Questions en apparences simples
Bonjour
Voici deux questions pour lesquelles l'énoncé est simple et accessible à tous (de type olympiade) mais pour lesquelles trouver la solution est une tout autre affaire . Elles m'ont été envoyées par un ami à moi et le seule indice qu'il m'ait donné est qu'il peut être utile de considérer l'élément dont une caractéristique est minimale ou maximale.
1. Soit P l’ensemble de tous les nombres d’au plus 100 chiffres s’écrivant uniquement avec des 0 et des 1.
Montrer que la somme des réciproques des nombres appartenant à P n’est pas un nombre entier.2. Une sauterelle se trouve sur la droite réelle à la position 0. Elle saute de nombre entier en nombre entier et chaque nombre est atteint exactement une fois. Montrer qu’au moins un des sauts à une longueur plus grande ou égale à 100.
Pour la première, il est évident que cette somme sera contenue dans l'intervalle ouvert ]1,2[, mais comment montrer cette borne supérieure ?
Tout aide/indices est/sont les bienvenus.
Merci !
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Réponses
Pour la sauterelle, qu'est-ce qui l'empêche de faire des sauts de $1$ ? Ah, parce que "chaque nombre" désigne "chaque entier relatif" ?
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse