultés. De toute façon, sur un sujet comme ça, je pense que c'est une erreur de vouloir se limiter à une seule référence.

Math Coss · November 2022

Comment sait-on que cette courbe est de rang $1$ ? Après, l'histoire des points de Heegner a l'air compliquée (plus que ce que Wikipedia permet de comprendre...).

Voici une version complètement à la main en Sage – oui, bien sûr, la règle des sécantes et des tangentes est essentiellement la somme sur la courbe elliptique.

# définition des variables et de l'équation
var('x y z')
e = (x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)-10).numerator()
# recherche brutale de quelques solutions entières relatives
tmp = []
for k in range(-40,0):
    for l in range(-k,50):
        for m in range(l,50):
            if e.subs({x:k, y:l, z:m})==0 and (k+l)*(l+m)*(m+k)!=0:
                ttmp = [k,l,m]
                if not ttmp in tmp:
                    tmp.append(ttmp)
print tmp
# renvoie [[-32, 38, 46], [-16, 19, 23], [-14, 18, 38], [-7, 9, 19]]
# jeu des sécantes et des tangentes
def secante_tangente(p,q,eq):
    '''renvoie le troisième point de la cubique d'équation eq
    sur la droite (pq) si p ≠ q, ou sur la tangente en p si p = q'''
    var('t')
    # vérification basique
    if eq.subs({x:p[0], y:p[1]}) !=0:
        print "p pas sur la courbe !"
    if eq.subs({x:q[0], y:q[1]}) !=0:
        print "q pas sur la courbe !"
    # deux points distincts : sécante
    if p!=q:
        # paramétrage de la sécante
        f = eq.subs({x: p[0]+t*(q[0]-p[0]), y: p[1]+t*(q[1]-p[1])})
        # simplification par les solutions correspondant à p et q
        g = f.expand().factor()/(t-1)/t
        # troisième point : paramètre t et coordonnées
        t0 = -g.subs(t=0)/g.coefficient(t)
        D = {x: p[0]+t0*(q[0]-p[0]), y: p[1]+t0*(q[1]-p[1])}
        return (x.subs(D), y.subs(D))
    # deux points égaux : tangente en ce point
    # (pas de vérification que le point est régulier)
    if p==q:
        # gradient
        a, b = diff(eq,x).subs({x:p[0], y:p[1]}), diff(eq,y).subs({x:p[0], y:p[1]})
        # paramétrage de la tangente
        f = eq.subs({x: p[0]-t*b, y: p[1]+t*a})
        # simplification : on écarte la solution double t=0
        g = f.expand().factor()/t^2
        # troisième point : paramètre t et coordonnées
        t0 = -g.subs(t=0)/g.coefficient(t)
        D = {x: p[0]-t0*b, y: p[1]+t0*a}
        return (x.subs(D), y.subs(D))

# affinisation
eq = e.subs(z=1)
# quelques points rationnels trouvés par force brute plus haut
P0, Q0, R0, S0 = (-7/19, 9/19), (-16/23, 19/23), (-1,1), (-1,-1)
# on produit de nouveaux points à partir de ceux qu'on connaît
L = [P0, Q0, R0, S0]
for _ in range(4):
    tmp = []
    for l in L:
        for m in L:
            try:
                qq = secante_tangente(l,m,eq)
                if not qq in tmp:
                    tmp.append(qq)
            except:
                pass
    print "Nombre de points connus : %s" % len(tmp)
    L = copy(tmp)

Lpos = [sorted([l[0].numerator(), l[1].numerator(),l[0].denominator()]) for l in L if l[0]>0 and l[1]>0]
x0, y0, z0 = Lpos[0]
print "%s chiffres pour z" % len(str(z0))
for u in [("x",x0),("y",y0),("z",z0)]:
    print "%s = %s" % u

Out:

190 chiffres pour z
x = 221855981602380704196804518854316541759883857932028285581812549404634844243737502744011549757448453135493556098964216532950604590733853450272184987603430882682754171300742698179931849310347
y = 269103113846520710198086599018316928810831097261381335767926880507079911347095440987749703663156874995907158014866846058485318408629957749519665987782327830143454337518378955846463785600977
z = 4862378745380642626737318101484977637219057323564658907686653339599714454790559130946320953938197181210525554039710122136086190642013402927952831079021210585653078786813279351784906397934209

Math Coss · November 2022

Ce qu'on peut ajouter ? Pour rire, on peut faire tourner le code avec $6$ à la place de $10$ dans l'équation initiale (première ligne du code). On obtient une solution bien plus petite...

134 chiffres pour z
x = 1218343242702905855792264237868803223073090298310121297526752830558323845503910071851999217959704024280699759290559009162035102974023
y = 2250324022012683866886426461942494811141200084921223218461967377588564477616220767789632257358521952443049813799712386367623925971447
z = 20260869859883222379931520298326390700152988332214525711323500132179943287700005601210288797153868533207131302477269470450828233936557

Avec $12$ à la place de $10$, ça a l'air plus exigeant. Peut-être @gai requin peut-il produire des solutions plus efficacement avec son artillerie elliptique.

On peut aussi jouer à ajouter une variable et étudier \[\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+t}+\frac{z}{t+x}+\frac{t}{x+y}=10.\]Rien de ce qui précède ne s'applique...

PS : Voici une solution obtenue après beaucoup plus de calculs pour $12$ à la place de $10$.

2707 chiffres pour z
x = 15005139565860736763458341888277246669800917803451746050583273400715982099837403176113296847475185976756652047440275017074775842731251457070452506310127045793157004705314998510420668730857007240005795085242686431781627917323426379201761314950027013285864399613886772499281736568347611340263975429577142166702201063375398633450065463875380756093259994927320814118587099516324240461912632542702403769655077082910111325717872818655351195972423326920910774019375217547818617777594566553005296286010434220827705898550174503512741982689891718193302255887810600113575626674519637599464126736317794011496921049221780088361486327340615106133145625532976792763116668749863627774102480005679930847564855412397521958807943122139773299270042060855949279832368073131275272157457924350795364452545059731505489213114532274187024941975023879272545876008987860044495715361544031881307127548431342169879818157354479530441690802992599967987217390662562892519903303360710222184944146353798546020021289539244466666625731864973834155518849881084586850976828816614412898850099045007533710065404880977676095981468500418745910601937983328408011472834864562958198625889064399735833175925213563782864358141797854122261226080861334160680051998607634619715206456369293389739855695240455381992412355099022475063172952243313864435755767083105044703427587463927407959699589054415416719413592111893140709860056473544647835313796605173452193192463582506545408273322254040456395140639770557157602406440852230775856467446547484553674842588028417303690239621561956975462808638122616139539659219446269459463761467813590244926329159475065245054377958764935005691032853067872353678694706180453355669837388217456047386808873776013300423651952933998588465253392279628463312932270321112022118750638896610609067113888582845065465140530298353940969697033244572850497873558928197312865560070641320013592024102221957068468232776836442714916190693202596160053949514253947218189861665246400445873406173999178172668338893701484615187801121529035682206426711826759951635476414051520005793126021640148301977378421160381833468735277609594293185007573221617981946768104039124031980391299835136028001296624791195020438592644189410728938527125322143787173421654548875312321822218888418989152434162922844902988819725197435941761609444737506151258978717279584975091671266014534640029235044134008011646589917908919845835621640412439886398470320567423621434888139345821780578676222580081436182615524908587468555077199709243129023330282618380648590527142467912473499500647541234569774036558932876253916132474064439663814027586142529421539782483595424474055599229087601729722532836754614369106653000297813384371851817460018260035362887213272404502913252084462980651887
y = 69497268949363037239662855067282894819468224025323370298267116122004499780454936179579446513212946230848108514688475308422054210516275707118746758784729681134012459723041128847781592913936996384011285228524347142398787249765722277503863816144017899616039384882153049107908348023668794678734279144689060818256332686879756774301553044804113593226894030200841171207005023973414586580884326105418499177042870816690686475966000561312170325751026631302448032053442592025700070128532072966407375836929494861365874295593703603865907156918427854765746178714400965641228281349698592785036967962434121100902035081077353306307847174855129280072546745238388638302308263102659897506918123089841998835566990557678428817395650439343978887765807461059047953983967953261406472839994005355076508064000686178479902638014571635432774566139315759047401937342183751563129441309770089141347759437181270596085914102547377976872717513783187176246668594724797170910879567642825028519552118282994786979095964326526540283093539714787688150723365505471174426974199915315869695487955883420363326100223765284003913467097761837825980212163351095785333804658646763592050190106330442235247845505110219237930904645074914817640286074961702514606569929379247757458213848674008337711763620966206164550020136728858061658614758364161506194887079367154521951194226618931557525748361118120480242778034259470923346475224781915037607897792336192874559524581443506692231116030298690768214933023887230573559507784064928516938444282392374055072105777654200248358279815096249447353623161535325025874158599592437862458076539964086911696085402797736090828030406132405126170009864262506257020811667454363021872530357465166725895181942384633532399629130226199296520990372098338774740795819863853804822124497476122274300100829980294374166890116657307315391671814519669383602463116115545881947996643416498586184942893262666549713832227799507259951445029551219302777045482160171964944246353319724447148645360691054124653053410132016632369375369882288120427024014401996824672855438095789879337055484314406818890575771165618393360205397575505728831839144244967856907159225788659414944481386246206677784220108324930726984245313001440946129951964023712528529782019152129983583522326939790729320708127325200888538775571543824449455963713006448761072335930308477523121605015754068397539580151301269926200413575609821361601823818790739796051457121646593808586160987588041373588703868564799481094454777876697940734337631886658736371600529735186992840612290729441136683360451792327311560476941766434963154779208180289565859493280823285295414820333994086867850736270256397296226916030523949135209272110761873559370340659357316940412290870894252462557169234129769766240975
z = 1007105504107842766879042607699809475272411196120500248371963230365547754714992177302676586275362883160432170641177335273746315764911151874713861002072966742269587951973017401610020691341465189361065466369710495417790943577066977374969274753158551011689565854090189843279861519122091800923103001705671577484309547844625577891179494143411113476792132458665153023403898439524970424205039746948126820535007988392346844548977482362085979095600374661120342675191119736538455591377041303635913224679109411358834380205862814913686215289323620244283756849644172599010111782318956381501797796780118209789261521587750503379495951515537656034545167898811090254861370221954886447967757479035707925731000573552862561765655201455531512459442603770299303788115383002064550558998826893992687189705959286650422460519006669833894923843683022070450728740523232444370528055119454737623980997274439133085457594296575331963319690203577271613800559387294270501724004595746569037424212042904931901275318358283661669528099454129117905306258483392356568759260365452820909114736103245452800383390351121774505772725601440927526710829353274419801879988739549414405018113972548090912817443734921978506215712390878684505776682925144300766362223378970269393255805959546425448274125274047039287114403050716734864212199739121776563911304258673654812547132806607172984198671734199227413347725902628331978863368670768043564159194362584085088969148293294859870099648935064645840535756638323699032406136044207379244708906873814109895392323826370672457755585397196095801670010329979101377632058173660862391020101751400417806254191271695329052681582762438884809594858585612967384121030890179190762087315158062507286301380588102257238953784674666066194998962823880498328107045621967989628712177588195268585399681292813031723255880373017330581510664103793522307439181913520058430448206825045166240331047517266565288630278154750739130838697974712052415371195761168604564817718455533851990114490403824383050902077363310404495802908419024181348249325770746171146376740101497041317011363309674147623152376289647324258659671638077568389974642778773232392279563296180964198047381785688234451225327001699817491561432051843763087962009982837031516743681888260320157562081509104596047537155677304615910403756992894348164839446712626363510265032204625118204086018941643446880442288463262199913203697259938377978933096425972473491158512692631764024953576517597297884970061550659257118580237809169268285335420296187485501277244211341270272671448316746283845132499036923783166595324433817701462671299394375333006069504083512151997713353671272422872457458269042944241193807062978579911962609871262230608653522887405179105763395935758291100894257486302642679420013

PS 2 : Pour l'équation à quatre variables, il y a (au moins) une solution assez petite : $(5, 7, 95, 109)$. Le problème n'est donc pas très intéressant, du moins pas si intéressant. Cela revient à constater que \[\frac{5}{7+95}+\frac{7}{95+109}+\frac{95}{109+5}+\frac{109}{5+7}=\frac5{102}+\frac{7}{204}+\frac{5}6+\frac{109}{12}=10.\]

gai requin · November 2022

@Math Coss, j'ai un peu peaufiné mon code avec $12$ à la place de $10$, une petite instance de la conjecture BSD et psi à la place du psy

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> C0 := Curve(P2,x*(x+y)*(x+z)+y*(y+x)*(y+z)+z*(z+x)*(z+y)-12*(x+y)*(x+z)*(y+z));
> Genus(C0);
1
> a:=C0 ! [-1,1,0];
> C,phi:=EllipticCurve(C0,a);
> C;
Elliptic Curve defined by y^2 - 1/435*x*y = x^3 + 269/189225*x^2 + 31/82312875*x
+ 1/35806100625 over Rational Field
> Rank(C);
1 true
> AnalyticRank(C);
1 3.2935
> B,a:=HeegnerPoint(C);
> a;
(-28/63075 : -43/5487525 : 1)
> psi:=Inverse(phi);
> psi(35*a);
(100710550410784276687904260769980947527241119612050024837196323036554775471499\
2177302676586275...04502913252084462980651887 :
6949726894936303723966285506728289481946822402532337029826711612200449978045493\
6179579446513212946...2913252084462980651887 : 1)

[Privilégier un fichier joint à l'extension de nombres sur des centaines de lignes ! Merci. AD]

john_john · November 2022

Avec $3/2$ à la place de $10$, on a comme solutions positives les triplets $(a,a,a)$ et elles seulement, mais on sait paramétrer tous les triplets rationnels si l'on accepte les négatifs. Par exemple $(29,-49,55)$ ; comment ai-je fait

?

gai requin · November 2022

@john_john, ton $3/2$ induit l’ajout d’un point singulier sur une cubique qui devient unicursale ? Je n’ai pas fait les calculs

john_john · November 2022

Exact, gai requin ! Et ce point double est même isolé (dans le plan réel)... Et puis, d'où vient la valeur $3/2$ ? Je ne me suis tout de même pas infligé le calcul du genre de la cubique.

À propos : la cubique se paramètre alors (en coordonnées cartésiennes) par $t\mapsto(1-4a,1-4ta)$, où $a=\displaystyle\frac{1-t+t^2}{(1+t)(2-3t+2t^2)}\cdot$

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/9q/vcrlein6kfxs.png

gai requin · November 2022

As-tu cherché à avoir à tout prix un point isolé ?

john_john · November 2022

C'est un peu plus tordu que cela car je n'avais pas eu envie de discuter des systèmes $3*3$ quadratiques (mais cela se fait peut-être très bien, après tout). En fait, un exo de concours consiste en la recherche du minimum de $\displaystyle\frac{x}{y+z}+\cdots$ lorsque $x,y,z$ sont des réels $>0$. Vu l'homogénéité, on se limite au cas où $x+y+z=1$ et l'on a à minimiser $s=f(x)+\cdots$, où $f(u)=\displaystyle\frac{u}{1-u}$, fonction strictement convexe sur $[0,1[$.

Donc $s\geqslant3f((x+y+z)/3=3/2$, avec égalité ssi $x=y=z=1/3$. De là à penser que le point $(1:1:1)$ est isolé (et donc multiple !)

À ce propos, on a un autre cas particulier intéressant : lorsque $x+y+z=0$, on a $\displaystyle\frac{x}{y+z}+\cdots=-3$ ; dans ce cas, la cubique contient une droite et se décompose en la réunion de cette droite et d'une conique, ici l'hyperbole d'équation cartésienne $X^2+3XY+Y^2+3X+3Y+1=0$. Puisqu'elle contient le point $(-1,-1)$, elle admet un paramétrage dans $\Q(T)$ et l'on obtient par exemple la solution non triviale $(19,5,-11)$ pour l'équation initiale.

Math Coss · November 2022

Pas pour me vanter mais la valeur $a=-5/2$ est aussi digne d'intérêt.

john_john · November 2022

Mais je ne pourrai jamais poser le cas $a=-5/2$ en colle à un 3/2 ; il y verrait un mauvais présage !

Math Coss · November 2022

Laissons les enfants tranquilles et prenons alors cela comme un jeu entre adultes consentants. Pour $a=-5/2$, on a la factorisation amusante suivante : \[\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac52=\frac{{\left(2 \, x + y + z\right)} {\left(x + 2 \, y + z\right)} {\left(x + y + 2 \, z\right)}}{2 \, {\left(x + y\right)} {\left(x + z\right)} {\left(y + z\right)}}.\]

Math Coss · November 2022

J'appelle « l'équation » le numérateur de la somme $x/(y+z)+\cdots$. La recherche systématique de valeurs de $a$ pour lesquelles la différentielle de l'équation s'annule quelque part donne :

$-3$ : une droite et une hyperbole ;
$-5/2$ : trois droites ;
$3/2$ : cubique rationnelle avec un point double réel isolé.

Sur la figure (obtenue en posant $z=1$), j'ajoute les valeurs $a=4$ (cf. lien de Poirot) et $a=10$ (valeur initiale dans le fil).

Pour l'anecdote, j'ai mimé les calculs de @gai requin avec Sage, ce qui redonne des solutions beaucoup plus rapidement avec l'arsenal des courbes elliptiques qu'à la main comme je l'ai fait plus haut.

Homo Topi · November 2022

On est partis loin de ce que je sais faire, mais étant donné que la valeur $a=10$ provenait littéralement d'un mème internet, il semblerait qu'elle ne soit pas particulièrement "intéressante" mais qu'elle serve juste à "choquer" en étant une valeur où on trouve effectivement des racines entières, alors que celles-ci sont gigantesques. Néanmoins je suis content de voir que "l'équation" cache des figures sympathiques quand même.

john_john · November 2022

Homo Topi : tu as raison, je pense ; c'est pour la même raison que l'on présente des équations de Pell-Fermat pour lesquelles la plus petite solution non triviale est gigantesque !

Math Coss : sachant que $C_\infty$ se décompose elle aussi, a-t-on atteint le maximum possible de cubiques non elliptiques dans un faisceau linéaire <<générique>> de cubiques ?

Math Coss · November 2022

Ah oui, $C_\infty$ je le fais de tête, c'est le dénominateur.
Pour la vraie question, je ne sais pas. Vu que deux des trois cubiques (les plus dégénérées) ont le même groupe de symétrie $\mathfrak S_3$, il est envisageable qu'il y ait des éléments dégénérés dans le faisceau qui ont fusionné.

Math Coss · November 2022

Je cite les Exercices de géométrie d'un certain Ed. Dewulf :

Dans un faisceau de cubiques, il y a douze courbes qui ont un point double.

Apparemment, nous en avons moins dans le nôtre, ou bien ma recherche d'exhaustivité en a manqué.

En attendant, voici encore une figure pour @Homo Topi.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/vj/5cvkui2zk265.png

Homo Topi · November 2022

C'est généré comment, $z=1$ puis on mappe le module de $x+iy$ correspondant à $P(x,y,1)$ ?

john_john · November 2022

Douze !! Je vais essayé de réfléchir à une heuristique qui justifierait ce nombre. Cela dit, une cubique qui se décompose a deux, voire trois, points doubles (comme $C_\infty$) : peut-être compte-t-elle double, ou triple respectivement.

Polynôme à 3 variables, triplets de racines entières

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