Polynôme irréductible

OShine
OShine
dans Arithmétique
Bonjour.

Si $P$ est un polynôme irréductible dans $\mathbb Q[X]$, pourquoi $\phi_P = P(X-1)$ est aussi irréductible ? 

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Tiens, le retour du ... Je ne trouve pas le mot ...
    Si $\phi_P(X)$ était factorisable, peut-être que $\phi_P(X+1)$ le serait aussi.

    Cordialement,
    Rescassol

  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Modifié (November 2022)
    $Q\mapsto Q(X-1)$ est un isomorphisme de $\mathbb Q$-algèbres.
  • Math Coss
    Math Coss
    Si $P(X-1)=R(X)S(X)$ alors $P(X)=R(X+1)S(X+1)$.
  • OShine
    OShine
    cohomologies a dit :
    $Q\mapsto Q(X-1)$ est un isomorphisme de $\mathbb Q$-algèbres.
    Je ne comprends pas trop le rapport avec la question. 
  • OShine
    OShine
    Modifié (November 2022)
    Si j'ai bien compris vos messages @Math Coss et @Rescassol

    Si $P$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$ alors $P(X)=R(X)S(X)$ implique que $R$ ou $S$ est inversible donc que $R$ ou $S$ est constant non nul. 

    Or $P(X-1)=R(X-1) S(X-1)$ mais on sait que $R(X-1)$ ou $S(X-1)$ reste constant  non nul. D'où le résultat, c'est correct ? 


  • JLapin
    JLapin
    OShine a dit :
     D'où le résultat, c'est correct ? 
    Non, par le simple fait que tu poses la question. Un raisonnement mathématique c'est pas comme une traduction vers une langue inconnue normalement : l'auteur est censé savoir se relire et exercer son esprit critique.

  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    OShine a dit :
    Je ne comprends pas trop le rapport avec la question. 
    Je te laisse chercher le rapport, indication: c'est le même que les commentaires limitrophes avec le mien.
  • Math Coss
    Math Coss
    Il manque un argument : si $R(X\pm1)$ est constant, alors $R(X)$ aussi (pourquoi ?).
  • OShine
    OShine
    Modifié (November 2022)
    L'isomorphisme conserve l'irréductibilité.
    Les inversibles de $\Q[X]$ sont polynômes constants $\lambda \in \mathbb Q^{*}$.
    Supposons que $P \in \mathbb Q[X]$ est irréductible, soit :  $P(X)= U(X) V(X) \implies U(X) \ \text{ou} \ V(X) \ \in  \mathbb Q^{*}$.
    Par symétrie, supposons que $U(X)  \in  \mathbb Q^{*}$ et posons $U(X)= \lambda$.
    On a $P(X-1)= U(X-1) V(X-1)$. Mais comme $U(X)= \lambda$ alors $U(X-1)= \lambda$ et $\boxed{P(X-1)= \lambda V(X-1) }$.
    Ce qui montre que $P(X-1)$ est irréductible.
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Modifié (November 2022)
    Recommence ton raisonnement et utilise des quantificateurs. 
    1) défini proprement ce qu'est un irréductible.
    2) rédige mieux ta démo, j'allais dire qu'elle était erronée mais à ce stade il faut améliorer la rédaction pour que tu comprennes pourquoi c'est une mauvaise démo.
    3) la correction à apporter n'est pas énorme.
  • OShine
    OShine
    Math Coss a dit :
    Il manque un argument : si $R(X\pm1)$ est constant, alors $R(X)$ aussi (pourquoi ?).
    Il faut justifier l'évidence ? 
  • OShine
    OShine
    Modifié (November 2022)
    @cohomologies
    Merci !

    $ \mathbb Q[X]$ est un anneau intègre. 

    Soit $P(X) \in \mathbb Q[X] \backslash \{0 \}$ irréductible. Alors $P(X)$ n'est pas inversible pour tous $U(X),V(X) \in  \mathbb Q[X]$ on a l'implication $P(X)=U(X)V(X) \implies U \ \text{ou} \ V \ \text{est inversible}$. 

    Montrons que $P(X-1)$ est irréductible. 
    Soient $R(X),S(X) \in  \mathbb Q[X]$ fixés de sorte que $P(X-1)= R(X) S(X)$. 

    • $P(X-1)$ n'est pas inversible car $P(X)$ ne l'est pas.
    • On a $P(X)= R(X+1) S(X+1)$. Mais comme $P(X)$ est irréductible alors $R(X+1)$ ou $S(X+1)$ est inversible. Supposons par symétrie que $R(X+1)$ est inversible, alors il existe $\lambda \in \mathbb Q^{*}$ tel que $R(X+1)= \lambda$. Mais alors $R(X)= \lambda$. Donc $R(X)$ est inversible.
    Ce qui termine la preuve.


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