Polynôme irréductible
dans Arithmétique
Bonjour.
Si $P$ est un polynôme irréductible dans $\mathbb Q[X]$, pourquoi $\phi_P = P(X-1)$ est aussi irréductible ?
Si $P$ est un polynôme irréductible dans $\mathbb Q[X]$, pourquoi $\phi_P = P(X-1)$ est aussi irréductible ?
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Réponses
Tiens, le retour du ... Je ne trouve pas le mot ...
Si $\phi_P(X)$ était factorisable, peut-être que $\phi_P(X+1)$ le serait aussi.
Cordialement,
Rescassol
Si $P$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$ alors $P(X)=R(X)S(X)$ implique que $R$ ou $S$ est inversible donc que $R$ ou $S$ est constant non nul.
Or $P(X-1)=R(X-1) S(X-1)$ mais on sait que $R(X-1)$ ou $S(X-1)$ reste constant non nul. D'où le résultat, c'est correct ?
Les inversibles de $\Q[X]$ sont polynômes constants $\lambda \in \mathbb Q^{*}$.
Supposons que $P \in \mathbb Q[X]$ est irréductible, soit : $P(X)= U(X) V(X) \implies U(X) \ \text{ou} \ V(X) \ \in \mathbb Q^{*}$.
Par symétrie, supposons que $U(X) \in \mathbb Q^{*}$ et posons $U(X)= \lambda$.
On a $P(X-1)= U(X-1) V(X-1)$. Mais comme $U(X)= \lambda$ alors $U(X-1)= \lambda$ et $\boxed{P(X-1)= \lambda V(X-1) }$.
Ce qui montre que $P(X-1)$ est irréductible.
1) défini proprement ce qu'est un irréductible.
2) rédige mieux ta démo, j'allais dire qu'elle était erronée mais à ce stade il faut améliorer la rédaction pour que tu comprennes pourquoi c'est une mauvaise démo.
3) la correction à apporter n'est pas énorme.
Merci !
$ \mathbb Q[X]$ est un anneau intègre.
Soit $P(X) \in \mathbb Q[X] \backslash \{0 \}$ irréductible. Alors $P(X)$ n'est pas inversible pour tous $U(X),V(X) \in \mathbb Q[X]$ on a l'implication $P(X)=U(X)V(X) \implies U \ \text{ou} \ V \ \text{est inversible}$.
Montrons que $P(X-1)$ est irréductible.
Soient $R(X),S(X) \in \mathbb Q[X]$ fixés de sorte que $P(X-1)= R(X) S(X)$.
- $P(X-1)$ n'est pas inversible car $P(X)$ ne l'est pas.
- On a $P(X)= R(X+1) S(X+1)$. Mais comme $P(X)$ est irréductible alors $R(X+1)$ ou $S(X+1)$ est inversible. Supposons par symétrie que $R(X+1)$ est inversible, alors il existe $\lambda \in \mathbb Q^{*}$ tel que $R(X+1)= \lambda$. Mais alors $R(X)= \lambda$. Donc $R(X)$ est inversible.
Ce qui termine la preuve.