Fonctionnelle linéaire positive
Bonjour,
Je suis en train de lire dans le livre de Reed-Simon : Methods of Modern mathematical physics I (Page 224, VII- Les mesures spectrales, les 4 premières lignes d'introduction) et il y a quelque chose que je ne comprends pas. Il dit :
Je suis en train de lire dans le livre de Reed-Simon : Methods of Modern mathematical physics I (Page 224, VII- Les mesures spectrales, les 4 premières lignes d'introduction) et il y a quelque chose que je ne comprends pas. Il dit :
" Let us fix $A$, a bounded self-adjoint operator. Let $\psi \in H$. Then $f\mapsto \langle \psi ,f(A)\psi \rangle $ is a positive linear functional on $C(\sigma (A) )$.
Traduction.
On fixe $A$, un opérateur auto-adjoint borné. Soit $\psi\in H$. Alors $f\mapsto \langle \psi ,f(A)\psi \rangle $ est une fonctionnelle linéaire strictement positive sur $C(\sigma (A))$.
On fixe $A$, un opérateur auto-adjoint borné. Soit $\psi\in H$. Alors $f\mapsto \langle \psi ,f(A)\psi \rangle $ est une fonctionnelle linéaire strictement positive sur $C(\sigma (A))$.
Notation.
-$H$ est un espace de Hilbert.
-$\sigma (A)$ spectre de l'opérateur $A$.
-$C(\sigma (A))$ l'ensemble des fonctions continues sur le spectre $\sigma (A)$.
-$H$ est un espace de Hilbert.
-$\sigma (A)$ spectre de l'opérateur $A$.
-$C(\sigma (A))$ l'ensemble des fonctions continues sur le spectre $\sigma (A)$.
Question.
Je ne vois pas pourquoi $f\mapsto \langle \psi ,f(A)\psi \rangle $ est strictement positive ?
Merci d'avance ! Je ne vois pas pourquoi $f\mapsto \langle \psi ,f(A)\psi \rangle $ est strictement positive ?
Réponses
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Bonjour C'est quoi $f?$
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Salut,
Ici, 'positif' pour une forme linéaire $J$ sur $C(\sigma(A)$ veut dire : pour $f\in C(\sigma(A))$, si $f\geq0$ alors $J(f)\geq0$.
Or, si $f$ est une fonction continue positive sur $\sigma(A)$, alors $f(A)$ est un opérateur positif, donc $\langle f(A)\xi,\xi\rangle\geq0$.
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Bonjour Manda, tu donnes la question comme une réponse. Il veut justement comprendre pourquoiManda a dit : si $f$ est une fonction continue positive sur $\sigma(A)$, alors $f(A)$ est un opérateur positif,Le 😄 Farceur
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Merci Manda !
Je ne savait pas que la definition de fonctionnelle positive voulais dire que (Edit $f$) est supposé positif. -
Donc tu n'as pas compris ce que voulait dire MandaLe 😄 Farceur
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Il s'agit d'une faute de frappe gebrane... j'ai modifié mon ancien message
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Il faut connaitre l'analyse spectrale pour répondre à ta question ou précisément démontrer ce qu'a dit Manda, ce n'est pas un résultat trivial. Je lui donne un temps pour t'expliquer s'il veut .Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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