Indépendance des vecteurs d’une matrice

Bethebesteveryday
Bethebesteveryday
dans Algèbre
Bonsoir tout le monde !
  Soit A une matrice dans un corps donné , pourquoi si det(A)#0 alors les vecteurs associés à celle-ci sont libres ?
Merci d’avance
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Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Si $\det(A) \neq 0$, la matrice est inversible, et donc l'endomorphisme canoniquement associé sur $K^n$ (où $K$ est le corps en question et $n$ la taille $A$) est un isomorphisme, en particulier il envoie une famille libre sur une famille libre. Vois-tu comment conclure ?
  • Bethebesteveryday
    Bethebesteveryday
    Pourquoi un isomorphisme va envoyer une famille libre sur une famille libre ?
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux chercher à faire la démonstration, qui prend deux lignes, ou te référer à ton cours, c'est certainement un des énoncés de celui-ci !
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Modifié (November 2022)
    $A\times ^t\!(com A)=\,?$
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • bisam
    bisam
    La réponse dépend également de la façon dont est introduit le déterminant.
    Si on définit le déterminant comme une forme $n$-linéaire alternée prenant la valeur $1$, il est immédiat qu'elle envoie une famille liée sur $0$ et par contraposée, toute famille dont le déterminant n'est pas nul est libre.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (November 2022)
    @Bethebesteveryday Tu devrais travailler depuis le début un cours d'algèbre du premier cycle comme celui qui est disponible ici.
    http://christophebertault.fr/cours-et-exercices/
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