Trouver un équivalent de la série de fonctions en 0
Soit la fonction $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^x \exp(-nx)$,
On veut trouver un équivalent de $f$ en $0^+$.
Je pense avoir trouvé un équivalent possible : $f(x) \sim x^{-(x+1)}$.
Je l'ai trouvé à partir d'une analyse par un graphe.
Est-ce que quelqu'un aurait un équivalent de $f$ et [pourrait] me donner une idée pour démontrer un tel équivalent ?
Je l'ai trouvé à partir d'une analyse par un graphe.
Est-ce que quelqu'un aurait un équivalent de $f$ et [pourrait] me donner une idée pour démontrer un tel équivalent ?
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Réponses
Comment fait-on pour trouver $\frac{1}{x}$ ?
Et pourquoi ne pas appliquer le CDV $u = t x$ ? On retombe alors sur l'équivalent $\frac{\Gamma(1)}{x}$ avec $\Gamma(1) = 0! = 1$.
Je n'ai pas exactement ça.
Voici mes calculs : $\int_{1}^{+\infty}t^x\exp(-tx)dt = \frac{1}{x}\int_{x}^{+\infty}(\frac{u}{x})^x\exp(-u)du = \frac{1}{x^{x+1}}\int_{x}^{+\infty}u^x\exp(-u)du$
J'ai fait autrement et je trouve ça :
On sait $\forall n\in \mathbb N^*\backslash\{1\}, \int_{n-1}^{n}v^xe^{-vx}dv \ge n^xe^{-nx} \ge \int_{n}^{n+1}v^xe^{-vx}dv$ donc : $\int_{1}^{+\infty}v^xe^{-vx}dv \ge \sum_{n=2}^{+\infty}n^xe^{-nx} \ge \int_{2}^{+\infty}v^xe^{-vx}dv$
Or $\int_{1}^{+\infty}t^x\exp(-tx)dt = x^{-x}\Gamma(x) - \int_{0}^{1}t^x\exp(-tx)dt$ et $\int_{2}^{+\infty}t^x\exp(-tx)dt = x^{-x}\Gamma(x) - \int_{0}^{2}t^x\exp(-tx)dt$
Ainsi, on trouve $\forall x>0, x^{-x}\Gamma(x) - \int_{0}^{1}t^x\exp(-tx)dt \ge \sum_{n=2}^{+\infty}n^xe^{-nx} \ge x^{-x}\Gamma(x) - \int_{0}^{2}t^x\exp(-tx)dt$
Or $\forall x >0, \forall t\in[0,1], 0 \le t^x\exp(-tx) \le 1$. Donc on obtient : $\forall x>0, x^{-x}\Gamma(x) + e^{-x}\ge \sum_{n=1}^{+\infty}n^xe^{-nx} \ge x^{-x}\Gamma(x) - 1 + e^{-x}$
$x^{-x}\Gamma(x) \sim x^{-1-x}$ et $x^{-x-1}\to_{x\to0^+} +\infty$. Donc par le théorème des gendarmes en divisant par $x^{-1-x}$, on a donc :$$\sum_{n=1}^{+\infty}n^xe^{-nx}\sim_{x\to0^+}x^{-1-x}$$Etait-ce faux ?
Sens de variations de $f$ ?