Devinez la suite

Boécien · November 2022

Une petite idée d'exercice qui m'est venue en bricolant. Soit un entier $m\geq1$ et la suite d'entiers définie par $a(1)=1$ et par la récurrence imbriquée
$$a(n)=n-a\left(n-a\left(n-a\left(n-\cdots-a\left(n-a(n-1)\right)\right)\right)\ldots\right),$$ où il y a $m$ fois “$a$”. Déterminer $a(n)$ pour $m=1$ (càd $a(n)=n-a(n-1)$) puis pour $m>1$ en fonction de la parité de $m$.

babsgueye · November 2022

Salut.
Pour $m = 1$. On a $a(1) = 1$ et pour $n\gt 1$

$a(n) = \left\{\begin{aligned}&a(n-1)\quad\textrm{si n pair}\\&a(n-1) + 1\quad\textrm{si n impair}\end{aligned}\right.$

Pour $m\gt 1$, on va voir...

nicolas.patrois · November 2022

Vérifie quand même que ta suite est bien définie, on ne sait jamais.

babsgueye · November 2022

On a normalement $a_1(1) = 1, \,a_1(2) = 1,\,a_1(3) = 2,\,a_1(4) = 2,\,a_1(5) = 3,\,a_1(6) = 3\cdots$, si je ne me trompe. Elle est bien définie. Peut-être qu'il devait indicer par m.
Pour la suite, après quelques calculs, il se dessine que :

$\bullet$ Si m impair on a $a_m(1) = 1$ et pour $n\gt 1$
$a_m(n) = \left\{\begin{aligned}&a_m(n-1)\quad\textrm{si n pair}\\&a_m(n-1) + 1\quad\textrm{si n impair}\end{aligned}\right.$

$\bullet$ Si m pair on a $a_m(1) = 1$ et pour $n\gt 1$
$a_m(n) = n - 1$.

Cordialement.

Boécien · November 2022

Voici ce que je crois

$a(n)=n-a(n-1)\Rightarrow a(n)=\left\lfloor \frac{n+1}{2}\right\rfloor \:,n\geq1$

$a(n)=n-a(n-a(n-1))\Rightarrow a(n)=n-1\:,n\geq2$

$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-1)))\Rightarrow a(n)=A076502(n)\:,n\geq1$

$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(n-1))))\Rightarrow a(n)=n-1\:,n\geq2$

$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-1)))))\Rightarrow a(n)=A006165(n)\:,n\geq1$

$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-1))))))\Rightarrow a(n)=n-1\:,n\geq2$

$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-1)))))))\Rightarrow a(n)=A006165(n)\:,n\geq1$

Et donc il semble que pour $m\geq2$ pair on a $a(n)=n-1\:,n\geq2$ et pour $m\geq5$ impair on a $a(n)=A006165(n)\:,n\geq1$. Ce que je trouve amusant c'est cette invariance autour de deux suites..

raoul.S · November 2022

babsgueye a dit :
Pour la suite, après quelques calculs, il se dessine que :

$\bullet$ Si m impair on a $a_m(1) = 1$ et pour $n\gt 1$
$a_m(n) = \left\{\begin{aligned}&a_m(n-1)\quad\textrm{si n pair}\\&a_m(n-1) + 1\quad\textrm{si n impair}\end{aligned}\right.$

Tu veux dire après quelques calculs faux... car c'est faux

PS. Ah ben tiens, Boécien confirme également que c'est faux.

babsgueye · November 2022

@raoul.S, c'est possible. J'ai pas regardé de midi à 14 heures.

PS : @raoul.S, je sais que tu prends du plaisir à signaler que babsgueye a tort. Je le sais. Mais t'as pas raison en disant que mes calculs sont certainement faux en ricanant, puisque tu ne sais pas jusqu'à quelle étape j'ai effectué des calculs. Par ailleurs comme tu le signales bien, je ne dis pas que ce que je propose est la donnée des suites, mais plutôt il se dessine. Peut-être que je ne comprends pas bien le français !

PS : PS : je pensais en fait que le problème de @Boécien était de trouver une démonstration et non pas seulement de deviner les suites. N'est-il pas possible avec une récurrence ?

Boécien · November 2022

Chose encore plus amusante si on prend la suite G d'Hofdstadter définie par $a(1)=1$ et $a(n)=n-a(a(n-1))$ donnée dans l'OEIS par A005206
Alors on retrouve la suite A006165 et apparemment ce même phénomène d'invariance en fonction de la parité du nombre de "$a$" en itérant la récurrence imbriquée ie
$a(n)=n-a(n-a(a(n-1))\Rightarrow a(n)=A006165(n)$
$a(n)=n-a(n-a(n-a(a(n-1)))\Rightarrow a(n)=A005206(n)$
$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(a(n-1))))\Rightarrow a(n)=A006165(n)$
$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(a(n-1)))))\Rightarrow a(n)=A005206(n))$$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(a(n-1))))))\Rightarrow a(n)=A006165(n)$

etc.

Boécien · November 2022

Pour la suite H d'Hofdstadter définie par $a(1)=1$ et $a(n)=n-a(a(a(n-1)))$ j'ai regardé si en itérant on retombe encore à un moment sur cette sacrée suite A006165 définie par $b(1) = b(2) = 1$ puis $b(2n+1) = b(n+1) + a(n)$ et $b(2n) = 2b(n)$...Il semble que oui avec 6 “a”
$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(a(a(n-1))))))\Rightarrow a(n)=A006165(n)$
Et si on prend au départ $4$ “$a$” rebelote avec $9$ “$a$”
$a(n)=n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(n-a(a(a(a(n-1)))))))))\Rightarrow a(n)=A006165(n)$
Est-ce généralisable pour $k$ “$a$” au départ ?

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